1、3指数函数31指数函数的概念32指数函数的图象和性质新课程标准解读核心素养1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念数学抽象2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质并会运用直观想象、数学运算第1课时指数函数的概念、图象与性质将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？折叠次数对应层数对折后的面积Sx1y221Sx2y422Sx3y823S由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y2x(xN)，对折后的面积S(xN)问题实例中得到的两个函数解析式有什么共
2、同特征？知识点一指数函数的概念1定义：当给定正数a，且a1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数yax与之对应，因此，yax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数2性质：(1)定义域是，函数值大于0；(2)图象过定点(0，1)对指数函数概念的再理解 1为什么指数函数的底数a0，且a1?提示：如果a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x0时，ax无意义如果a0，且a1.2指数函数的解析式有什么特征？提示：a0，且a1；ax的系数为1；自变量x的系数为1.1给出下列函数：y23x；y3x1；y2x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是()A0B1C2 D4解析：选B中，3x的系
3、数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，y2x是以为底的指数函数；中，yx3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数；中，底数20，且a1)，由fa2，得a2，所以f(x)2x，所以f(3)238.答案：8知识点二指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域：值域：(0，)过定点(0，1)，即x0时，y当x0时，y；当x0时，y当x0时，y；当x0时，y在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大指数
4、函数图象的特征同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示直线x1与四个指数函数yax，ybx，ycx，ydx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0ba1d0且a1)的函数对于A，y2x122x，系数不是1，所以不是指数函数；对于B；y3x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C，y4x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D，y23x8x，符合指数函数的定义，所以是指数函数故选B、C、D.答案BCD判断一个函数是否为指数函数的方法(1)看形式：判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征；(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特
5、征只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数 跟踪训练若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A(0，1)(1，) B0，1)(1，)C.(1，) D.解析：选C依题意得2a10，且2a11，解得a，且a1，故选C.求指数函数的解析式或函数值例2(1)若函数f(x)ax是指数函数，则f的值为()A2 B2C2 D2(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(x)_解析(1)因为函数f(x)是指数函数，所以a31，且a0，a1，所以a8，所以f(x)8x，f82.(2)由题意设f(x)ax(a0且a1)，因为f(2)a29，所以a3，所以f(x)3x.答案(1)
6、D(2)3x1求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键2求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式 跟踪训练已知函数f(x)为指数函数，且f，求f(2)的值解：设f(x)ax(a0且a1)，由f得，a，所以a3，所以f(x)3x，所以f(2)32.指数函数的定义域和值域例3(链接教科书第86页例4)求下列函数的定义域和值域：(1)y ；(2)y；(3)y4x2x12.解(1)要使函数式有意义，则13x0，即3x130，因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y
7、 的定义域为(，0因为x0，所以03x1，所以013x0，所以函数y的值域为(0，16(3)因为对于任意的xR，函数y4x2x12都有意义，所以函数y4x2x12的定义域为R.因为2x0，所以4x2x12(2x)222x2(2x1)21112.即函数y4x2x12的值域为(2，)母题探究1(变条件)若将本例(1)的函数换为“y ”，求其定义域解：由10得，x0，即函数的定义域为(，02(变条件)若将本例(3)的函数增加条件“0x2”，再求函数的值域解：0x2，12x4，y4x2x12(2x)222x2(2x1)21.令2xt，则t1，4，且f(t)(t1)21，易知f(t)在1，4上单调递增，
8、f(1)f(t)f(4)，即5f(t)26，即函数y4x2x12的值域为5，26函数yaf(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如yaf(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合；(2)值域：换元，令tf(x)；求tf(x)的定义域xD；求tf(x)的值域tM；利用yat的单调性求yat，tM的值域提醒(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论 跟踪训练1函数f(x) 的定义域是()A2，4) B2，4)(4，)C(2，4)(4，) D2，)解析：选B依题意有解得x2，4)(4，)2函
9、数y1的值域为()A1，) B(1，1)C1，) D1，1)解析：选D2x0，42x4.又42x0，042x1时，x1.故函数定义域为1，)时，a1.答案：(1，)指数函数的图象及应用例4(1)(多选)函数yax(a0，a1)的图象可能是()(2)若直线y2a与函数y|ax1|1(a0，且a1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是_解析(1)当a1时，(0，1)，因此x0时，0y11，且yax在R上是增函数，故C符合；当0a1，因此x0时，y1时，函数y|ax1|1的图象如图所示，则由图可知12a2，解得a1矛盾；当0a1时，函数y|ax1|1的图象如图所示，则由图可知12a2，解得a1，
10、b1，b0C0a0D0a1，b0解析：选D从曲线的变化趋势，可知函数f(x)为减函数，则0a1；从曲线位置看，f(x)的图象是由函数yax(0a0，即b0.综上可知， 0a1，b0，且a1)的图象过定点_解析：法一：因为指数函数yax(a0，且a1)的图象过定点(0，1)，所以在函数yax33中，令x3，得y134，即函数的图象过定点(3，4)法二：将原函数解析式变形，得y3ax3，把y3看成x3的指数函数，所以当x30时，y31，即x3时，y4，所以原函数的图象过定点(3，4)答案：(3，4)指数函数图象变换问题探究为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)2x为例，借助几何
11、画板画出了下面4组函数的图象：(1)yf(x1)；(2)yf(|x|)1；(3)yf(x)；(4)y|f(x)1|.问题探究1请分别写出这4组函数的解析式提示：(1)yf(x1)2x1；(2)yf(|x|)12|x|1；(3)yf(x)2x；(4)y|f(x)1|2x1|.2若给出函数f(x)4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程提示：能(1)将函数yf(x)4x的图象向右平移1个单位长度得到函数yf(x1)4x1的图象(2)保留函数yf(x)4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到yf(|x|)14|x|1的图象(3
12、)函数yf(x)4x与yf(x)4x的图象关于x轴对称(4)将函数yf(x)4x的图象向下平移1个单位长度得到函数yf(x)14x1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数|f(x)1|4x1|的图象总结利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质利用变换作图法作图要注意：(1)选择哪个指数函数作为起始函数；(2)平移的方向及单位长度常用的变换作图法主要有：此外，函数ya|x|的图象关于y轴对称；函数y|axb|的图象可由函数yaxb的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部
13、分翻折到x轴上方得到迁移应用1函数y的图象是()解析：选B因为y所以选B.2若函数y|3x2|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_解析：作出函数y|3x2|的图象如图所示由图可知若函数y|3x2|m的图象不经过第二象限，则m2.答案：(，21函数f(x)3x1的定义域、值域分别是()AR，RBR，(0，)CR，(1，) D以上都不对解析：选C因为函数f(x)3x11，所以其定义域为R，因为0，所以11，所以函数的值域为(1，)故选C.2已知函数y的图象与指数函数yax的图象关于y轴对称，则实数a的值是()A1 B2C4 D8解析：选C由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即1，解得a4.3指数函数f(x)mx，g(x)nx满足不等式1nm0，则它们的图象是()解析：选C由0mn1可知应为两条递减的曲线，故只可能是C或D，不妨选特殊点法，令x1，得对应的函数值分别为m和n，由m，故选B.5若函数y(43a)x是指数函数，则实数a的取值范围为_解析：若函数y(43a)x是指数函数，则43a0且43a1，所以a且a1，所以实数a的取值范围为(，1).答案：(，1)
