1、第十三节导数在研究函数中的应用(一）1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次 知识梳理 一、函数的导数与函数的单调性的关系1函数单调性的充分条件设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数yf(x)在这个区间内为_；如果在这个区间内y0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f(x)0Ca0 Da0，所以a0.故选D.答案：D3 函数f(x)x3x
2、2ax5在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x3x2ax5，f(x)x22xa(x1)2a1.如果函数f(x)x3x2ax5在区间1,2上单调，那么a10或解得a1或a3.于是满足条件的a(3,1)答案：(3,1)4(2013武汉质检)已知函数f(x)的导数为f(x)x2x，则当x_时，函数f(x)取得极大值解析：当x0或x1时，f(x)0；当0x1时，f(x)0，所以当x0时，函数f(x)取得极大值答案：01(2012陕西卷)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：f(x
3、)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)=xex为增函数，所以x1为f(x)的极小值点故选D. 答案：D2(2013福建卷)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1 (x1)，即xy20.(2)由f(x)1(x0)，知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函
4、数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值答案：见解析1设函数f(x)2ln2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程fx23xa0在区间内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围解析：(1)函数f的定义域为，f(x)2(x1)，则使f(x)0的x的取值范围为，故函数f的单调递增区间为.(2)(法一)f(x)2ln2，f(x)x23xa0xa12ln0.令gxa12
5、ln.g(x)1，且x1，由g(x)0，得x3；由g(x)0，得1x3.g(x)在区间2,3上单调递减，在区间3,4上单调递增故f(x)x23xa0在区间内恰有两个相异实根即解得2ln 35a1，由h(x)0，得1x3；由h(x)3.h(x)在区间2,3上单调递增，在区间3,4上单调递减h3，h2ln 24，h2ln 35，又hh，故f(x)x23xa0在区间上恰有两个相异实根hah，即2ln 35a2ln 24.综上所述，a的取值范围是2ln 35,2ln 24)答案：见解析2(2013惠州一模改编)已知函数f(x)ax2bx1在x3处的切线方程为y5x8.(1)求函数f(x)的解析式；(2
6、)若关于x的方程f(x)kex恰有两个不同的实根，求实数k的值；解析：(1)由f(x)ax2bx1，所以f(x)2axb，因为函数f(x)ax2bx1在x3处的切线方程为y5x8，所以切点为(3,7)则解得a1，b1.所以f(x)x2x1；(2)由(1)知f(x)x2x1，关于x的方程f(x)kex恰有两个不同的实根，即x2x1kex有两个不同的实根，也就是kex(x2x1)有两个不同的实根令g(x)ex(x2x1)，则g(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x(x1)(x2)ex.由g(x)0，得x11，x22.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在(，1)上为减函数；当x(1,2)时，g(x)0，g(x)在(1,2)上为增函数；当x(2，)时，g(x)0，g(x)在(2，)上为减函数；所以，当x1时，g(x)取得极小值g(1)，当x2时函数取得极大值g(2).函数yk与yg(x)的图象的大致形状如上，由图象可知，当k和k时，关于x的方程f(x)kex恰有两个不同的实根答案：见解析
