1、学生用书P266(单独成册)一、选择题1设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值和最大值分别为()A9，12B8，11C8，12 D10，12解析：选C如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，122设A1、A2分别为椭圆1(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在
2、点P，使得kPA1kPA2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A(0，) B(0，)C(，1) D(，1)解析：选C椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A1(a，0)、A2(a，0)，设P(x0，y0)，根据题意，kPA1kPA2，而1，所以a2x，于是，即，1e2，又e1，故eb0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1k2|，则椭圆的离心率为_解析：设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，|k1k2|，从而e答案：6已知椭圆C：y21，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点M，N，则直线MN恒过的定点
3、为_解析：直线MN过定点D当直线MN的斜率存在时，设MN：ykxm，代入椭圆方程得(14k2)x28kmx4m240设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2根据已知可知，即4y1y2(x12)(x22)0，即(14k2)x1x2(4km2)(x1x2)4m240，所以(14k2)(4km2)4m240，即(4km2)(8km)8m2(14k2)0，即m22km0，得m0或m2k当m0时，直线ykx经过定点D(0，0)由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m2k时，直线ykx2k过定点(2，0)，故不可能当MN的
4、斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为，此时M，N恰为椭圆的上下顶点，直线MN也过定点(0，0)综上可知，直线MN过定点D(0，0)答案：(0，0)三、解答题7已知点M是椭圆C：1(ab0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|4，F1MF260，F1MF2的面积为(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0，2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值解：(1)在F1MF2中，由|MF1|MF2|sin 60，得|MF1|MF2|由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|M
5、F1|MF2|cos 60(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)，解得|MF1|MF2|4从而2a|MF1|MF2|4，即a2由|F1F2|4得c2，从而b2，故椭圆C的方程为1(2)证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2从而k1k22k(k4)4当直线l的斜率不存在时，可得A(1，)，B(1，)，得k1k24综上，k1k2为定值8已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直
6、线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，是否存在点M(t，0)使0成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解：(1)由c1，ac1，得a2，所以b，故椭圆C的标准方程为1(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P因为M(t，0)，Q(4，4km)，所以，(4t，4km)，所以(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1所以存在点M(1，0)符合题意9已知椭圆1(ab0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x
7、轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23所以椭圆的方程为y21(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，所以y1my11，由题意y10，所以11同理由2知21因为123，所以y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，所以由题意知4m2t44(t23)
8、(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，所以(mt)21，由题意mt0将线段AB中点M代入直线方程ymx解得b由得m(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的
9、焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以1，又a2b2c2，所以a，bc1故椭圆C的标准方程为y21(2)设直线l的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2且4t236(t28)0，故y0且3t3，由，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0，可得y4，又3t3，可得y4b0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB的斜率为0时，|AB|CD|3(1)求椭圆的方程；(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围解：(1)由题意知，e，则ac，bc当直线AB的斜率为0时，|AB|CD|2a2cc3，所以c1所以椭圆的方程为y21(2)当直线AB与直线CD中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在由题意知S四边形|AB|CD|22当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x1)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB的方程代入椭圆方程，并整理得(12k2)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|同理，|CD|所以S四边形|AB|CD|2因为21219，当且仅当k1时取等号，所以S四边形综合与可知，S四边形
