1、2016年湖南省永州市高考数学预测卷（理科）（二）一、小题（本大题共6小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1等比数列an满足a3=3，a6=81，数列bn满足b1=1，bn+1=log3abn，则b10=（）A23B19C17D182在ABC中，c=2，acosC=csinA，若当a=x0时的ABC有两解，则x0的取值范围是（）A（1，2）B（1，）C（，2）D（2，2）3已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A24B36C48D544有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现
2、任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（）ABCD5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD6九章算术“勾股“章有一题：“今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东合适方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步？甲、乙分别走多少步？（）A20、8B24、10C10.5、24.5D24.5、10.5二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）7在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：=1的渐近线与椭圆C2： +=1（
3、ab0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若OAB的外接圆的圆心为（0， a），则双曲线C1的离心率为_8已知函数f（x）=x2ax，g（x）=b+aln（x1），存在实数 a（a1），使y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则实数b的取值范围为_二、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9设数列的前项和为Sn，且是等差数列，已知a1=3， +=15（）求数列an的通项公式；（）令 cn=，设数列cn的前n项和为Tn，求T2n10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，PA平面PCD，PA=2，PD=2，E为线段DP上的一点（）
4、求证：平面PAD平面ABCD；（）若二面角PBCE与二面角EBCD的大小相等，求DE的长11某商店每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干（A商品在商店的保鲜时间为10小时，该商店的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的A商品没有售完，则商店对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品）该商店统计了50天A商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如表（注：视频率为概率）前6小时内的销售量N（单位：件）34
5、5频数10xy（）若某天商店购进A商品6件，在前6个小时中售出4件，若这些产品被6名不同的 顾客购买，现从这6名顾客中随机选2个进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元购买的顾客的概率是多少？（）若商店每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围12已知椭圆C： +=1（ab0），过椭圆的右焦点F任作一条直线交椭圆C于A，B两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆C于M，N两点（）求证：AM与AN的斜率之积为定值；（）若2a|AB|=|MN|2，试探究直线AB与直线MN的倾斜角之间的关系13已知函数f（x）=x+alnx，aR（）讨论函数f（x）极值点的个数
6、；（）如果区间1，e（e=2.71828）上总存在一点x0，使x0+a（lnx0+）成立，求a的取值范围请考生在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲14如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆（）证明：CA是ABC外接圆的直径；（）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值选修4-4：坐标系与参数方程15选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的
7、极坐标方程为=4cos，曲线C2的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（）当=时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值选修4-5：不等式选讲16已知函数f（x）=|3x+2|（）解不等式f（x）4|x1|；（）已知m+n=1（m，n0），若|xa|f（x）+（a0）恒成立，求实数a的取值范围2016年湖南省永州市高考数学预测卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、小题（本大题共6小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1等比数列an满足a3=3，a6=81，数列bn满
8、足b1=1，bn+1=log3abn，则b10=（）A23B19C17D18【考点】数列递推式【分析】由已知求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，再由bn+1=log3abn，可得数列bn是公差为2的等差数列，则b10可求【解答】解：在等比数列an中，由足a3=3，a6=81，得，q=3，则，则，bn+1=log3abn=，即bn+1bn=2，又b1=1，b10=1+（101）（2）=17故选：C2在ABC中，c=2，acosC=csinA，若当a=x0时的ABC有两解，则x0的取值范围是（）A（1，2）B（1，）C（，2）D（2，2）【考点】正弦定理【分析】acosC=csinA，由正
9、弦定理可得：sinAcosC=sinCsinA，可得tanC=1，解得C=当a=x0时的ABC有两解，可得2x0，解出即可得出【解答】解：acosC=csinA，由正弦定理可得：sinAcosC=sinCsinA，A（0，），sinA0，cosC=sinC，又C（0，），tanC=1，解得C=当a=x0时的ABC有两解，2x0，解得2x02，则x0的取值范围是（2，2），故选：D3已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A24B36C48D54【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱，把四棱柱放在长方体中，由三视图求出几何元素的长度，根据勾股定
10、理和正弦定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出答案【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱，把四棱柱放在长方体中，如图：长方体的高是2、底面是以3为边长的正方形，设0是四棱柱外接球的球心，O是上底ABCD的外接圆的圆心，则OO=1，由三视图得AB=DC=2，则BC=、AD=3，上底ABCD是等腰梯形，如图：BEAD，AE=BE=，则A=，在BDE中，BD=，在ABD中，由正弦定理得，2AO=2，则AO=，ABD与四边形ABCD外接于同一个圆，在AOO中，AO2=OO2+AO2=6，该几何体的外接球的表面积S=4AO2=24，故选：A4有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜
11、色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=321=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故选：A5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是半个圆
12、锥，右边是四分之一个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱（斜切半圆柱），且圆柱的底面半径是1、母线长是2；圆锥的底面半径、高都是1，几何体的体积V=，故选：C6九章算术“勾股“章有一题：“今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东合适方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步？甲、乙分别走多少步？（）A20、8B24、10C
13、10.5、24.5D24.5、10.5【考点】三角形中的几何计算【分析】设甲、乙相遇经过的时间为x，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出x，即可求出答案【解答】解：设甲、乙相遇经过的时间为x，如图：AC=3x，AB=10，BC=7x10，A=90，BC2=AB2+AC2，即（7x10）2=102+（3x）2，解得x=或x=0（舍去），甲走了24.5步，乙走了10.5步，故选：D二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）7在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：=1的渐近线与椭圆C2： +=1（ab0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若OAB的外接圆的圆心为（0， a），则双曲线C1的
14、离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由双曲线C1：=1，可得渐近线为y=x，与椭圆方程联立解得A，利用两点之间的距离公式可得： =a，解得利用双曲线C1的离心率=即可得出【解答】解：由双曲线C1：=1，可得渐近线为y=x，联立，解得A，则=a，化为：b24ab+a2=0，解得=2双曲线C1的离心率=故答案为：8已知函数f（x）=x2ax，g（x）=b+aln（x1），存在实数 a（a1），使y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则实数b的取值范围为（，+ln2）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）g（x）
15、0或f（x）g（x）0恒成立，利用参数分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可【解答】解：若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）g（x）0或f（x）g（x）0恒成立，即x2axbaln（x1）0或x2axbaln（x1）0恒成立，即x2axaln（x1）b或x2axaln（x1）b恒成立，设h（x）=x2axaln（x1），则函数h（x）的定义域为（1，+），函数的导数h（x）=2xa=，当a1时，故x（1，）时，h（x）0，x（，+）时，h（x）0，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（）=，设G（a）=h（）=，则G
16、（a）在1，+）上为减函数，G（a）的最大值为G（1）=，故h（x）的最小值h（），则若x2axaln（x1）b，则b+ln2，若x2axaln（x1）b恒成立，则不成立，综上b+ln2故答案为：（， +ln2）二、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9设数列的前项和为Sn，且是等差数列，已知a1=3， +=15（）求数列an的通项公式；（）令 cn=，设数列cn的前n项和为Tn，求T2n【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（）由是等差数列，且a1=3， +=15，得到等差数列的公差，求得等差数列的通项公式，进一步求得Sn，再由an=SnSn1即可得出数列
17、an的通项公式；（）由a1=3，an=2n+1，得Sn=n（n+2）则n为奇数，cn=，n为偶数，cn=2n+1然后分组求和，利用裂项求和及等比数列的前n项和公式即可得出T2n【解答】解：（）是等差数列，a1=3， +=15，3，即=+d（31），即5=3+2d，解得d=1，Sn=n2+2nan=SnSn1=n2+2n（n1）22（n1）=2n+1（n2），当n=1时，也成立an=2n+1；（）由a1=3，an=2n+1，得Sn=n（n+2），则n为奇数时，cn=，n为偶数时，an=2n+1，则cn=2n+1T2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）=（1）+（）+（）+（23+
18、25+22n+1）=1+=10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，PA平面PCD，PA=2，PD=2，E为线段DP上的一点（）求证：平面PAD平面ABCD；（）若二面角PBCE与二面角EBCD的大小相等，求DE的长【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）推导出PACD，ADCD，从而CD面PAD，由此能证明平面PAD平面ABCD（）过P、E作AD的垂线，交AD于M、N，过M、N作AB的平行线交BC于G、H，则PGM为二面角PBCA的平面角，EHN为二面角EBCA的平面角，由题意得PGM=2EHN，由此能求出DE的长【解答】证明：（）PA面PCD，CD
19、面PCD，PACD，又ABCD是矩形，ADCD，PAAD=A，CD面PAD，CD面ABCD，平面PAD平面ABCD解：（）过P、E作AD的垂线，交AD于M、N，则PM底面ABCD，PN底面ABCD，过M、N作AB的平行线交BC于G、H，连结PG、EH，则PGM为二面角PBCA的平面角，EHN为二面角EBCA的平面角，由题意得PGM=2EHN，PM=，MG=1，tan=，tanEHN=，解得EN=DE=11某商店每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干（A商品在商店的保鲜时间为10小时，该商店的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的A商品没有
20、售完，则商店对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品）该商店统计了50天A商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如表（注：视频率为概率）前6小时内的销售量N（单位：件）345频数10xy（）若某天商店购进A商品6件，在前6个小时中售出4件，若这些产品被6名不同的 顾客购买，现从这6名顾客中随机选2个进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元购买的顾客的概率是多少？（）若商店每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值
21、范围【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为3件，4件，5件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可【解答】解：（）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）=；（）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为3件，4件，5件，当购进A商品3件时，EX=1503=450，当购进A商品4件时，EX=0.2+15040.
22、8=560，当购进A商品5件时，EX=0.2+1505=6704x，由题意6704x560，解得x28，又知x5010=40，所以x的取值范围为28，40xN*12已知椭圆C： +=1（ab0），过椭圆的右焦点F任作一条直线交椭圆C于A，B两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆C于M，N两点（）求证：AM与AN的斜率之积为定值；（）若2a|AB|=|MN|2，试探究直线AB与直线MN的倾斜角之间的关系【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）设A（x0，y0），M（x1，y1），N（x1，y1），由=1， =1，两式相减，得=，由此能证明kAMkAN为定值（）当弦AB所在直线的斜率不存在时，MN
23、AB，当弦AB，弦MN所在直线的斜率均存在时，设弦AB与弦MN的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），则直线AB，MN的方程分别为y=k1（xc），y=k2x，分别与椭圆C联立方程组，求出|AB|和|MN|，推导出弦AB与弦MN所在直线的倾斜角相等或互补【解答】证明：（）设A（x0，y0），M（x1，y1），N（x1，y1），由=1， =1，两式相减，得+=0，即=，kAMkAN=为定值解：（）当弦AB所在直线的斜率不存在时，|AB|=，|MN|=2b，弦MN为此椭圆的短轴，此时，MNAB，当弦AB，弦MN所在直线的斜率均存在时，不妨设弦
24、AB与弦MN的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），则直线AB，MN的方程分别为y=k1（xc），y=k2x，由，得，|AB|=|x1x2|=，同理，由，得，|MN|=|x3x4|=2ab，|AB|=，即2a=4a2b2，即2a=4a2b2，即=（a2b2），ab，k1=k2，弦AB与弦MN所在直线的倾斜角相等或互补，弦AB与弦CD的斜率有一个存在，一个不存在时，满足题意13已知函数f（x）=x+alnx，aR（）讨论函数f（x）极值点的个数；（）如果区间1，e（e=2.71828）上总存在一点x0，使x0+a（lnx0+）成立，求a的取
25、值范围【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的定义域，函数的导函数，a1时，a1时，分别求解函数的单调区间，从而求出极值点的个数；（）转化已知条件为函数h（x）在1，e上的最小值h（x）min0，利用第（1）问的结果，通过ae1时，a0时，1ea0时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围【解答】解：（）f（x）=x+alnx，定义域为（0，+），f（x）=1=，当0a11，即1a2时，令f（x）0，解得：x1或0xa1，令f（x）0，解得：a1x1，f（x）在（0，a1）递增，在（a1，1）递减，在（1，+）递增，f（x）有2个极值点；a1=1即
26、a=2时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，f（x）没有极值点；a11即a2时，令f（x）0，解得：xa1或x1，令f（x）0，解得：1xa1，f（x）在（0，1）递增，在（1，a1）递减，在（a1，+）递增，f（x）有2个极值点当a10，即a1时，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：0x1，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，f（x）有1个极值点；综上：当1a2，或a2时，f（x）有2个极值点，当a1时f（x）有1个最小值点；a=2时f（x）没有极值点；（）由题意可知，在1，e上存在一点x0，使x0+a（lnx0+）成立，即在1，e上存在一点x0，使得f（x0）0，即函
27、数f（x）在1，e上的最小值f（x）min0，当a1e，即ae+1时，h（x）在1，e上单调递减，f（x）min=f（e）=e+a0，a，e+1，此时存在x0使f（x0）0成立；当a11，即a2时，f（x）在1，e上单调递增，f（x）min=f（1）=1+1a0，a2，故a=2当1a1e，即2ae+1时，f（x）min=f（a1）=a2aln（a1）0，0ln（a1）1，0aln（a1）a，0f（a1）a2，此时存在x0使f（x0）0成立综上可得所求a的范围是：a2请考生在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲14如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延
28、长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆（）证明：CA是ABC外接圆的直径；（）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）由已知与圆的切线的性质可得CDBAEF，DBC=EFA利用B，E，F，C四点共圆，可得CFE=DBC，EFA=CFE=90，即可证明（II）连接CE，由于CBE=90，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DBBA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DBDA=3DB2，即可得出
29、【解答】（I）证明：CD为ABC外接圆的切线，BCD=A，由题设知： =，故CDBAEF，DBC=EFAB，E，F，C四点共圆，CFE=DBC，故EFA=CFE=90CBA=90，因此CA是ABC外接圆的直径（2）解：连接CE，CBE=90，过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DBBA=2DB2，CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DBDA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与ABC的外接圆面积的比值为选修4-4：坐标系与参数方程15选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知
30、曲线C1的极坐标方程为=4cos，曲线C2的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（）当=时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程【分析】（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cos，=|OA|，命题得证（）当=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），由此可得m及直线的
31、斜率，从而求得的值【解答】解：（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），则|OB|+|OC|=4cos（+）+4cos（）=2（cossin）+2（cos+sin）=4cos，=|OA|（）当=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）化为直角坐标为B（1，），C（3，）C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），故直线的斜率为，所以m=2，=选修4-5：不等式选讲16已知函数f（x）=|3x+2|（）解不等式f（x）4|x1|；（）已知m+n=1（m，n0），若|xa|f（x）+（a0）恒成立，求实数a的取值范围
32、【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由条件利用基本不等式求得+4，结合题意可得|xa|3x+2|4恒成立令g（x）=|xa|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围【解答】解：（）不等式f（x）4|x1|，即|3x+2|+|x1|4，或，或解求得x，解求得x，解求得x综上可得，不等式的解集为（，）（）已知m+n=1（m，n0），+=（m+n）（+）=2+2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号再根据|xa|f（x）+（a0）恒成立，可得|xa|f（x）4，即|xa|3x+2|4设g（x）=|xa|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（）=+a，再由+a4，求得 0a2016年9月18日
