1、第4节直线、平面平行的判定及其性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题知 识 梳 理1直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行
2、平面(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab3.与垂直相关的平行的判定(1)a，bab(2)a，a常用结论与微点提醒1平行关系转化2平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5
3、)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误(2)若a，P，则过点P且平行于a的直线只
4、有一条，故(2)错误(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误答案(1)(2)(3)(4)2下列命题中，正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C若直线a，b和平面满足a，b，那么abD若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案D3设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析当m时，可能，也可能与相交当时，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分条件
5、答案B4(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行5用一个截面去截正三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1AA1C1，则截面的形状可以是_(把你认为可能的结果都填上)解析由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形答案矩形或梯形6(201
6、8丽水月考)设，为三个不同的平面，a，b为直线(1)若，则与的关系是_；(2)若a，b，ab，则与的关系是_解析(1)由，.(2)a，abb，又b，从而.答案(1)平行(2)平行考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】 (一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因
7、此A项不正确图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行A项不正确答案A规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【训练1】 (2018金华测试)设m，n是两条不同的直线，是三个不
8、同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号)解析mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误答案考点二直线与平面平行的判定与性质(多维探究)命题角度1直线与平面平行的判定【例21】 (2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，
9、TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.命题角度2直线与平面平行性质定理的应用【例22】 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证
10、明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD.所以POGK，且GK底面ABCD，又EF平面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB
11、8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.规律方法(1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性质定理(，aa)；利用面面平行的性质(，a，aa)(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【训练2】 在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，P
12、C，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，E为AD的中点，BC綉AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点，又F是PC的中点，FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考点三面面平行的判定与性
13、质(变式迁移)【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面B
14、CHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【变式迁移1】 如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接A1B.D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.【变式迁移2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，
15、所以BC1D1O，则1.又由题设，1，即1.规律方法(1)判定面面平行的主要方法利用面面平行的判定定理线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)(2)面面平行的性质定理两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面若一平面与两平行平面相交，则交线平行提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行【训练3】 (2016山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，图如图，连接DE.
16、因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.图在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.基础巩固题组一、选择题1设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若m，n，则m且n；反之若m，n，m且n，则与相交或平
17、行，即“”是“m且n”的充分不必要条件答案A2有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析命题l可以在平面内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题a可以在平面内，不正确；命题正确答案A3.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A异面 B平行C相交 D以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，过A
18、1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案B4下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A B C D解析中，易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB，可得出AB平面MNP(如图)中，NPAB，能得出AB平面MNP.在中不能判定AB平面MNP.答案B5(2018嘉兴测试)已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m，mn，则n解析若m，n，则m，n平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于
19、平面内任一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错答案B6(2018湖州调研)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，m，则 B若m，m，则C若m，n，则mn D若m，n，则mn解析若m，m，则，可能平行或相交，A错误；若m，m，则，B错误；若m，n，则mn，C错误； 若m，n，则mn，D正确，故选D.答案D二、填空题7(2017台州月考)在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则MN与平面ABD的位置关系是_；与平面ABC的位置关系是_解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是ACD，BCD的
20、重心，所以AE，BE分别过M，N，则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.因为AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN平面ABD，MN平面ABC.答案平行平行8(2017宁波调研)如图，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为_解析取PD的中点F，连接EF，AF，在PCD中，EF綉CD.又ABCD且CD2AB，EF綉AB，四边形ABEF是平行四边形，EBAF.又EB平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD.答案平行9设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下
21、列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，则m，且m；若，则.其中真命题的个数为_解析若m，n，则m，n可能平行或异面，错误；若，则，又m，则m，正确；若n，mn，则m或m或m或m，错误；若，则，可能平行或相交，错误，则真命题个数为1.答案110.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BD
22、D1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)三、解答题11一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论解(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所
23、以平面BEG平面ACH.12.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解VPAABADAB.由V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知ABBC，PABC，且PAABA，所以BC平面PAB，又AH平面PAB，所以BCAH，又PBBCB，故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股定理可得P
24、B，所以AH.所以A到平面PBC的距离为.能力提升题组13给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为()A3 B2 C1 D0解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l，m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确答案C14.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45解析因为截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，则MN平面ABC，由线面平行的性
25、质知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故A，B正确又因为BDMQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45，故D正确答案C15(2018绍兴一中适应性检测)如图所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，则A1DDC1的值为_解析设BC1B1CO，连接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四边形BCC1B1是菱形，O为BC1的中点，D为A1C1的中点，则A1DDC11.答案116.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1
26、中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平
27、面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.17(2018杭州七校联考)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.证明(1)因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理，得BDAD，所以AD2BD2AB2，即ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1.又EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.
