1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ） A B C D【答案】D考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.设是虚数单位，若复数满足，则复数的模（ ） A-1 B1 C D2【答案】B【解析】试题分析：因为，所以,所以有,故选B.考点：1、复数的模；2、复数的运算.3.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ） A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法【答案】D【解析】
2、试题分析：总体由男生和女生组成，比例为,所抽取的比例也是,故拟从全体学生中抽取名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法, 故选D.考点：样本估计总体及分层抽样法.4.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近方程为（ ） A B C D【答案】C考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.5.若，则与的夹角为（ ） A30 B45 C60 D75【答案】B【解析】试题分析：设两个向量的夹角为,即,即, 故选B.考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式.6.已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项 A5 B4 C4或5 D5或6【答案】A【解析】
3、试题分析：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，,第项系数为时最大,故展开式中系数最大的项为第项. 故选A.考点：1、二项展开式定理；2、二项展开式的通项与系数.7.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A B C D【答案】A考点：1、定积分的几何意义；2、定积分求曲边形的面积.8.体积为的球放置在棱长为4正方体上，且与上表面相切，切点为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为（ ） A B C2 D【答案】B【解析】试题分析：球的体积为, 球的半径为,四棱锥的外接球的半径为,则,解得, 故选B.考点：1、球的体积公式；2、几何体外接球的性质.9.函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答
4、案】B考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性和最值.10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ） A B C D【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体为从边长为的正方体切出来的三棱锥,作出直观图如图所示，其中为正方体的顶点，为正方体的棱的中点.,由勾股定理得，,.几何体的表面积为.故答案为A.考点：1、三视图的性质；2、几何体的表面积.【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及空间几何体的表面积，属于中档题. 求以三视图为背景的几何体的表面积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体的表面积的问题
5、的思路是将立体几何问题转化为平面问题， 即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.11.已知是抛物线的一个动点，是圆上的一个动点，定点，若轴，且，则的周长的取值范围是（ ） A B C D【答案】C考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单性质及定义.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及抛物线的定义，属于难题.与抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离
6、，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题求三角形周长时就是将转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.12.设等差数列满足：，公差若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ） A B C D【答案】B考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前项和的最值.【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前项和的最值，属于难题.求等差数列前项和的最大值值的方法通常有两种：将前前项和表示成关于的二次函
7、数，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.本题根据方法确定的取值范围的.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_（参考数据：）【答案】考点：程序框图及循环结构.14.函数的最小值为_【答案】【解析】试题分析：,的最小值为,的最小值为,故答
8、案为.考点：1、两角差的正弦、余弦公式；2、二倍角的正弦余弦公式.15.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为_【答案】考点：1、等比数列与等差数列的前项和公式；2、集合的子集与子集个数问题.【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列的前项和，然后根据子集个数和化归思想将“的所有非空子集中的最小元素的和为”转化为“个，个，.个（为最大元素）的和等于”， 最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.16.设函数（为自然对数底数），定义在上函数满足：，且当时，若
9、存在，使，则实数的取值范围为_【答案】考点：1、抽象函数的奇偶性、单调性；2、构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究抽象函数的单调性、构造函数解不等式及方程的根的问题，属于难题.解答本题的关键是求出的范围，也就是化简集合，即是求出不等式的解集，解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，是直角三角形斜边上一点，（1）若，求；（2）若，且，求【答案】(
10、1)；（2）.，在中，即，得故考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，为的中点（1）求证：；（2）设平面平面，求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析；（2）.同理可求平面的一个法向量设二面角的大小为，则，二面角的正弦值为考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式. 19.（本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个
11、、10个、20个学豆的奖励游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可能选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）设该选手所得学豆总数为，求的分布列与数学期望【答案】(1)；（2）分布列见解析，.（2）所有可能的取值为 ，所以的分布列为：考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.20.（本小题满分12分）已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的
12、离心率（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1) ；（2）存在一个定点满足条件.解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，由，解得，由此可知所求点如果存在，只能是事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆 方程并整理得，设点的坐标为，则，因为，所以有所以，即以为直径的圆恒定过点,综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件 .考点：1、
13、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.（本小题满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为（1）求的值；（2）求函数在上的最大值；（3）证明：当时，【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.（2）法1：由（1）知，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，在上单调递减，在上
14、单调递增又，当且仅当时取等号故由（2）知，故，当且仅当时取等号所以，即所以，即成立，当时等号成立.考点：1、导数的几何意义及不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性及最值.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的证明和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
15、22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于交圆于点（1）证明：是的中点；（2）证明：【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析. 所以，得，因此，即是的中点（2）证明：连接，显然是斜边上的高，可得，于是有，即，同理可得，所以考点：1、弦切角定理及等腰三角形性质；2、圆的性质及相似三角形. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线 的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设， 直线与曲线交于 两点 （1）当时，求的长度； （2）求的取值范围【答案】(1)；（2）.，考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围【答案】(1)；（2）.所以，当且仅当，即时等号成立所以，所以的取值范围为 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.
