1、第6讲双曲线最新考纲1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3理解数形结合的思想.知 识 梳 理1双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e
2、，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)辨 析 感 悟1对双曲线定义的认识(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()2对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)(2013新课标全国卷改编)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的
3、渐近线方程为yx.()(5)(2013陕西卷改编)双曲线1的离心率为，则m等于9.()(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()感悟提升1一点提醒双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线2二个防范一是双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，而双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，应注意其区别与联系，如(4)；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)考点一双曲线
4、的定义及应用【例1】 (1)若双曲线1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是() A4 B12 C4或12 D6(2)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析(1)由题意知c4，设双曲线的左焦点为F1(4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|PF2|4，解得|PF1|12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|PF1|4，解得|PF1|4，所以|PF1|4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.(2)由1得a3，b4，c5.|PQ|4b162a.又
5、A(5,0)在线段PQ上，P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|QF|28.PQF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案(1)C(2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上【训练1】 (1)(2014大连模拟)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1 B17 C1或17 D以上答案均不对(2)已知F是
6、双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5 B54 C7 D9解析(1)由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为9.答案(1)B(2)D考点二求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，
7、且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.答案(1)1(2)1规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，
8、求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可.【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双
9、曲线的标准方程为1.考点三双曲线的几何性质【例3】 (1)(2013湖南卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_(2)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0解析(1)因为PF1PF2，PF1F230，所以|PF2|F1F2|c，|PF1|F1F2|c.由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以离心率e1.(2
10、)设PF1的中点为M，由|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即yx，即4x3y0.答案(1)1(2)C规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解(2)求曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，
11、即得两渐近线方程0.【训练3】 (1)设点P在双曲线1(a，b0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，则该双曲线的离心率为_解析(1)由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以4|PF2|PF2|2a，所以|PF2|a，|PF1|a，所以整理得ac，所以，即e，又e1，所以1e.(2)当焦点在x轴上时，即，所以e2，解得e；当焦点在y轴上时，即，所以e2，解得e，即双曲线的离心率为或.答案(1)(2)或 1双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比
12、的方法，但一定要把握好它们的区别和联系2双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程如果已知渐近线方程为axby0时，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法3双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系 教你审题8运用双曲线的标准方程及其性质【典例】 如图，F1，F2分
13、别是双曲线C：1(a，b0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C的离心率是()A. B. C. D.审题一审：求出直线F1B的方程二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y0得M点的坐标四审：由|MF2|F1F2|建立关系式，求出离心率解析依题意，知直线F1B的方程为yxb，联立方程得点Q，联立方程得点P，所以PQ的中点坐标为.所以PQ的垂直平分线方程为y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2，即3a22c2.所以e.故选B.答案B反思感悟
14、求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题【自主体验】(2013山东卷)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.解析抛物线C1：yx2的标准方程为x22py，其焦点为F；双曲线C2：y21的右焦点F为(2,0)，其渐近线方程为yx.由yx，所以x，得xp，所以点M的坐标为.由点F，F，M三点共线可求p.答案D
15、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014郑州二模)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8 C24 D48解析由可解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2|PF1|PF2|24.答案C2(2013湖北卷)已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析0，sin cos .由双曲线C1：1知实轴长为2sin ，虚轴长为2cos ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：1知实轴长为2cos ，虚轴长为2sin ，焦距为2，离心率为.
16、答案D3(2014日照二模)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，a25，b220，双曲线的标准方程为1.答案A4双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()Am Bm1 Cm1 Dm2解析在双曲线x21中，a1，b，则c，离心率e，解得m1.答案C5(2014成都模拟)已知双曲线的方程为1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析不妨取双曲线的右焦点
17、(c,0)，双曲线的渐近线为yx，即bxay0.则焦点到渐近线的距离为c，即bc，从而b2c2c2a2，所以c2a2，即e2，所以离心率e.答案A二、填空题6(2014青岛一模)已知双曲线x2ky21的一个焦点是(，0)，则其离心率为_解析由已知，得a1，c.e.答案7(2014广州一模)已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_解析由题意得c，所以9ac213，所以a4.即双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线为2x3y0.答案2x3y08(2014武汉诊断)已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线
18、的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1，所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案5三、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.10中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1
19、，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014焦作二模)直线yx与双曲线C：1(a0，b0)左右两支分别交于
20、M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|MO|，则双曲线的离心率等于()A. B.1 C.1 D2解析由题意知|MO|NO|FO|，MFN为直角三角形，且MFN90，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形又MFN90，四边形NFMF0为矩形，|MN|F0F|2c，又直线MN的倾斜角为60，即NOF60，NMF30，|NF|MF0|c，|MF|c，由双曲线定义知|MF|MF0|cc2a，e1.答案B2(2014临沂联考)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
21、若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2) B(，2) C(，2) D(2,3)解析由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e2.答案A二、填空题3.如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的
22、离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.解析(1)由B2OF2的面积可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)设B2F1O，则sin ，cos ，e2.答案(1)(2)三、解答题4(2014湛江二模)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)双曲线的渐近线为yx，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程，得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e1，e.双曲线的离心率为.
