1、2015-2016学年福建省福州市连江二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合P=x|x0，Q=x|0，则PQ=（）A（，2）B（，1）C0，+）D（2，+）2命题“x0（0，+），lnx0=x01”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0x01Bx0（0，+），lnx0=x01Cx（0，+），lnxx1Dx（0，+），lnx=x13已知sin（+）=，cos=（）ABCD4在ABC中，AB=，AC=1，B=，则ABC的面积是（）ABC或D或5设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于
2、（）ABCD6设数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1+ba2+ba3+ba4=（）A15B60C63D727设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A7B8C9D148已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）ABCD710设f（x）=lnx，0ab，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b），则下列关系式中正确的是（）Aq=rpBp=rqCq=rpDp=rq11已知正数a，
3、b满足+=1，若不等式a+bx2+4x+18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A3，+）B（，3C（，6D6，+）12已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，2（0，B（，2（0，C（，2（0，D（，2（0，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13将函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=14等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q=15在ABC中，BAC=120，
4、AB=AC=2， =2， =3，则的值为16设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=cosxcos（x+）（）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=，a=2，且ABC的面积为2，求边长c的值18已知数列an中，a1=1前n项和Sn=n2n（）求数列an的通项公式（）设bn=2，求证：b1+b2+bn19在直角坐标系xOy中，直线C1
5、：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积20已知几何体EABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=，ABE为等边三角形，平面ABCD平面ABE，点F为棱BE的中点，（1）求证：BE平面AFD； （2）求四面体DAFC的体积21为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（
6、元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？22设函数f（x）=axlnx，g（x）=exax，其中a为正实数（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+）上无最小值，且g（x）在（1，+）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2ax在（1，+）交点个数2015-2016学年福建省福州市连
7、江二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合P=x|x0，Q=x|0，则PQ=（）A（，2）B（，1）C0，+）D（2，+）【考点】交集及其运算【分析】求出Q中不等式的解集确定出Q，找出P与Q的交集即可【解答】解：由Q中的不等式变形得：（x+1）（x2）0，且x20，解得：x1或x2，即Q=（，1（2，+），P=0，+），PQ=（2，+），故选：D2命题“x0（0，+），lnx0=x01”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0x01Bx0（0，+），lnx0=x01Cx（0，+），l
8、nxx1Dx（0，+），lnx=x1【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：x（0，+），lnxx1，故选：C3已知sin（+）=，cos=（）ABCD【考点】诱导公式的作用【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cos的值【解答】解：sin（+）=sin（2+）=sin（+）=cos=故选C4在ABC中，AB=，AC=1，B=，则ABC的面积是（）ABC或D或【考点】正弦定理【分析】先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：由正弦定理知=，sinC=，C=，A
9、=，S=ABACsinA=或C=，A=，S=ABACsinA=故选D5设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）ABCD【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得【解答】解：=（1，2），=（1，1），=+k=（1+k，2+k），=0，1+k+2+k=0，解得k=故选：A6设数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1+ba2+ba3+ba4=（）A15B60C63D72【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出an，bn，再由通
10、项公式即可得到所求【解答】解：数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，则an=3+（n1）1=n+2，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn=2n1，则ba1+ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60故选B7设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A7B8C9D14【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z经过点A时，直线y=3x+z的截距最大，此时z
11、最大由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=32+3=9即目标函数z=3x+y的最大值为9故选：C8已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对【解答】解：在正方体ABCDABCD中：令底面ABCD=A、令m=AB，n=BC，满足m，n，但mn不成立，A错误；B、令m=AA，n=AB，满足m，mn，但n不成立，B错误；C、令m=AB，n=AD，满足m，mn，但
12、n不成立，C错误；故选：D9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）ABCD7【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：222=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：111=，故几何体的体积V=8=，故选：A10设f（x）=lnx，0ab，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b），则下列关系式中正确的是（）Aq=rpBp=rqCq=rpDp=rq
13、【考点】不等关系与不等式【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）ln（）=p，r=（f（a）+f（b）=（lna+lnb），p=rq，故选：B11已知正数a，b满足+=1，若不等式a+bx2+4x+18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A3，+）B（，3C（，6D6，+）【考点】函数恒成立问题【分析】利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为mx2+4x+2对任意实数x恒成立，再利用配方法求出x2+4x+2的最大值得答案
14、【解答】解：a0，b0，且+=1，a+b=（a+b）（）=10+当且仅当3a=b，即a=4，b=12时，（a+b）min=16若不等式a+bx2+4x+18m对任意实数x恒成立，则x2+4x+18m16，即mx2+4x+2对任意实数x恒成立，x2+4x+2=（x2）2+66，m6实数m的取值范围是6，+）故选：D12已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，2（0，B（，2（0，C（，2（0，D（，2（0，【考点】分段函数的应用【分析】由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合
15、即可得到结论【解答】解：由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0m，当h（x）过（0，2）时，h（0）=2，解得m=2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m0，由=9+4m=0得m=，此时直线和f（x）相切，要使函数有两个零点，则m2或0m，故选：A二、填空题（
16、本大题共4小题，每小题5分，共20分）13将函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】哟条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得sin（2x+）=sinx，可得2=1，且 =2k，kz，由此求得、的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin2（x）+）=s
17、in（2x+）=sinx的图象，2=1，且 =2k，kZ，=，=+2k，f（x）=sin（x+），f（）=sin（+）=sin=故答案为：14等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q=【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】依题意有，从而2q2+q=0，由此能求出an的公比q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，依题意有，由于a10，故2q2+q=0，又q0，解得q=故答案为：15在ABC中，BAC=120，AB=AC=2， =2， =3，则的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】将所求的向量分别利用，表示，结合已知求，计算即
18、可【解答】解：因为=22cos1202+22cos120=；所以的值为；故答案为：16设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集为【考点】导数的运算【分析】先确定函数y=x2f（x）在（一，0）上是减函数，再根据（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0，可得（x+2014）2f（x+2014）（2）2f（2），即可得出结论【解答】解：函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，2f（x）+xf（x）x2，2xf（x）+x2f（x）0，x2f（x）0，函数y=x2f（x）在（，
19、0）上是减函数，（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0（x+2014）2f（x+2014）（2）2f（2），x+20142，x2016，不等式的解集为（，2016）故答案为：（，2016）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=cosxcos（x+）（）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=，a=2，且ABC的面积为2，求边长c的值【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=
20、，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosxsinx）=cos2xsinxcosx=sin2x=cos（2x+）+，f（x）的最小正周期T=；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=，cos（2C+）=1，C=，又ABC的面积S=absinC=ab=2，ab=8，b=4，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=12，c=218已知数列an中，a1=1前n项和Sn=n2n（）求数列an的通项公式（）设bn=2，求证：b1+b2+bn【考点】数列的求和【分析】（I）利用递推式即可得出；（II）利用等
21、比数列的定义及其前n项和公式即可得出【解答】（）解：Sn=n2n当n2时，an=SnSn1=n2n=3n2，当=1时，也成立an=3n2（）证明：=23n2，=8，数列bn是以2为首项，以8为公比的等比数列，b1+b2+bn=19在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（）由条件根据x=cos，y=sin求得C1，C2的极坐标方程（）把直线C3的极坐标方程代入23+
22、4=0，求得1和2的值，结合圆的半径可得C2MC2N，从而求得C2MN的面积C2MC2N的值【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，C1：x=2 的极坐标方程为 cos=2，故C2：（x1）2+（y2）2=1的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）2=1，化简可得2（2cos+4sin）+4=0（）把直线C3的极坐标方程=（R）代入圆C2：（x1）2+（y2）2=1，可得2（2cos+4sin）+4=0，求得1=2，2=，|MN|=|12|=，由于圆C2的半径为1，C2MC2N，C2MN的面积为C2MC2N=11=20已知几何体EABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，AB=2，A
23、D=，ABE为等边三角形，平面ABCD平面ABE，点F为棱BE的中点，（1）求证：BE平面AFD； （2）求四面体DAFC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由面面垂直的性质证明DABE，由正三角形的性质证明AFBE，再由线面垂直的判断得答案；（2）利用等积法把四面体DAFC的体积转化为三棱锥FADC的体积求解【解答】（1）证明：如图，平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，且DAAB，DA平面ABE，则DABE，又ABE为等边三角形，且F为BE的中点，AFBE，又DAAF=A，BE平面AFD；（2）解：四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=，
24、又等边三角形ABE的边AB上的高h=，F到平面ABCD的距离为21为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）由题意月处理成本y（元
25、）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=100xy，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解【解答】解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元（2）设该单位每月获利为S，则S=100xy =因为400x600，所以当x=400时，S有最大值40000故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损22设函数f（x）=axlnx，g（x）=exax，其中a为正实数（l）若x=0是函数g（x）的
26、极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+）上无最小值，且g（x）在（1，+）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2ax在（1，+）交点个数【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出g（x）的导数，令它为0，求出a=1，再求f（x）的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；（2）求出f（x）的导数，讨论a的范围，由条件得到a1，再由g（x）的导数不小于0在（1，+）上恒成立，求出ae，令即a=，令h（x）=，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可【解答】解：（1）由g（x）=exa，g（0）=1a=0得a=1，f（x）=xlnxf（x）的定义域为：（0，+），函数f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）（2）由若0a1则f（x）在（1，+）上有最小值f（），当a1时，f（x）在（1，+）单调递增无最小值g（x）在（1，+）上是单调增函数g（x）=exa0在（1，+）上恒成立ae，综上所述a的取值范围为1，e，此时即a=，令h（x）=，h（x）=，则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+）单调递增，极小值为故两曲线没有公共点2016年10月14日
