1、直线与平面平行的判定和性质主讲人：张英群 基础知识 直线与平面 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线和平面相交 直线和平面平行 定义 判定定理 性质定理 学习指导 1如何深刻理解直线与平面的三种位置关系？直线不和平面平行就一定相交吗？直线和平面有三种位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交，为进一步深刻理解这三种位置关系，我们可以按两种不同的分类标准采用二分法（把研究的对象分成互不相容的两类，每个对象都属于其中一类且仅属于这一类）进行分类，即 直线在平面内 直线和平面相交 直线不在平面内 直线和平面平行 直线和平面平行直线不和平面平行 直线在平面内 直线和平面相
2、交 所以，直线不和平面平行不一定就是相交，应包括直线和平面相交，直线在平面内两种情况.2“一条直线和一个平面内的一条直线平行，则这条直线和平面平行”对吗？为什么？不对.为判定一条直线和平面平行，根据定义推证了判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用这个定理来判定直线l平面时，必须符合定理中的三个条件：（1） 直线l在平面外（l）；（2） 直线a在平面内（a）；（3） 直线l平行于直线 a（la）.这三个条件缺一不可，如缺条件（1）时直线l不一定和平面平行，它们的位置关系有两种：直线l在平面内，直线l平行于平面.3运用反证法“怎样才算归结到谬误，导出
3、矛盾”呢？运用反证法证题中从“假设出发，推理导出矛盾”通常有以下几种不同途径：（1） 导出结果与所作假设矛盾；（2） 导出结果与已知条件矛盾；（3） 导出结果与已知公理、定义、定理相矛盾；（4） 导出结果之间互相矛盾.4至此为止，已学习了哪些证明“平行”的定理?证明“平行”的常用思维方法是什么？（1） 空间两条直线平行的判定：平行于同一直线的两条直线平行； 直线和平面平行的性质定理：若一直线平行于一个平面，过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与其交线平行（线面平行，则线线平行）.（2） 直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定定理： 若平面外一条直线与平面内一条直线，则该直线与这个平面平
4、行（线线平行，则线面平行）.证明“平行”常用的思维方法，就是“线线平行”与“线面平行”的相互转化，即直线和平面平行的判定定理 线线平行 线面平行直线和平面平行的性质定理例题精析例 1.经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面和另一条直线平行.已知：a，b是异面直线.求证：经过b有一个平面并且只有一个平面和a平行. 分析此题需分二步证明,一先由线线平行得出经过b有一个平面和a平行；二再证明唯一性.证明如图3-1，在b上任取一点A，经过A作直线aa，a和b是相交直线，a，b可确定一个平面.aa，a平面.经过b有一个平面和a平行；再证明经过b且与a平行的平面只有一个.如果平面经过直线b且与直线a平
5、行的平面，那么经过直线b上一点A和直线a可以确定一个平面和平面的交线与a平行.经过点A只能有直线a的一条平行线，这条交线就是a.平面必定是直线b和a所确定的平面，平面和平面重合，经过b只有一个平面和直线a平行.解题后的点拨本题证明唯一性的方法叫做同一法，它是一种间接证法.同一法常用于证明图形具有某种性质，它的一般步骤为：（1） 作图 作出符合命题结论的图形;（2） 合一 利用唯一性的公理、定理，证明所作的图形与已知图形相重合；（3） 判断 断定原来命题结论的正确性. 例 2.如图3-2，P是平行四边形ABCD外一点，O为AC和BD的交点，E、F分别是PB、PC的中点.试判断OE、OF、EF分别
6、与哪些平面平行，并加以证明. OF 分析因O，E，F均是线段的中点，由三角形中位线定理可得两线平行，进而推得线面平行.解（1）OE平面PAD，OE平面PCD.AC，BD是ABCD的对角线，BO=DO.PE=BE，OEPD.PD平面PAD，PD平面PCD，OE平面PAD，OE平面PCD，OE平面PAD，OE平面PCD.（2）OF平面PAB，OF平面PAD.AC，BD是ABCD的对角线，AO=CO.又PF=CF，OFPA.PA平面PAB，PA平面PAC，OF平面PAB，OF平面PAD，OF平面PAB，OF平面PAD. EF平面ABCD,EF平面PAD.（3）PE=BE，PF=CF，EFBC，BCA
7、D，EFAD.BC平面ABCD，AD平面PAD，EF平面ABCD，EF平面PAD，EF平面ABCD，EF平面PAD.解题后的点拨在使用直线和平面平行的判定定理时，需注意下述两点：（1） 平面外的一条直线一定要平行于平面内的一条直线；（2） 平面内的一条直线可以是任意的，只要能在平面内找一条与平面外一条直线平行，就可以证明平面外一条直线与平面平行. 例 3. 如图 3-3，已知直线a平面M，直线a平面N，MN=b.求证：ab.分析由已知的线面平行可得线线平行，进而证明ab.ABMNabcd图 3-3证明在平面M内任选一点A，在图3-3平面N内任选一点B，则由a与A，a与B可以分别确定平面，.设平
8、面平面M=c，平面平面N=d.a平面M，a平面N，ac,ad,cd.c平面M，d平面M. 平面M平面N=b，b平面M,db.ad,ab.解题后的点拨本题可以归纳如下结论：如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行.巩固提高（一） 选择题 1直线ab，a平面，则b与平面的位置关系为（ ）.（A）ba （B）b（C）b （D）都有可能 2如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）. （A）平行 （B）相交 （C）相交或平行 （D）以上都不对 3在下列说法中 （1）若直线ab，b平面，则a； （2）若直线a，b，则有ab； （3）
9、若直线ab，直线a，则b； （4）若直线a，b，则有ab. 其中正确的是（ ） （A）（1）（4） （B）（1）（3） （C）（2） （D）均不正确 4若一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线（ ）（A） 必与该平面无公共点；（B） 必与该平面不相交；（C） 必不在该平面内；（D） 该直线与这平面平行.5下列命题正确的是（ ） (A)过一点作一直线的平行平面有无数多个； (B)过平面外一点，作一平面的平行直线有无数多条； (C)过一点作一直线的平行直线有无数条； (D)过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行.6.直线是平面的斜线,当与成的角,且与在内的射 影成角时,与所成的角是(
10、) (A) (B) (C) (D)（二） 填空题AA1BB1DCC1D1图3-4 7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图3-4：（1）平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线和棱AA1的位置关系是 ；（2）截面B1AC和A1D的位置关系是 . 8A是两异面直线a，b外的一点，过A可作 个平面同时与a, b平行. 9如图3-5，a,A是的另一侧的点，B，C，Da，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG= . 10从平面外一点P向平面M引两条斜线PA,PB,A,B为斜足,如果PA,PB与平面M所成的角分别是,则 . 11.在ABC中,AB=5,AC=7,A
11、=60,G是重心,过G的平面与BC平行,AB=M,AC=N,MN= .(三)解答题:MD 12.设a，b是异面直线，AB是a，b的公垂线，过AB的中点O作平面与a，b分别平行，M，N分别是a，b上的任意两点，MN与交于点P.求证：P是MN的中点. 13.已知,a,求证: 14如图3-6长方体ABCD-ABCD中，点PB（不与BB重合），PABA=M，PCBC=N，求证：MN平面ABCD.15如图3-7，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN.求证：MN平面BCE. 16.如图3-8,是异面直线,是的公垂线,垂足分别是平面过的中点且与都平行,分别是上的
12、点,交平面于. (1)求证: (2)若,问等于何值时,的长为5.自我反馈（一） 选择题 1D.如图依次为ba，b，b三种情况.abaaab图 3-8b图3-9a2C.如图所示： 3D.（1）结论为“a或a”；（2）a与b的位置关系为平行、异面或相交；（3）结论为“b或b”；（4）a与b的位置关系为平行、异面或相交.4B.无公共点是指线面平行；不相交是指线面平行或线在面内.5B.A错，点不在线上；C错，点在线外；D错，有可能经过另一条直线.6. B.如图3-10,于,于B,连结则设即为与所成的角,（二） 填空题7（1）平行.因为AA1平行于BB1，所以AA1平面BB1DD，从而AA1平行于平面A
13、A1C1C和平面BB1D1D的交线；（2）平行.因为A1DB1C，所以A1D平面B1AC.8. 一个或没有.因为过A点分别作a，b的平行线只能作一条（分别称为a,b），经过a，b的平面也是唯一的，所以只能作一个平面，还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了.9.a，EG=平面ABD.aEG.，则EG=10.如图3-11,作为垂足,则在中, 在中,则11.根据余弦定理，BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=39，BC=. BC，MN=平面ABC， MNBC. G是ABC的重心， MN=.ABMNQOPb图 3-12a （三）解答题 12连结AN交平面于Q，连结OQ，
14、PQ， b，OQ是过b的平面ABN与平面的交线. OQb， 同理PQ. 在ABN中，O是AB的中点，OQBN, Q是AN的中点, 同理：P是MN的中点.13.证明：过作平面交平面于 ， 同理过作平面交平面于 ，又平面经过交于 14连AC、AC， ABCD- ABCD是长方体 ACAC，AC在平面BAC外，AC在平面BAC内, AC平面BAC，且平面PAC经过AC与平面BAC交于MN， MNAC. MN在平面ABCD外，AC在平面ABCD内MN平面ABCD.15.设两个正方形边长为a，AM=FN=x，作MPBC，NQBE，P，Q为垂足，MPAB，NQAB，MPNQ.NQ=N PNQ ，即MPQN是平行四边形.MNPQ，PQ平面BCE，MN平面BCE.MN平面BCE.16证明： (1)证明:连交于连 ,平面 平面 由得 同理由得 (2)由(1)知即是与所成的角, 由知 又 解释 1如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行.解释 2如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.解释 3如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
