1、 1 2019 年秋 A 佳教育大联盟期中考试 高二数学参考答案 一选择题1 C【解析】Ax|4x1，Bx|x2，ABx|2x1故选答案 C2 A【解析】A 校抽取学生人数为18001800+1500+12004518；B 校抽取学生人数为15001800+1500+12004515；C 校抽取学生人数为12001800+1500+12004512；故选答案 A3 B【解析】设数列an的首项为 a1，公差为 d，S3a1a2a3a1a1da12d3a13d6，a1d2又 a1a5a1a14d2a14d，2a442(a13d)42a16d4，2a14d2a16d4，解得 d2，将 d2 代入 a
2、1d2 解得 a10a10a19d09218 故选答案 B4 A【解析】命题 p 化简可得：ax|0 x1；命题 q 化简可得：ax|0 x1；x|0 x1x|0 x1，p 成立是 q 成立的充分不必要条件故选答案 A5 B【解析】函数 y5x 在 R 上单调递增，a50.551；函数 y0.5x 在 R 上单调递减，b0.550.510.5；函数 ylog5x 在 R 上单调递增，clog53log5 50.5；bca故选答案 B6 B【解析】f(x)2sin(2x4)2cos2x1 2(sin2xcos4cos2xsin4)cos2x 2sin2x 22 2cos2x 22 cos2xsi
3、n2x正确，错误 又 f(x4)sin2(x4)sin(2x2)cos2x，正确故选答案 B7 A【解析】由已知可得：f(x)x2 1x2x21x2|x|x1或x1x21x1故选答案 A8 D【解析】在ABC 中，由正弦定理可知：BCACsinBACsinABCsin36sin72sin362sin36cos3612cos36 512，cos36151 5+14，又 sin1314sin(3360234)sin234sin(18054)sin54sin(9036)cos36 5+14故选答案 D9 C【解析】如图，点 P 是线段 BD 上一点，设BPxBD，APABBPABxBDABx(ADA
4、B)(1x)ABxAD(1x)ABx12AC(1x)ABx2ACAB16AC由平面向量基本定理可得1xx216解得：23x13故选答案 CCABDP 2 10 D【解析】圆 C 的方程：x2y24x4y60 可以化为(x2)2(y2)22，圆心 C(2,2)，半径 r 2，由图可知：向量OA与OP的夹角为AOP，当 P 运动到 OP 与圆 C 相切的 P1位置时，AOP 最小，当 P 运动到 OP 与圆 C 相切的 P2位置时，AOP 最大，又由图可得AOC34，sinP1OC|P1C|OC|22 212，P1OCP2OC6，AOP134 6712，AOP234 61112 向量OA与OP的夹
5、角的取值范围是712,1112 故选答案 D11 D【解析】设 AB 的倾斜角为(02)，则 CD 的倾斜角为 2，|AB|2psin2 2sin2，|CD|2psin2(+2)2cos2，|AB|DE|2sin22cos2 16sin22161 16，等号当且仅当 sin221，即 4时成立故选答案 D12 C【解析】设正四面体 ABCD 的棱长为 2，由等体积法得13(32 32 3 2)r1213 32 63，解得：1r2 3+22设 AH底面 CDE，垂足为 H，四面体 EBCD 的外接球球心为 O，则 O 在直线 AH 上，连接 BO,EO，过 E 作 EFAH 于 F，设 OHh则
6、 BO2EO2R2，即(2 33)2h2(33)2(63 h)2R2，解得 h 12 6，R 112 2RrR1r 112 22 3+222 33+224故选答案 C二填空题133【解析】|a b|a 2b 22a b 1421212 3故填答案 314 1272【解析】设数列an的首项为 a1，公比为 q，a1a7a6，a1a1q6a1q5，a1q1，即 a21，qa3a22，a1a2q 12，S712(271)21 1272故填答案1272 15 23【解析】齐王的上等马，中等马，下等马分别为 A,B,C，田忌的上等马，中等马，下等马分别为 a,b,c，则比赛可能出现的事件有：Aa,Ab,
7、Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc 共 9 种，而齐王马获胜的事件有：Aa,Ab,Ac,Bb,Bc,Cc 共 6 种齐王马获胜的概率为 p6923故填答案2316 2【解析】设 P(at,bt)(t0)，由|OP|c 可得：t1，PF2的中点 A(ca2,b2)，由 bca2 ab20 可得 c2a，eca2故填答案 2xOACP1P2yAEBOHFCDxOyl2l1ADFCB 3 三解答题17【解析】解：(1)在 2Sn13an 中取 n1 可得：2a113a1，a11当 n2 时，2Sn13an，2Sn-113an-1，相减可得：2an3an3an-1，an3an-1(n2)，数列a
8、n从第一项起成等比数列，首项为 a11，公比为 3an3n-15 分(2)由(1)知：bnlog3(anan+2)log3(3n-13n+1)2n，6 分Tnn(2+2n)2n(n1)，8 分1Tn1n(n+1)1n 1n+1，1T1 1T2 1Tn(1112)(1213)(1314)(1n 1n+1)1 1n+1110 分18【解析】解：(1)由题意可知t 1+2+3+4+553，y 6.4+6.6+7.0+7.3+7.757，2 分bniiniiittyytt121)()(13)(6.47)+(23)(6.67)+(33)(7.07)+(43)(7.37)+(53)(7.77)(13)2(
9、23)2(33)2(43)2(53)20.33，a y bt 70.3336.01，5 分y 关于 t 的线性回归方程y0.33t6.01；6 分(2)由(1)知：y0.33t6.01，当 t6 时，y0.3366.017.99，即 2019(t6)年该农产品的产量的估计值为 7.99 万吨；8 分t6 即 2019 年时的销售额最大，最大值为 23.18712 分19【解析】解：(1)f(x)mn(cosx,sinx)(cosx,3cosx)cosxcosxsinx3cosx1+cos2x2 32sin2xcos(2x3)12，3 分g(x)cos2(x6)31212cos2x 5 分(2)
10、由(1)及 g(A)cos2B 可得 cos2Acos2B，而 A,B 是锐角，2A2B 即 AB，c2+bca2(2RsinC)2+2RsinB2RsinC(2RsinA)2sin2C+sinBsinCsin2Asin2(2A)+sinAsin(2A)sin2A4sin2Acos2A2sin2AcosAsin2A4cos2A2cosA4(cosA14)2149 分0A2，02A2，4A2，0cosA 22，10 分4(014)2144(cosA14)2144(22 14)214，0c2+bca2 2212 分年份201420152016201720182019年份代码 t123456年产量
11、y(万吨)6.46.67.07.37.77.99销售价格v4.50.2y3.223.183.13.042.962.90销售额20.6120.9921.722.1922.7923.187 4 20【解析】(1)证明：平面 PAD平面 ABCD，BAAD，BA平面 PAD，BAPD，又PDBC，PD平面 ABCD5 分(2)解：取 BC 中点 E，连接 DE，PE由(1)可知：PC 与平面 ABCD 所成角为PCD，tanPCDPDCD12，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC2，AB3，BC2AD6 3，由平面几何知识可以求得：CD6，PD3，由 BA平面 PAD，ABDE，可得 DE平面 P
12、AD，平面 PDE平面 PAD7 分由 BCDE，BCPD，BC平面 PDE，平面 PBC平面 PDE，9 分DPE 是平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角，10 分tanDPEDEPD331平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为412 分21【解析】解：(1)由图可知：f(t)2t0t305t210 30t40(tN*)2 分g(t)60t20 110t8 20t40(tN*)4 分(2)由题意可知：利润 p(t)12t 5t0t2015t216t10 20t3012t261t1670 30t40(tN*)7 分当 0t20 时，p(t)12t 5t125(5t 5
13、24)2 548p(t)在 t(0,20，tN*上单调递增，利润最大值为 p(20)230 百元23000 元；当 20t30 时，p(t)在 t(20,30，tN*上单调递增，利润最大值为 p(30)290 百元29000 元；当 30t40 时，p(t)在 t(30,40，tN*上单调递减，利润最大值为 p(31)p(30)29000 元；10 分综上知，上市后的第 30 天，该门店的销售利润最大，最大值为 29000 元12 分22【解析】解：(1)设动圆的半径为 r，由题意有：|PO1|12r，|PO2|72r，|PO1|PO2|12724|O1O2|，2 分P 点的轨迹 C 是以 O
14、1,O2为焦点，4 为长轴长的椭圆轨迹 C 的方程为：x24 y2314 分(2)证明：由(1)知：C 与 x 轴的交点分别为：(2,0),(2,0)，不妨设：A(2,0),(2,0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，若直线 MN 的斜率为 0，显然有AO2MBO2N；若直线 MN 的斜率不为 0，设其方程为：xmy4，由x24y231xmy+4可得 3(my4)24y2120，6 分 即：(3m24)y224my360，PDABCE 5 要使直线 xmy4 与 C 有两个不同的交点，则(24m)24(3m24)360，解得：m24y1y2 24m3m24，y1y2363m24tanBO2
15、NtanAO2M y2x21 y1x11y2my2+3y1my1+32my1y2+3(y1+y2)(my2+3)(my1+3)72m+3(24m)(3m2+4)(my2+3)(my1+3)0tanBO2NtanAO2M0，AO2MBO2N综上可知：AO2MBO2N；8 分|MN|(1+m2)(y1+y2)24y1y2(1+m2)(24m3m2+4)24363m2412 1+m23m2+4 m24，O2到 MN 的距离 d31+m2，O2MN 的面积 S12|MN|d1212 1+m23m2+4 m2431+m218 m243m2+410 分令 m24t(t0)，则 m2t24，S 18t3t2+16 183t+16t1823t16t 188 33 34 等号当且仅当 3t16t 即 t2163，m2283，m+2 213时成立O2MN 面积的最大值为3 34 12 分
