1、题组训练67 抛物线（一）1抛物线x2y的焦点到准线的距离是()A2B1C. D.答案D解析抛物线标准方程x22py(p0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p，故选D.2过点P(2，3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y答案A解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2，3)，解得k，m，y2x或x2y，选A.3若抛物线yax2的焦点坐标是(0，1)，则a()A1 B.C2 D.答案D解析因为抛物线的标准方程为x2y，所以其焦点坐标为(0，)，则有1，a，故选D.4若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距
2、离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24x By26xCy28x Dy210x答案C解析抛物线y22px，准线为x.点P(2，y0)到其准线的距离为4，|2|4.p4，抛物线的标准方程为y28x.5已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D答案C解析因为点A在抛物线的准线上，所以2，所以该抛物线的焦点F(2，0)，所以kAF.6(2018衡水中学调研卷)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为()Ay24x By236xCy24x或y236x Dy28x或y232x答案C解析因为抛物
3、线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，6)因为P到抛物线的焦点F(，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x010.因为P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x.7(2016课标全国)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A(，2)，D(，)，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4，所以选
4、B.8(2018吉林长春调研测试)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2C. D3答案B解析由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2，故选B.9点A是抛物线C1：y22px(p0)与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于()A. B.C. D.答案C解析求抛物线C1：y22px
5、(p0)与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的交点为解得所以，c25a2，e，故选C.10(2013课标全国，理)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案C解析方法一：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为(，0)，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(x)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由y022px0，得162p(5)，解
6、之得p2或p8.所以C的方程为y24x或y216x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F(，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则(，2)，(，y02)由已知得，0，即y028y0160，因而y04，M(，4)由抛物线定义可知：|MF|5.又p0，解得p2或p8，故选C.11(2018合肥质检)已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A B1C D答案A解析设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xM2p，解得xM，代入抛物线方程可得yMp，则直线MF的斜率为，选项A正确12(2018太原一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点为
7、F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则()A0 B1C2 D2p答案A解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(，0)，则(x1，y1)(x2，y2)(x3，y3)(0，0)，故y1y2y30.，同理可知，0.13(2018河南新乡第一次调研)经过抛物线y28x的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为_答案3解析圆心是x1与抛物线的交点r123.14(2018福建闽侯三中期中)已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_答案解析设l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以
8、|AB|.设P(x0，y0)，则x0，代入x24y中，得y0，从而|PF|PA|y01.15已知定点Q(2，1)，F为抛物线y24x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P的坐标为_答案(，1)解析设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即D，P，Q三点共线时|PQ|PF|最小将Q(2，1)的纵坐标代入y24x得x，故P的坐标为(，1)16.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案2解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，由点(2，2)在
9、抛物线上，可得p1，则抛物线方程为x22y.当y3时，x，所以水面宽为2 米17抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y2x，斜边长为5，求此抛物线方程答案y24x解析设抛物线y22px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y2x，另一直角边所在直线方程为yx.解方程组可得点A的坐标为；解方程组可得点B的坐标为(8p，4p)|OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5，(64p216p2)325.p2，所求的抛物线方程为y24x.18(2018上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某
10、快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，AB3米，OC4.5米(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01)答案(1)(2)9.59解析(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为y轴，建系B(1.5，4.5)设抛物线方程为x22py.点B(1.5，4.5)在抛物线上p.焦点到准线距离为.(2)如图，C为DE中点，OCSD，
11、O为SE中点SCDE，OC4.5，SE2OC9.DEAB3，CE1.5.sinCSE0.167.SCE9.59.圆锥的母线与轴的夹角约为9.59.1抛物线y4x2关于直线xy0对称的抛物线的准线方程是()Ay1 ByCx1 Dx答案D解析抛物线x2y的准线方程为y，关于xy对称的准线方程x为所求2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3C. D.答案A解析抛物线y22x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的
12、最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于，选A.3抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a) B(a，0)C(0，) D(，0)答案C解析抛物线方程化标准方程为x2y，焦点在y轴上，焦点为(0，)4已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析先确定切线的方程，再联立方程组求解抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2，3)在准线上，所以2，即p4，从而C：
13、y28x，焦点为F(2，0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0).由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为.5(2018海口一模)过点F(0，3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212xCx212y Dx212y答案D6(2018湖北黄冈中学检测)若坐标原点到抛物线ymx2的准线的距离为2，则实数m()A8 B8C D答案D解析x2y，故由题意可得2，所以m.7(2018江西吉安一中期中)已知抛物线x24y的焦点为F，其上
14、有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|BF|2，则y1x12y2x22()A4 B6C8 D10答案D解析|AF|BF|2，y11(y21)2，y1y22，所以y1x12y2x225(y1y2)10，故选D.8(2018云南昆明适应性检测)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A，B在C上，且点F是AOB的重心，则cosAFB为()A BC D答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由重心坐标公式得，y1y20，故A，B关于x轴对称，则x1x2p，所以|AF|BF|pp，|AB|26p2，所以由余弦定理可得cosAFB，故选D.9(2018湖南郴州第二次质检)已
15、知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，则这个正三角形的边长为()A2p B2pC4p D4p答案C解析抛物线y22px关于x轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，则A，B关于x轴对称，如图所示，直线OA的倾斜角为30，斜率为，直线OA的方程为yx，由得A(6p，2p)，则B(6p，2p)，|AB|4p，这个正三角形的边长为4p.故选C.10(2016浙江，理)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案9解析由于抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线为x1，设点M的坐标为(x，y)，则
16、x110，所以x9.故M到y轴的距离是9.11在抛物线y24x上找一点M，使|MA|MF|最小，其中A(3，2)，F(1，0)，求M点的坐标及此时的最小值答案M(1，2)，最小值为4解析如图点A在抛物线y24x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF|MA|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|MF|MA|MH|AB|4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立此时M1点的坐标为(1，2)12(2018黑龙江大庆一模)已知圆x2y2mx0与抛物线y24x的准线相切，则m_答案解析圆x2y2mx0圆心为(，0)，半径r，抛物线y24x的准
17、线为x1.由|1|，得m.13一个正三角形的两个顶点在抛物线y2ax上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为36，则a_答案2解析设正三角形边长为x，则36x2sin60.x12.当a0时，将(6，6)代入y2ax得a2.当a0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线方程答案x22y或x24y解析x22py变形为yx2，y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y|xx1.切线AM方程为yy1(xx1)即yx.同理BM方程为yx.又(2，2p)在两条直线上，2p，2p.x1，x2是方程2p0的两根即x24x4p20.x1x24，x1x24p2.y1y2(x12x22)(x1x2)22x1x2(168p2)又线段AB中点纵坐标为6，y1y212，即(168p2)12.解得p1或p2.抛物线方程为x22y或x24y.
