1、第八节函数的图象内容要求ABC各种简单函数的图象函数的图象并利用图象识别函数的性质高考指数:1.六种基本初等函数的图象函数图象一次函数y=kx+b二次函数y=ax2+bx+c(a0)xyo（k0）（0,b）xyo（k0）xyo（a0且a1）xyo(k0)xyo(k1)xyo(0a0且a1）幂函数y=x（=-1,1，2,3）xyoxyo(a1)(0a0且a1，故f(x)=ax图象为过原点且上升的直线，故不正确，再结合，分析0a1知，正确.(3)由图象知，图象的对称轴又抛物线的开口向下，a0，由f(0)=c知，抛物线与y轴的交点为(0,c).c0，故点在第二象限.答案：(1)(2)(3)第二象限2
2、.函数图象间的变换(1)平移变换左移h个单位（h0)右移h个单位（h0)上移k（k0)个单位下移k（k0)个单位y=f(x)y=f(x)+ky=f(x+h)y=f(x-h)y=f(x)-k(2)对称变换：y=f(x)y=_;y=f(x)y=_;y=f(x)y=_;y=ax(a0且a1)y=logax(a0且a1)关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于y=x对称-f(x)f(-x)-f(-x)(3)翻折变换：y=f(x)y=_.y=f(x)y=_.保留x轴上方图象将x轴下方图象沿x轴翻折上去保留y轴右边图象，并作右边图象关于y轴对称的图象|f(x)|f(|x|)(4)伸缩变换：y=f(x)y=
3、_.y=f(x)y=_.a1,横向缩短为原来的倍0a1,纵向伸长为原来的a倍0a0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示:向左平移a个单位即可；解析式变为y=f(x+a).(2)在同一坐标系下，函数f(x)=log22x与g(x)=21-x的图象是下列四个图象中的_.【解析】f(x)=log22x=1+log2x.f(x)=log22x的图象是函数f(x)=log2x的图象向上平移1个单位得到的；又g(x)=21-x的图象是函数的图象向右平移1个单位得到的.因此符合题意.答案:(3)已知如图(1)中的图象对应的函数为y=f(x)，则如图(2)中的图象对应的函数在下
4、列给出的四个式子中，只可能是_.y=f(|x|)y=|f(x)|y=-f(|x|)y=f(-|x|)【解析】从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，排除，又当x0时，图(1)与(2)中函数的图象一致，正确.答案:(4)若f(a+x)=f(b-x),xR恒成立，则函数y=f(x)的图象本身关于_对称.【解析】由已知可得：关于直线对称.答案:直线(5)若方程|ax|=x+a(a0)有两个解，则a的取值范围为_.【解析】在同一坐标系中分别作出当0a1时，y=|ax|=a|x|(a0)与y=x+a(a0)的图象，由图象得出a1时符合要求.答案:(1,+)作函数的图象【方法点睛】作函数
5、图象的常用方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数全部或局部或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，可直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.(3)描点法一般步骤为：确定函数的定义域以限制图象的范围.化简函数解析式.讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).列表(尤其注意特殊点：零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点).描点、连线.【提醒】当函数解析式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势、大致形
6、状等.【例1】作出下列函数的图象(1)y=elnx;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=a|x|(0a0且y=elnx=x,(x0)其图象如图(1).oy-11x12-1（1）(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2).x1-1yo1-1（2）(3)方法一：所以只需作出函数y=ax(0a1)中x0的图象和中x0的图象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3).方法二：作出y=ax(0a0，得单调增区间为(-,-1)和(3,+).令y0时，y1=sinx与只有一个交点，设其交点坐标为(x
7、0,y0)，则当x(0,x0)时，即此时又因此x0时，可以有y0,也可以有y0,即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除、，故正确.方法二：得根据三角函数的知识，这个方程有无穷多解，即函数有无穷多个极值点，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只有的图象符合题意.答案：(2)由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和作出其图象知在(-2，0)上均为减函数.又y=x3+1,x0,故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同.答案：【反思感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题.解
8、答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.函数图象的应用【方法点睛】利用函数图象解决的问题及思路(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象数形结合研究.(2)利用函数的图象研究方程的根的个数方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标;方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.(3)利用函数的图象研究不等式当不等式不常见且用求解的方法不能解决时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【例
9、3】已知函数f(x)=x|m-x|(xR)，且f(4)=0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求集合M=m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根.【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.【规范解答】(1)f(4)=0，4|m-4|=0，即m=4；(2)f(x)=x|m-x|=x|4-x|=函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点.x24yo4(3)从图象上观察可
10、知：f(x)的单调递减区间为2，4；(4)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为：x|0 x4.(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0m4,集合M=m|0m4.【反思感悟】利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题；但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解.否则若图象出现失误，将得到错误的结果.【易错误区】函数图象应用中的误区【典例】(2011新课标全国卷改编)函数的图象与函数y=2sinx(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_.【解题指南】在同一坐标系中画出函数和y=2sinx(-2x4)的
11、图象，然后根据两者的图象的特征探究交点横坐标之间满足的关系，从而求解.【规范解答】由题意知的图象是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y=2sinx的周期为且也关于点(1，0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在-2，4上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1+x2+x8=42=8.答案：8x1234-1-2y=2sinxyo1234-1-2-4-3【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时，有两点容易造成失误：(1)作出的函数图象比较粗糙，从而不能准确确定出交点个数，
12、造成失误.(2)不能准确分析出交点的对称性，从而无法求出交点横坐标的和.备考建议通过本题求解过程中出现的失误，在备考中我们要关注以下几点：(1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，不应相差甚远草草完成.(2)加强通过解析式与图象辨别，分析图象的对称性、周期性的训练以提高解决这类问题的能力.1.(2012宿迁模拟)直线y=kx与曲线y=e|lnx|-|x-2|有3个公共点，则实数k的取值范围是_.【解析】y=e|lnx|-|x-2|=其图象为,当y=kx过点A(2，2)时，有2个公共点，此时k=1，故当0kx的解集为_.【解析】当x0,2时，不等式变为2f(x)x,即解得0 x1，当x-2,0时，不等式变为解得：-2x0,综上可知-2x1.答案：-2，1)4.(2012连云港模拟)函数的对称中心为_.【解析】故其对称中心为(1，2).答案：(1，2)
