1、第五节指数与指数函数三年4考高考指数:1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.幂的运算、指数函数的概念及其图像、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若与导数交汇命题则以解答题形式出现.1.正整数指数函数(1)解析式:_(2)自变量:_(3)定义域:_y=ax(a0，a1,xN+)x正整数集N+【即时应用】(1)思考:正整数指
2、数函数的图像有何特征?提示:在第一象限内一系列孤立的点,是离散的而不是连续的.(2)请判断下列函数是否是正整数指数函数(其中xN+).(请在括号内填“是”或“否”)y=-2x ()y=(-2)x ()y=()x ()y=x2 ()y=(a-1)x(a1且a2)()【解析】2x前面的系数为-1,故不是;底数小于0,故不是;符合正整数指数函数的定义,故是;为幂函数,故不是.答案：否 否 是 否 是(3)若函数y=(a2-3a+3)(2a-1)x为正整数指数函数，则a的值是_.【解析】由正整数指数函数的定义可知答案：22.指数扩充及其运算性质(1)分数指数幂的概念给定正实数a,对于任意给定的整数m、
3、n(m、n互素)，存在唯一的正实数b,使得_，把b叫作a的_次幂，记作它就是分数指数幂.bn=am(2)正分数指数幂与负分数指数幂正分数指数幂的根式形式：正数的负分数指数幂的意义：(a0,m,nN+,且n1).0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_.0没有意义(3)指数运算的性质若a0,b0,对任意实数m,n,指数运算有以下性质：aman=_；(am)n=_；(ab)m=_.am+namnambm【即时应用】(1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确.(请在括号中填“”或“”)()()()()(2)化简(x0,y0)得_.(3)化简的结果是_.【解析】答案：(1)(2)-2x2y (3)
4、a43.指数函数的概念(1)解析式：_.(2)自变量：_.(3)定义域：_.y=ax(a0,a1)xR【即时应用】(1)思考：正整数指数函数与指数函数有何异同？提示：正整数指数函数是指数函数的一种，二者的定义域不同，正整数指数函数的定义域为N+，而指数函数的定义域为R.(2)判断下列函数是否为指数函数.(请在括号内填“是”或“否”)y=32x ()y=-1 ()y=ax ()y=(2a-1)x(a且a1)()答案：否 否 否 是4.指数函数的图像与性质a10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数xyoy=1y=ax（0,1）a11xyo（0,1
5、）y=axy=10a0,a1)在1,2中的最大值比最小值大则a的值为_.(4)函数y=ax-2 012+2 012(a0,a1)的图像恒过定点_.【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与交于A、B、C、D四点,即A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图像可知cd1ab.(2)f(x)=()x-1,定义域为R，()x-1-1,故值域为(-1,+).(3)当0a1时，有解得：(4)y=ax(a0,a1)的图像恒过定点(0,1),y=ax-2 012+2 012恒过定点(2 012,2 013).答案：(1)ba1dc(2)R,(-1,+)(3)(4)(2 012,2 013)
6、指数幂的运算【方法点睛】幂的运算的一般规律及要求(1)分数指数幂与根式可以相互转化.(2)分数指数幂不能随心所欲地约分,例如要将写成等必须认真考查a的取值才能决定,如则无意义.(3)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能地统一成分数指数幂形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值.【例1】计算下列各式的值.【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分数,负分数指数化为正分数指数；然后根据幂的运算性质进行计算.【规范解答】【反思感悟】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数
7、是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数函数图像的应用【方法点睛】1.应用指数函数图像解决指数型函数的性质问题对指数型函数的图像与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的处理往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像,然后数形结合,使问题得解.2.指数型方程、不等式的图像解法一些指数方程、不等式问题,往往利用相应指数型函数图像通过数形结合求解.【提醒】在利用指数函数图像解决一些问题时，图像形状、趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误.【例2】已知f(x)=|2x
8、-1|.(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【解题指南】(1)作出f(x)的图像,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)的图像，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图像,数形结合求解.【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图像如图.因此函数f(x)的减区间为(-,0)；函数f(x)的增区间为(0,+).xyo-1(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图像，如图所示.xyo12-11x0f(x+1)f(x)由图像知,当时,
9、解得x0=两图像相交,从图像可见,当x时,f(x)f(x+1)；当x=时,f(x)=f(x+1);当x时,f(x)f(x+1).(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图像的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图像,如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.y=1y=x2y=f(x)O【反思感悟】对于指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程、不等式,能画出其图像的一般用数形结合法求解,但要注意画出的函数图像的基本特征必须要准确,否则很容易出现失误.指数函数性质的应用【方法点睛】利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)应用指数函数
10、的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.【例3】(1)(2012吉安模拟)函数的定义域是_.(2)函数的单调递减区间为_,值域为_.(3)(2012宿州模拟)已知定义域为R的函数是奇函数.求a的值，并指出函数f(x)的单调性(不必说明单调性的理由);若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.【规范解答】(1)由题意
11、知32x-1-0,32x-13-3,2x-1-3,x-1,即定义域是-1,+).答案：-1,+)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+77,f(x)答案：(-,-2)3-7,+)(3)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)是奇函数,f(x)+f(-x)=0,即(另解:由f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,故a再由通过验证f(x)+f(-x)=0来确定a 的合理性)由知f(x)在R上为减函数.方法一:由得f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)-2t2+k.即对一切tR有3t2-2t-k0,从而=4+12k1,所以3t2-2t-k0,上式对一切tR均成立，从而判别式=4+12kab(B)bac(C)abc(D)acb【解析】选D.因为a=(22)0.9=21.8,b=(23)0.48=21.44,c=()-1.5=21.5,又y=2x在R上为增函数,且1.441.51.8,bc0，a1)的图像可以是()【解析】选C.因为分0a1两种情况讨论并结合选项验证知C正确.
