1、高中同步测试卷(八)单元检测不等式的性质均值不等式(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若ab0，则下列不等式中总成立的是()A.B.C.D.2设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6B4C2D83若x0，f(x)3x的最小值为()A12B12C6D64已知x1，y1，且lg xlg y4，则lg xlg y的最大值是()A4B2C1D.5点(x，y)在直线x3y20上移动时，z3x27y3的最小值为()A.B32C6D96某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率
2、为b，这两年的平均增长率为x，则()AxBxCxDx7已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A8B6C4D28a0，b0，a与b的等比中项是1，则的最大值为()A1B1C2D29若x，y是正数，则的最小值是()A2B.C4D.10给出下列语句：若a，bR，ab，则a3b3a2bab2；若a，b，mR，ab，则；若，则ab；当x时，sin x的最小值为2，其中结论正确的个数为()A0B1C2D3题号12345678910答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11已知x，则函数y4x2的最小值为_12函数f(x)lg x(0x1)
3、的最大值是_，当且仅当x_时取等号13当0x时，y的最小值为_14若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_三、解答题(本大题共6小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)(1)已知x0，求y2x的最大值；(2)已知x2，求yx的最小值；(3)已知0x，求yx(12x)的最大值16(本小题满分10分)过点P(2，1)的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求AOB的面积S的最小值17.(本小题满分10分)设x，y满足约束条件，若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为8.(1)求的最小值；(2)求a216b24ab的最小值18(本小题满分10分) 2
4、013年春季住博会于4月19日4月22日在西安举行某房地产开发商为吸引客户，设计建造了样板模型如图所示，他们计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m. (1)设休闲区的长A1B1x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园ABCD所占总面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？附加题19(本小题满分10分)已知a，b为正数，求证：.20(本小题满分10分)若函数f(x)tx2(22t60)x144t(x
5、0)(1)要使f(x)0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)0，求使t20成立的x的取值范围参考答案与解析1导学号99450140【解析】选C.ab0，.从而.2导学号99450141【解析】选B.2a2b224，当且仅当ab时，即ab时取等号3导学号99450142【解析】选A.因为x0，所以f(x)3x2 12，当且仅当3x，即x2时取等号4导学号99450143【解析】选A.x1，y1，lg x0，lg y0，4lg xlg y2，lg xlg y4.5导学号99450144【解析】选D.因为x3y2，所以z3x33y323239.当且仅当x3y即x1，y时取等号6导学号9945014
6、5【解析】选B.A(1x)2A(1a)(1b)，从而(1x)2(1a)(1b)，x.7导学号99450146【解析】选C.(xy)()1aaa12a21，当且仅当a等号成立，所以()2219，即()2280，解得得2或4(舍去)，所以a4，即a的最小值为4.8导学号99450147【解析】选A.ab1，(2b1)(2a1)4ab2(ab)152(ab)54541，故应选A.9导学号99450148【解析】选C.1124.当xy时，式子取得最小值4.10导学号99450149【解析】选C.本题中作差变形后可得：a3b3a2bab2(ab)2(ab)，由于a，bR，ab，所以(ab)2(ab)0，
7、即正确；对于用赋值法很容易判断其错误，如a1，b2，m1，符合条件但结论不正确；对于，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“”，故错误综合得正确的有，两个，从而选C.11导学号99450150【解析】因为x，所以4x50，所以y4x53235，当且仅当4x5，即x时取等号【答案】512导学号99450151【解析】0x1，lg x0，lg x0，f(x)lg x24.当且仅当lg x，即lg x2时，取“”又lg x0，lg x2，此时x.【答案】413导学号99450152【解析】令s
8、in xt，则y，0t1.设0t1t21，则y1y2(t2t1)0.当t(0，1)时，函数为减函数，当t1时，ymin2.【答案】14导学号99450153【解析】因为x0，所以x2(当且仅当x1时，等号成立)，所以，即的最大值为，故a.【答案】，)15导学号99450154【解】(1)x0，x4，y2242，当且仅当x(x0)，即x2时，ymax2.(2)x2，x20，yxx22224.当且仅当x2(x2)，即x3时，ymin4.(3)0x，12x0，y2x(12x)，当且仅当2x12x，即x时，ymax.16导学号99450155【解】设直线l的方程为y1k(x2)(显然k存在，且k0)令
9、y0，可得A(2，0)；令x0，可得B(0，12k)A，B都在正半轴上，20且12k0，可得k0.SAOB|OA|OB|(2)(12k)2k2224，当且仅当k2，即k时，SAOB取得最小值4.17导学号99450156【解】作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：axby0，平移l0，由图可知，当直线经过点A(1，4)时，zmaxaxbya4b8.(1)因为a0，b0，则(a4b)()(5)(52)(54)，当且仅当2，即a，b时取等号，所以的最小值为.(2)因为a4b8，a0，b0，所以a4b24，所以ab4.又因为a216b232，所以a216b24ab321616，当且仅当a4b
10、4，即a4，b1时取等号，所以a216b24ab的最小值为16.18导学号99450157【解】(1)A1B1x m，SA1B1C1D14 000 m2，B1C1 m，S(x)(x20)(8)(x0)(2)由(1)得S(x)8(x20)(1)8(500x20)8(5202 )5 760，当且仅当x，即x100时取等号当休闲区长A1B1x m100 m，宽B1C1 m40 m时，公园ABCD所占总面积最小为5 760 m2.19导学号99450158【证明】因为a0，b0，所以(2ab)()662642(1)2，即得.20导学号99450159【解】(1)因为x222x1440，所以要使不等式f(x)0式恒成立，即tx2(22t60)x144t0(x0)恒成立，等价于t(x0)恒成立，由30(x0)，当且仅当x，即x12时，上式等号成立，所以t30时，不等式tx2(22t60)x144t0恒成立，t的最小值为30.(2)由t20，得20，整理得x225x1440，即(x16)(x9)0，解得9x16，所以使t20成立的x的取值范围为(9，16)
