1、2021 届高考数学黄金预测卷 新高考版（一）【满分：150 分】一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则()22log(1)1,1,MxxNxxZMN A.B.C.D.1,32,31,2,32.在复平面内，复数对应的点的坐标为()i(i2)A.B.C.D.(1,2)(1,2)(2,1)(2,1)3.命题的否定为()2:0,),expxxx A.B.20,),exxxx 20,),exxxx C.D.2(,0),exxxx 2(,0),exxxx 4.我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，周礼春宫中记
2、载，中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木匏（po）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为()A.B.C.D.153534235.设数列的前 n 项和为，若，则()nanS111,21nnaSS7S A.63B.127C.128D.2566.已知函数，若，则的大小关系是ee()2xxf x2233,(1)3322afbfcf,a b c()A.B.C.D.abcacbcbabca7.若的展开式中，的系数为 50，则()5223myxyxyx43x y
3、m A.-3B.-2C.2D.38.如图，沿着等腰直角三角形 ABC 斜边上的高 BD 将三角形 ABD 折起，使点 A 到达点的A位置，且，则直线与平面 BCD 所成的角为()45A DCA BA.30B.45C.60D.90二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两番，为了更好地了解该开发区的经济收变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图，则下列结论中正确()A
4、.产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多B.产业结构调整后科技研发的收入增幅最大C.产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低D.结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入10.已知将函数图象向左平移个单位长度得到函数的图象，()sin(0)3f xx6()g x且的图象关于 y 轴对称，函数在上至多存在两个极大值点，则下列()g x()yf x0,2x说法正确的是()A.B.在上单调递增1()f x,2C.D.的图象关于直线对称2()f x6x 11.已知 F 是抛物线的焦点，A，B 是抛物线 C 上的两点，O 为坐标原点，则()2:C yxA.若，则的面积为5|4AF
5、AOF18B.若垂直 C 的准线于点，且，则四边形周长为BBB2|BBOF OPBB354C.若直线 AB 过点 F，则的最小值为 1ABD.若，则直线 AB 恒过定点14OA OB 1,0212.已知函数，则下列说法正确的是()2()lnf xxx A.函数在处取得极大值()f x12ex12eB.方程有两个不同的实数根()0f x C.1112efffD.若不等式在上恒成立，则2()kf xx(0,)ek 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量，若，则实数_.(2,),(1,2)maab(2)aabm 14.已知函数则的所有零点之和为_.223,1,()
6、1,1,xxf xxxx ()5yf f x15.已知双曲线的右焦点为 F，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上2222:1(0,0)xyCabab异于右顶点的一点若的平分线垂直于 x 轴，则双曲线 C 的离心率的取值范围是OPF_.16.已知三棱锥的顶点都在球 O 的球面上，且该三棱锥的体积为，平面SABC2 3SA，则球 O 的体积的最小值为_.,4,120ABC SAABC四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）设数列的前 n 项和为，在，nanS1(0)nnSmam12nnSka这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解
7、答.112nnaaS S问题：已知数列满足，_，若数列是等比数列，求数列的通 na11a na na项公式；若数列不是等比数列，说明理由.na注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12 分）在中，内角 A，B，C 的对边分别为(互不相等)，且满足ABC,a b c,a b c.cos(2)cosbCbcB(1)求证：；2AB(2)若求2,cacos.B19.（12 分）“未来肯定是非接触的，无感支付的方式成为主流，这有助于降低交互门槛.”云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，
8、毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取 50 名顾客进行了调查，得到了列联表如下所示：男性女性总计刷脸支付1825非刷脸支付13总计50（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取 2 人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：“一等奖”中奖概率为 0.25，奖品为 10 元购物券 m 张（，且），“二等奖”3m mN中奖概率为 0.25，奖品为 10 元购物券两张，“三等奖”中奖概率为 0.5，奖品为 10 元购物券一张，每
9、位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为 X 元，若要使 X 的均值不低于 50 元，求 m 的最小值.附：，其中.22()()()()()n adbcKab cd ac bdnabcd20P Kk0.100.050.0100.0050k2.7063.8416.6357.87920.（12 分）如图，在四棱锥中，底面 ABCD 为菱形，平面平面，PABCDPAD ABCD，.PAPD60BAD（1）求证：；ADPB（2）当直线 PB 与平面 ABCD 所成角为 45时，求二面角的平面角的大小.BPCD21.（12 分）已知椭圆过点，且分别以椭圆的长轴和短轴2222:1(
10、0)xyCabab13,2M 为直径的圆的面积的比值为 4.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，过点 A 作直线的垂线，交椭圆 C 于点(0)ykx kABD，连接，与 x，y 轴分别交于点 P，Q，过原点 O 作直线的垂线，垂足为 R，求BDBD|ORPQ的最大值.22.（12 分）已知函数，e 是自然对数的底数.2()6exf xxxa（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的单调区间；()yf x(0,(0)f50 xy()f x（2）当时，若，且，证明：.11a 12()(1)2fxfxfmm12xx122xxm答案以及解析一、单项选择题1.答案：C解
11、析：由可得解得则，由可得或2log(1)1,x 01 2,x 13,x 3(1,M 21x 1x 又所以，故选 C.1,x,xZ2,3MN 2.答案：B解析：，其在复平面内对应点的坐标为，故选 B.i(i2)12i (1,2)3.答案：B解析：命题的否定为.故选 B.2:0,),expxxx 20,),exxxx 4.答案：B解析：由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有种不同的取法，35C10三音来自两种不同类型乐器的取法共有(种)，故所求概率21122222C CC C21212121C CC C6.选 B.63105P 5.答案：B解析：通解：中，令，得，所以.由得，121n
12、nSS 1n 23S 22a 121nnSS 2121nnSS两式相减得，即.又，所以数列是以 1 为首项，2 为公比212nnaa212nnaa2111,2aaa na的等比数列，所以.771212712S优解：因为，所以，又，所以数列是121nnSS 1121nnSS 11112Sa 1nS 以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以，故.12nnS 7721,21127nnSS 6.答案：D解析：由题意知函数的定义域为 R，且，所以为 R 上的()f xee()()2xxfxf x ()f x奇函数，易知在 R 上单调递增.令，则为 R 上的偶函数，且在()f x()()g xxf x(
13、)g x()g x上单调递增.又，所以，故选(0,)22332,(1),133223aggbgcg bcaD.7.答案：B解析：的通项为.所以，52xy5210 2155CCrrrrrrrTxyxy 11 2115CrrrrxyTxy 令无解；，令解得，112413.rr 8 21152Crrrmy Tmxyx 82413rr ，10 2152;33CrrrrrTxy令，解得.所以的系数为，所以.故10243rr，3r 43x y2355C3C103050mm 2m 选 B.8.答案：A解析：因为 BD 为等腰直角三角形 ABC 斜边上的高，所以，又BDA D BDCD，所以平面.过点作于点
14、E，则，所以A DCDDBD A CDAA ECDBDA E平面 BCD，连接 BE，则就是直线与平面 BCD 所成的角.设，A EA BEA B2ABBC则在直角三角形中，所以，又，A DE2,45A DA DE1A E2A BA EBE，所以，所以直线与平面 BCD 所成的角为 30.故选 A.30A BEA B二、多项选择题9.答案：ABD解析：设产业结构调整前的经济收入为 a，则调整后的经济收入为.由饼图知调整前纺织4a服装收入为，节能环保收入为，食品加工收入为，科技研发收入为0.45a0.15a0.18a，调整后的纺织服装收入为，节能环保收入为，食品加工0.22a40.150.6aa
15、40.25aa收入为，科技研发收入为.由以上数据易得产业结构调整后节0.150 64.aa40.451.8aa能环保的收入与调整前的总收人一样多，故选项 A 正确；产业结构调整后科技研发的收入增幅最大，故选项 B 正确；产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所升高，故选项 C错误；产业结构调整后食品加工收入是调整前纺织服装收入的倍，故选项 D 正确.4310.答案：AD解析：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，()f x6()sin63g xx因为的图象关于 y 轴对称，所以，解得.又()g x()632kk Z61()kk Z，所以.当时，在上只有一个极大值点，0 11()sin,
16、()3f xxyf x0,2x满足题意；当时，在上极大值点的个数大于 2，7()sin 7,()3f xxyf x0,2x所以当时，在上极大值点的个数大于 2，所以，故 A 正确，C 错误；7()f x0,2x1 所以，当时，因此的图象关于直线对称，D()sin3f xx6x 32x()f x6x 正确；当时，此时是单调递减的，B 错误.故选 AD.2x 54633x()f x11.答案：ACD解析：对于选项 A，设，由焦半径公式得，解得，所以，从11,A x y11544x 11x 11y 而，选项 A 正确；对于选项 B，由题意知，根据抛物线的定义1111248AOFS 1|4OF 可知.
17、设与 y 轴的交点为 D，易知，故1|2BFBB BB1|2ODBF14B D，所以四边形的周长为，选项 B22115244OBOFBB11155542244错误；对于选项 C，若直线 AB 过点 F，则当轴时，最小，且最小值为 1，选项ABxABC 正确；对于选项 D，设直线，联立直线 AB 与抛物线方程1122:,AB xmyt A x yB xy得，则，所以，由可得20ymyt 12y yt 2221212x xy yt14OA OB ，即，解得，故直线 AB 的方程为，即直线 AB121214x xy y 214tt 12t 12xmy恒过定点，选项 D 正确.故选 ACD.1,021
18、2.答案：AC解析：易知函数的定义域为，令()f x(0,)2()2 ln(12ln)xfxxxxxx ，则，解得，当时，单()(12ln)0fxxx 12ln0 x1ex 10,ex()0,()fxf x调递增；当时，单调递减.所以当时，函数有极大1,ex()0,()fxf x1ex()f x值，故选项 A 正确；因为，且当时，当112eef 1102eef 0 x()0f x x 时所以方程不可能有两个不同的实数根，选项 B 错误；因为函数在()0,f x()0f x()f x上单调递增，且，所以，选项 C 正确；10,e11112e41112efff不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令
19、2()kf xx(0,)22lnkxxx(0,)，则，令，则22()lng xxxx()2 ln(12ln)g xxxxxx()(12ln)0g xxx，解得，当时，单调递增；当时，12ln0 xex(0,e)x()0,()g xg x(e,)x单调递减.所以当时，函数有最大值，所以，()0,()g xg xex()g xe(e)2ge2k 选项 D 错误.三、填空题13.答案：4解析：.又，(1,2)(1,2),2(4,34)mmbaab(2),2(34)40mm aab解得.4m 14.答案：2142解析：令，则由，解得或，而无实数根，有()f xt()5f t 2t 4t()2f x (
20、)4f x 两个实数根，故的所有零点之和为.7 121,22()5yf f x214215.答案：(2,)解析：由题意可知，为等腰三角形，.设的平分线与 x 轴交于点 H，OPF|=|PQPFOPF则点 H 为线段的中点，所以.因为 P 为双曲线 C 右支上异于右顶点的点，所以OF,02cH，即，故双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是.2cae2ca(2,)16.答案：40 103解析：由题意得，三棱锥的体积，则，SABC11342 3322SABCVAB BC6AB BC当球 O 的体积最小时，外接圆的半径最小，即最小，在中，由余弦定理和ABCACABC基本不等式得，当且仅当2221231
21、82ACABBCAB BCAB BC 6ABBC取等号，则，此时外接圆的直径，球 O 的半径min3 2ACABCmin3 222 6sin12032ACr，故球 O 的体积的最小值为.22210Rr3440 1033R 四、解答题17.答案：若选：，则当时，1(0)nnSmam2n1nnSma 两式相减，得，即，11nnnnnSSamama1(2)1nnaanmm结合，可知，所以.11a 0na 11(2)nnamnam由，得，即，1(0)nnSmam12ama2111amamm故数列不是等比数列.na若选：，由，得，即，12nnSka11a 112k32k 于是，3122nnSa当时，两式
22、相减得，2n113122nnSa13322nnnaaa 即，13nnaa 所以数列是首项为 1，公比为 3 的等比数列，因此.na13nna若选：，由，得，112nnaaS S11a 21nnSa当时，两式相减得，即，2n1121nnSa1122nnnnnSSaaa12nnaa 所以数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列，因此.na12nna18.答案：(1)因为 cos(2)cos,bCbcB所以由正弦定理得sincos2sincossincos,BCBBCB所以即.sin()sin 2,BCBsinsin 2AB又因为所以或0,022,AB2AB2.AB若因为所以与 a，b，c 互不相等
23、矛盾，所以2,AB,ABC,BC2.AB(2)由(1)知因为所以.()3,CABB0,C03B因为所以由正弦定理得，2,casin2 sinCA则可得.sin(3)2 sin 2,BBsin32 sin 2BB又因为sin3sin(2)sin 2 coscos2 sinBBBBBBB，2222sincos2sincossin4sincossinBBBBBBBB所以.24sincossin2 sin 22 2 sincosBBBBBB因为，所以，03Bsin0B 所以，24cos2 2 cos10BB 解得.26cos4B又，所以.03B26cos4B19.答案：（1）由题易知男性女性总计刷脸支
24、付18725非刷脸支付121325总计302050所以，22(18 137 12)5033.84130202525K所以没有的把握认为使用刷脸支付与性别有关.95%（2）X 的可能取值为，40，30，20，201020,1010mmm，；111(20)4416P Xm；111(1020)2448P Xm；111(1010)2424P Xm；111(40)4416P X；111(30)2424P X；111(20)224P X 所以 X 的分布列为X20m1020m 1010m 403020P11618141161414所以，()520E Xm因为，解得，52050m 6m 所以 m 的最小值为
25、 6.20.答案：（1）如图，取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，BD，为 AD 的中点，.,PAPD MPMAD四边形 ABCD 是菱形，且是正三角形，则.60,BADABD BMAD又平面 PMB.,PMBMMAD又平面.PB,PMBADPB（2），平面平面 ABCD，平面平面平面PMADPAD PAD,ABCDADPMABCD.又平面两两互相垂直.MB,ABCDPMMBMA MB MP以 M 为原点，MA，MB，MP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面即为 PB 与平面 ABCD 所成角，PM,ABCDPBM.45,PBMMBMP 在正三角形 ABD 中
26、，设，则.BMAD2AD 3MB.(0,0,3),(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0)PDBC.(2,3,3),(2,0,0),(1,0,3)PCBCPD 设平面 PBC 的法向量为，111,x y zm则11112330,20,PCxyzBCx mm不妨取，则.11y(0,1,1)m设平面 PCD 的法向量为，222,xyzn则222222330,30,PCxyzPDxz nn不妨取，则.21z(3,1,1)n平面平面 PDC，0,m nPBC 二面角的平面角为 90.BPCD21.答案：(1)因为分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为 4，所以，即.224ab224ab将
27、代入椭圆方程，得.13,2223114ab由解得，224,1ab所以椭圆 C 的标准方程为.2214xy(2)因为，所以，ORBD11|22ORPQOPOQ所以，|ORPQOPOQ故求的最大值，即求的最大值.|ORPQ|OPOQ设，则，所以.1122,A x yD xy11,Bxy11ykx由题意知，所以直线的斜率.ABADAD111xky 设直线的方程为，由题意知，AD1yk xm10,0km由消去 y 得，122,1,4yk xmxy22211148440kxk mxm所以11212112221182,2,1414mkmxxyykxxmkk 所以，1211211144BDyyykxxkx
28、所以直线的方程为.BD11114yyyxxx令，得，即；令，得，即.0y 13xx13,0Px0 x 134yy 130,4Qy所以.111139|344OPOQxyxy又，当且仅当时等号成立，222211111 11244xxyyx y11222xy所以的最大值为，|OPOQ94故的最大值为.|ORPQ9422.答案：（1），2()6exf xxxa，2()46 exfxxxa则，(0)65,1faa .2()45 e(1)(5)exxfxxxxx令，得或；()0fx1x 5x 令，得，()0fx15x 的单调递增区间为，单调递减区间为.()f x(,1),(5,)(1,5)（2）证明：.2
29、2()611 e,()45 exxf xxxfxxx令，则且不恒为 0，2()45 exg xxx2()(1)e0 xg xx在 R 上为增函数，即在 R 上为增函数.()g x()fx，12()(1)2fxfxfmm，12()()fxfmfmfx与同号.1()fxfm2()fmfx不妨设，设，12xmx()(2)()2()(1)h xfmxfxfmmx则.222()e(21)e(1)m xxh xmxx，222ee,(21)(1)(22)(22)0m xxmxxmmx 在上为增函数，()0,()h xh x(,)m()()0h xh m，22222()0h xfmxfxfm.22122()fmxfmfxfx又在 R 上为增函数，即.()fx212mxx122xxm
