1、3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时学习目标1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一函数的零点一般地,如果函数y=f(x)在实数处的,即,则称.是函数f(x)零点的充分必要条件是,是函数图像与x轴的公共点.思考:函数的零点是一个点吗?知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系=b2-4ac0=00)的图像ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实根
2、x1,x2,且x10(a0)的解集ax2+bx+c0)的解集课堂探究一、问题探究1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为,不等式f(x)0的解集为,不等式f(x)0的解集为.2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.要点归纳(1)函数的零点是一个,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.(2)函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图像与x轴有交点方程f(x)=0有实数根.(3)
3、不是所有函数都有零点,例如f(x)=1x就没有零点.(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.二、典型例题题型一:求函数的零点例1(1)函数y=1+1x的零点是() A.(-1,0)B.-1C.1D.0(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m=.要点归纳函数零点的两种求法:(1)代数法:.(2)几何法:.(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数的图像的交点得到.变
4、式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.题型二:一元二次不等式的解法例2利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-x-60;(2)x2-8x+160;(3)x2+4x+50.题型三:“三个二次”之间的关系例3若不等式ax2+bx+c0的解集为x|-3x4,求不等式bx2+2ax-c-3b0.核心素养专练1.例3中把x|-3x4改为x|x4,其他条件不变,则不等式的解集又如何?2.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,13.若关于x的方程ax2+bx+c
5、=0(a0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()A.1,2B.-1,-2C.1,12D.-1,-124.若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数,且在(0,+)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中xR,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.第2课时学习目标1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,
6、逐步树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一:零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在这个区间上,即存在一点x0a,b,使得,这个x0也就是方程f(x)=0的根.思考:函数y=f(x)在区间a,b上有零点,则f(a)f(b)0,对吗?知识点二:二分法1.二分法的定义对于在区间a,b上图像且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区,使得所在区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?2.二分法求零点的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间a,
7、b上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)0),给定近似的精度,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|的一般步骤如下:第一步检查是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步计算区间a,b的中点a+b2对应的函数值,若fa+b2=0,取x1=,计算结束;若fa+b20,转到第三步.第三步若f(a)fa+b20,将a+b2的值赋给,用a+b2b表示,下同,回到第一步;若fa+b2f(b)0,将a+b2的值赋给,回到第一步.这些步骤可用如图所示的框图表示.课堂探究一、问题探究1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k0)的求根公式为.2.如图所示,已知A,
8、B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,作出3种y=f(x)的可能的图像.判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.二、典型例题题型一:函数零点存在定理例1已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值如下:x345678f(x)123.5621.45-7.82-11.5753.76126.69则函数f(x)在区间3,8内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点要点归纳在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间3,5上()A.没有零点B.
9、有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点题型二:二分法的概念例2(1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=x2-2x(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)0,f(1)0.可得其中一个零点x0,第二次应计算.要点归纳运用二分法求函数的零点应具备的条件:(1)函数图像在零点附近连续不断;(2)在该零点左右的函数值异号.变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是.题型三:用二分法求函数零点例3用二分法求函数f(x
10、)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).要点归纳用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).核心素养专练1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于;若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于.2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.3.求下
11、列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)0和f(x)3或x-1(2)R(3)R例3x|-3x5要点归纳略变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)12x1.核心素养专练1.x|x52.C3.C4.B5.第2课时自主预习略课堂探究一、问题探究略二、典型例题例1C变式训练:B例2(1)C(2)x0(0,0.5),f(0.25)变式训练:(1,2)例31.562 5变式训练:1.812 5核心素养专练1.小于2,小于12.(-,-1)(1,+)3.(1)f(x)0的解集是-3,12,+);f(x)0的解集是(1,2).(2)f(x)0的解集是-2,+);f(x)0的解集是(-,-2).
12、4.2a0的解集y0的解集y0的解集y0;(2)3x2+5x-20.跟踪训练2解下列不等式:(1)4x2-4x+10;(2)-x2+6x-100.例3求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)0和f(x)0的解集.跟踪训练3求函数f(x)=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)0的解集.(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是() A.-12,-1B.12,1C.12,-1D.-12,12.不等式x2
13、-4x+30的解集为()A.(1,3)B.(-,13,+)C.(-3,-1)D.(-,-3-1,+)3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)0的解集为.课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.课本119页习题32A1,2,3,5,6,7,B1,2,3第2课时学习目标1.理解函数零点存在定理.2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.自主预习1.函数y=f(x)的零点的定义:.2.可以从以下三个方面来理解函数y=f(x)的零点:(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为.(2)函数的零点可以理解
14、为函数的图像与x轴的交点的.(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程的.3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是.4.函数零点存在定理:.5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间a,b上的图像是,(2)f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间内有零点.课堂探究(一)【问题导入】1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?y=f(x)xa,b3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理思考所有函
15、数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.2.二分法(1)定义:(2)用二分法求函数零点的一般步骤(三)【巩固练习,学以致用】例1分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.(1)f(x)=3x-6;(2)f(x)=x2-x-12;(3)f(x)=x2-2x+1;(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.跟踪训练1判断下列函数是否有变号零点:(1)f(x)=x2-5x-14;(2)f(x)=x2+x+1;(3)f(x)=x4-18x2+81.例2求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)跟踪训练2已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点
16、.(精确到0.01)(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是()A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,22.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)0,f(1.5)0,则方程的根所在区间为()A.(1.5,2)B.(1,1.5)C.(2,3)D.不能确定3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.437 5)=0
17、.162f(1.406 25)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为.课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.课本119页习题32A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.参考答案第1课自主预习略课堂探究略课堂探究(一)【问题导入】答案:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:一般地,如果函数y=f(x)在实数处的函数值等于零,即f()=0,则称为函数y=f(x)的零点.2.函数的零点是“点”吗?函数的零点不是点,而是函数y=f(
18、x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-60,所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.(2)因为x3
19、-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.跟踪训练1解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.函数f(x)其余的零点是2.例2解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-60,所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0)
20、,B(3,0).故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.(2)设g(x)=3x2+5x-2,令g(x)=0,得3x2+5x-2=0,即(x+2)x-13=0.从而x=-2或x=13,因此-2和13都是函数g(x)的零点,从而g(x)的图像与x轴相交于(-2,0)和13,0,又因为函数的图像是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图像示意图,如图所示.由图可知,不等式的解集为(-,-213,+.跟踪训练2解:(1)方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=12.作出函数y=4x2-4x+1的图像如图.由图可得原不等式的解集为-,1212,+.(2)原不等式可化为x2-6x+100,=36-
21、40=-40的解集为-12,1(3,+);f(x)0的解集为-,-121,3.跟踪训练3解:函数零点依次为-2,-1,32.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x(-,-2)(-2,-1)-1,3232,+f(x)-+-+由此可以画出函数图像的示意图如图所示.所以f(x)0的解集为(-,-2-1,32.(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习1.B2.A3.(-,-1)(2,3)课后拓展略第2课时自主预习略课堂探究(一)【问题导入】略(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续的,并且f(a)f(b)0(即在区间两
22、个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间a,b中至少有一个零点,即x0a,b,f(x0)=0.思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.答案:不是,如反比例函数y=1x.2.二分法(1)定义:对于在区间a,b上的图像连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的一般步骤答案:已知函数y=f(x)是定义在区间a,b上的连续函数,且f(a)f(b)0,给定近似的精度,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|的一般步骤如下:第一步:检查
23、|b-a|2是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步:计算区间a,b的中点a+b2对应的函数值,若fa+b2=0,取x1=a+b2,计算结束;若fa+b20,转到第三步.第三步:若f(a)fa+b20,将a+b2的值赋b用a+b2b表示,下同,回到第一步;若fa+b2f(b)0,将a+b2的值赋给a,回到第一步.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)零点是2,是变号零点.(2)零点是-3和4,都是变号零点.(3)零点是1,是不变号零点.(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.跟踪训练1解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数
24、有变号零点.(2)无零点.函数无变号零点.(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.例2解:f(x)=x5-x3-3x2+3=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-3),f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=1-3=-20,故可取1,2作为计算的初始区间,列表如下:零点所在区间区间中点中点函数近似值1,21.5g(1.5)=0.37501,1.51.25g(1.25)-1.046 901.25,1.51.375g(1.375)-0.400 401.375,1.51.43
25、7 5g(1.437 5)-0.029 501.437 5,1.468 751.453 125g(1.453 125)0.068 401.437 5,1.453 1251.445 312 5|1.453 125-1.437 5|=0.015 62520.01,方程x3=3的根的近似值可取为1.445 312 5.故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.跟踪训练2解:由f(1)=-20,可以确定区间1,2作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.零点所在区间区间中点中点的函数值1,2x0=1+22=1.5f(x0)=-0.12501.5,1.75x2=1.5+1.752=1.625f(x2)0.666 001.5,1.625x3=1.5+1.6252=1.562 5f(x3)0.252 201.5,1.562 5x4=1.5+1.562 52=1.531 25由表中数据可知,|1.562 5-1.5|=0.062 520.06,所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习1.A2.A3.1.437 5课后巩固略
