1、 9.9直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组 1.(2019镇海中学分校)过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条答案B2p=2,p=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=32p,故这样的直线有且只有两条.2.抛物线y=x2到直线x-y-2=0的最短距离为()A.2B.728C.22D.526答案B设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d=|x-y-2|2=|-x2+x-2|2=-x-122-742,当x=12时,d最小,且dmin=728.3
2、.(2018宁波调研)经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则OAOB等于() A.-3B.-13C.-13或-3D.13答案B依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点坐标分别为(0,-1),43,13,OAOB=-13,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得OAOB=-13.4.(2018绍兴调研)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若AM=
3、2MB,则|AF|BF|=()A.2B.52C.2D.与p有关答案B由题意知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-p),代入y2=2px,消去y得k2x2-(2k2p+2p)x+k2p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2,则x1x2=p2.AM=2MB,(p-x1,-y1)=2(x2-p,y2),p-x1=2(x2-p),x1=-2x2+3p,由得x1=2p,x2=p2,|AF|BF|=2p+12p12p+12p=52.5.(2018嘉兴测试)过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是;此弦的长为.答案3x+4y-13=0;
4、53913解析设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)4=0.又P是AB的中点,x1+x2=6,y1+y2=2,kAB=y1-y2x1-x2=-34.直线AB的方程为y-1=-34(x-3),即3x+4y-13=0.由3x+4y-13=0,x216+y24=1消去y整理得13x2-78x+105=0,则x1+x2=6,则x1x2=10513,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+-34262
5、-410513=53913.6.(2018金华十校联考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则直线的斜率为时,|AF|+4|BF|取得最小值.答案22解析由题意,设|AF|=m,|BF|=n,则1m+1n=2p=1,m+4n=1m+1n(m+4n)=5+4nm+mn9,当且仅当m=2n时,m+4n取得最小值,且最小值为9,设直线的斜率为k,则其方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,得k2(x-1)2=4x.化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=2+4k2.根据抛物线的性质可知,|AF|=
6、x1+1,|BF|=x2+1,x1+1=2(x2+1),联立x1x2=1,x1+x2=2+4k2,x1+1=2(x2+1),可得k=22.7.如图,已知直线l:y=-x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(nm0)有且只有一个公共点P(2,1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=-x+b交C于A,B两点,且PAPB,求b的值.解析(1)因为点P(2,1)在椭圆上,所以4m+n=1,由y=-x+3,mx2+ny2=1得(m+n)x2-6nx+(9n-1)=0.故=36n2-4(m+n)(9n-1)=0,即m+n=9mn,由得m=16,n=13,所以椭圆C的标准方程为x26+y23=1.(
7、2)设点A(x1,y1),B(x2,y2).由y=-x+b,x26+y23=1得3x2-4bx+2(b2-3)=0,则=(-4b)2-432(b2-3)0,即-3bb0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62,求直线AP的方程.解析(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,ca=12,p2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b2=a2-c2=34.所
8、以,椭圆的方程为x2+4y23=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P-1,-2m,故Q-1,2m.将x=my+1与x2+4y23=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-6m3m2+4.由点B异于点A,可得点B-3m2+43m2+4,-6m3m2+4.由Q-1,2m,可得直线BQ的方程为-6m3m2+4-2m(x+1)-3m2+43m2+4+1y-2m=0,令y=0,解得x=2-3m23m2+2,故D2-3m23m2+2,0.所以|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2.又因
9、为APD的面积为62,故126m23m2+22|m|=62,整理得3m2-26|m|+2=0,解得|m|=63,所以m=63.所以,直线AP的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.B组提升题组1.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若OP=OA+OB,=425(,R),则双曲线的离心率e为 .答案54解析不妨取Ac,bca,Bc,-bca,Pc,b2a,则OP=OA+OB可转化为c=(+)c,b2a=(-)bca,即=121+bc,=121-bc,则=141-b2c2=
10、425,即1625=a2c2,所以e=54.2.已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+p2.因为|AF|=3,即2+p2=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1
11、),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),所以kGA=22-02-(-1)=223,kGB=-2-012-(-1)=-223,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2
12、或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),故直线GA的方程为22x-3y+22=0,从而r=|22+22|8+9=4217.又直线GB的方程为22x+3y+22=0,所以点F到直线GB的距离d=|22+22|8+9=4217=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且坐标原点O到过点(0,b),(a2-b2,0)的直线的距离为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过点M25,0的直线l交椭圆C于A,B两点,且与直线x=3交于点P,使得|PA|,|AB|,|PB|依次成等差数列?若存在,请求出直线l
13、的方程;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意可得ca=32,a2=b2+c2,所以a2=4b2,则椭圆方程可转化为x24b2+y2b2=1.由题意可得322b=b3b,故b=1.故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)存在.假设存在满足题意的直线l,显然其斜率存在,设直线l的方程为y=kx-25,且A(x1,y1),B(x2,y2).联立x24+y2=1,y=kx-25,消去y并整理,得(1+4k2)-165k2x+1625k2-4=0,其中=169625k2+1.由根与系数的关系,知x1+x2=16k25(1+4k2),x1x2=16k2-1005(1+4k2).因为|PA|=1+k2
14、|3-x1|,|PB|=1+k2|3-x2|,|AB|=1+k2|x1-x2|,且|PA|,|AB|,|PB|成等差数列,所以|3-x1|+|3-x2|=2|x1-x2|,即6-(x1+x2)=2(x1+x2)2-4x1x2,所以6-16k25(1+4k2)=249625k2+11+4k2,即52k2+15=496k2+25,解得k=12,所以直线l的方程为y=12x-25.4.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F的坐标为(1,0),P,Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点,使PFQF,C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴,y轴于点A,B(线段PQ不垂直于x轴),当Q运
15、动到椭圆的右顶点时,|PF|=22.(1)求椭圆M的标准方程;(2)若SABOSBCF=35,求直线PQ的方程.解析 (1)当Q运动到椭圆的右顶点时,PFx轴,|PF|=b2a=22,又c=1,a=2,b=1.椭圆M的标准方程为x22+y2=1.(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,显然k0,与椭圆方程联立消y得(2k2+1)x2+4kbx+2(b2-1)=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2=2(b2-1)2k2+10,x1+x2=-4kb2k2+10,=8(2k2-b2+1)0,由PFQF=0,得(1-x1)(1-x2)+y1y2=0,所以3b2-1+4kb=0,易得点C-2kb2k2+1,b2k2+1,线段PQ的中垂线AB的方程为y-b2k2+1=-1kx+2kb2k2+1,可得A-kb2k2+1,0,B0,-b2k2+1,A为BC的中点,故SBCFSABO=2SABFSABO=2|AF|AO|=2(1-xA)xA=21xA-1,由式得,k=1-3b24b,则xA=-kb2k2+1=6b4-2b29b4+2b2+1,SBCFSABO=21xA-1=6b4+8b2+26b4-2b2=53,解得b2=3,b=3,k=-233或b=-3,k=233,经检验,满足条件,故直线PQ的方程为y=-233x+3或y=233x-3.
