1、东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 2020.1 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合|1Ax x，|210Bxxx，那么 AB(A)|12xx (B)|11xx (C)|12xx(D)|11xx(2)复数 z=i(i 1)在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)下列函数中
2、，是偶函数，且在区间(0+)，上单调递增的为(A)1yx (B)lnyx(C)2 xy (D)1yx(4)设,a b 为实数，则“0ab”是“ab ”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)设,是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是(A)若 m，mn，则 n(B)若，m，n，则 mn(C)若 n，mn，则 m(D)若，m ，n ，则 mn(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为(A)7 (B)9 (C)10(D)13(7)设，是三角形的
3、两个内角，下列结论中正确的是(A)若2，则sinsin2(B)若2，则coscos2(C)若2，则sinsin1(D)若2，则coscos1(8)用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆著名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论：两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；若球心距124O O，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2；当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是(A)(B)(C)(D)第二部
4、分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9)若双曲线221xym 与22132xy 有相同的焦点，则实数m.(10)已知na 是各项均为正的等比数列，nS 为其前项和，若16a，2326aa，则公比q _，4=S_(11)能说明“直线0 xym与圆22420 xyxy有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为.(12)在平行四边形 ABCD 中，已知uuur uuuruuur uuurAB ACAC AD，4AC uuur，2BD uuur，则四边形 ABCD 的面积是_(13)已知函数()2sin()(0)f xx，.曲线()yf x与直线3y 相
5、交，若存在相邻两个交点间的距离为6，则 的所有可能值为_.(14)将初始温度为0 C 的物体放在室温恒定为30 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到 的物体温度记为 nt，已知 10 Ct.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k）.给 出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型对应的序号）130nnnkttt；1(30)nnnttkt；+1=(30)nntkt.在上述模型下，设物体温度从5 C 上升到10 C 所需时间为mina，从 10 C 上升到15 C 所需时间为 minb，从15 C上升到 20 C 所需时间为mi
6、nC，那么 ab与 bc的大小关系是 .(用“”，“”或“”号填空）n三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题 13 分）在 ABC 中，已知 sin3 cos0cAaC（）求C的大小；（）若=22 3bc，求 ABC 的面积.(16)（本小题 13 分）2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情
7、况如下：用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40%).（I）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率；（II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机
8、抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或10 元以上的人数，求 X 的分布列和数学期望；（III）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.(17)（本小题 14 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，1BB 平面 ABC，ABBC，12AAABBC（）求证：1BC 平面11A B C；（）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（）点 M 在线段1B C 上，且11(0,1)B MB C，点 N 在线段1A B 上，若 MN 平面11A ACC，求
9、11A NA B的值(用含 的代数式表示)(18)（本小题 13 分）已知函数321()3()3f xxxax aR.（）若()f x 在1x 时，有极值，求 a 的值；（）在直线1x 上是否存在点 P，使得过点 P 至少有两条直线与曲线()yf x相切？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由.(19)（本小题 14 分）已知椭圆222:1xCya 1a 的离心率是22（）求椭圆C 的方程；（）已知1F，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l，交椭圆C 于,A B 两点，直线11,F A F B分别交 y 轴于不同的两点,MN.如果1MF N为锐角，求k 的取值范围(20)（本小题 13 分）已知数列 na，记集合1(,)(,),1,iijTS ij S ijaaaij ij NL（）对于数列 na：1 2 3 4，写出集合T；（）若2nan，是否存在,ijN，使得(,)1024S ij？若存在，求出一组符合条件的,ij；若不存在，说明理由；（III）若22nan，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:mB bbb，LL.若2020mb，求m 的最大值
