1、专题3数列第11讲等差数列与等比数列题型一| 数列的概念及其表示(1)(2016无锡期末)对于数列an，定义数列bn满足：bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，则an_.(2)已知数列an的首项a12，其前n项和为Sn.若Sn12Sn1，则an_.解题指导(1)bn1bn1求bn求an(2)Sn12Sn1求Sn求an(1)(2)(1)a31，a41，b3a4a32.又bn1bn1，bn是等差数列，bnb3(n3)12(n3)1n5.an1ann5.an(anan1)(an1an2)(a4a3)a3(n6)(n7)(2)11.(2)依题意得Sn112(Sn1)，因此
2、数列Sn1是以S113为首项，2为公比的等比数列，Sn132n1，Sn32n11，当n2时，anSnSn132n2，又a12，因此an【名师点评】1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an2在形如“an1panq”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(an1x)p(anx)，再由等量关系求得x，实现构造3在形如“f(n)”的数列中，通常用累积法求an，即ana1.4在形如“an1anf(n)”的数列中，通常用累加法求an，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.1已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an_.2n1由Sn2ann，得Sn12an1(n1)(n2)，得
3、an2an2an11(n2)，即an12(an11)(n2)，2，又a11，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.2数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)则an_.由已知，当n2时，1，所以1，即1，所以.又S1a11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以1(n1)，即Sn.所以当n2时，anSnSn1.因此an题型二| 等差、等比数列的基本运算(1)(2014江苏高考)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_(2)如图111，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A
4、1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；，依此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_.图111(3)设等比数列an的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk33，Sk163，其中kN*，则Sk2的值为_(1)4(2)(3)129(1)因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.(2)根据题意易知a12，a2，a31，所以an构成以a12为首项，以q为公比的等比数列，所以a7a1q626.
5、(3)设公比为q，由2a3a4a5，即2a3a3qa3q2，解得q2或q1(舍去，因为Sk与Sk1异号)，ak1Sk1Sk96，ak2ak1q192，Sk2Sk1ak263192129.【名师点评】等差(比)数列基本运算中的关注点1基本量在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本量2解题思路(1)求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；(2)列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量1数列an是公差不为0的等差数列，且a2a6a8，则_.3由a2a6a8，得a1da15da17
6、d，即a1d，3.2(2016苏州期中)等比数列an的公比大于1，a5a115，a4a26，则a3_.4由得2q25q20，即q2.代入a5a115得a11.a3a1q21224.3设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1；a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.4已知数列an满足a1，2an1(nN*)，则_.【导学号：19592035】由已知，2an1，化简得(2an1)(an6)12，即3，令bn，则bn13bn，得bn13，所以数列
7、是等比数列，b11，公比为3，所以bn13n1，故bn3n1，所以数列bn的前n项和Snn，所以.题型三| 等差、等比数列的性质及应用(1)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.(2)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_(3)等差数列an中，公差d0，且2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.(1)5(2)(3)16(1)由等比数列的性质知a1a5a2a4a4a32，所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log
8、2(a1a2a3a4a5)log2a5log225.(2)由题意知d0且即解得1d0，递增；d0，递减)2等差、等比数列的性质类型等差数列等比数列项的性质2akamal(m，k，lN*且m，k，l成等差数列)aamal(m，k，lN*且m，k，l成等差数列)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)amanapaq(m，n，p，qN*且mnpq)和的性质当n为奇数时：Snna当n为偶数时：q(公比)依次每k项的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等差数列依次每k项的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等比数列(k不为偶数且公比q1)1(2016南通二调)在等比数列an中， a21，公比q1.若a1,4a3,7a5成等差数列，则a6的值是_由题意可知8a3a17a5，8q217q4，解得q2或q21(舍去)又a21，故a6a2q412.2若Sn为等差数列an的前n项和，若S21，4，则_.由等差数列的性质可知S2，S4S2，S6S4成等差数列，由4，得3，则S6S45S2，所以.3已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若ASnB对nN*恒成立，则BA的最小值为_易得Sn1n，而ySn在上单调递增，所以yA，B，因此BA的最小值为.
