1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_自主解答如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线xy20的垂线长是|OM|的最小值，故|OM|min. 答案【互动探究】在本例条件下，求直线OM的斜率的最小值解：由例题图可知，直线OM的斜率的取值范围为0，)，故直线OM的斜率的最小值为0. 【方法规律】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再
2、取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，求k的值解：由图可知，线性规划区域为ABC边界及内部ykx恰过A，ykx将区域平均分成面积相等的两部分，直线ykx一定过线段BC的中点D，易求C(0,4)，B(1,1)，线段BC的中点D的坐标为.因此k，k.高频考点考点二 线性目标函数的最值问题1线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适
3、中，属中档题2高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度：(1)求线性目标函数的最值；(2)已知线性目标函数的最值求参数例2(1)(2013天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4 C1 D2(2)(2013浙江高考)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.自主解答(1)由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC，作出直线y2x，经过平移得目标函数zy2x在点B(5,3)处取得最小值，即zmin3107.(2)画出可行域如图所示其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)当k0时，显然不符合题意；当k0
4、时，最大值在点C处取得，此时124k4，即k2；当k0(舍)或k20(舍)故k2.答案(1)A(2)2线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件
5、，确定最优解的位置，从而求出参数1(2013新课标全国卷)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2解析：选B由约束条件画出可行域(如图所示的ABC)由得A(1，2a)，当直线2xyz0过点A时，z2xy取得最小值，所以1212a，解得a.2已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_解析：如图所示，画出约束条件表示的平面区域(四边形ABCD)，作出目标函数zxy的基本直线l0：xy0，通过平移可知zxy在点C处取最大值，而点C的坐标为(1,4)，故zmax5.答案：5考点三线性规划的实际应用 例3(2013湖北高考)某旅行社租用A、B两种型号的客车安
6、排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元自主解答设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z1 600x2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800元答案C【方法规律】求解线性规划应用题的注意点(1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(2)对于有实际背景的线性规划
7、问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元 C2 800元 D3 100元解析：选C根据题意，整理表格如下：A原料(千克)B原料(千克)利润(元)甲产品(桶)12300乙产品(桶)2140
8、0限制1212设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有z300x400y.作出可行域如图中阴影部分内的整点将z300x400y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线由图可知，当直线yx经过点A时，最大，即z最大解方程组得A点坐标为(4,4)，所以zmax300440042 800元故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2 800元课堂归纳通法领悟1种方法确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的同一侧取一
9、个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点1个步骤利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值2个注意点求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值(2)若b0，则截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值
