1、第二节函数的单调性与最值课时作业练1.(2019江苏淮阴中学模拟)已知函数f(x)定义在实数集R上,它的图象关于直线x=1对称,且当x1时, f(x)=3x-1,则f13, f32, f23从小到大的关系为.答案f23 f32 f13解析因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f13=f53, f23=f43,又1433253, f(x)在1,+)上单调递增,所以f43 f32 f53,即f23 f32f13.2.函数f(x)=-|x|(x-3)的单调递增区间是.答案0,32解析f(x)=-|x|(x-3)=-x2+3x,x0,x2-3x,x0.作出该函数的图象,观察图象可知函数f(x)
2、的单调递增区间为0,32.3.函数y=4-x-x-3的最大值是.答案1解析根据题意得4-x0,x-30,所以3x4.又y=4-x为减函数,y=-x-3为减函数,所以函数y=4-x-x-3为减函数,所以当x=3时,函数取得最大值1.4.已知函数f(x)为R上的减函数,若f1x f(1),则实数x的取值范围是.答案(-1,0)(0,1)解析因为f(x)为R上的减函数且f1x1,即|x|1且x0.故-1x1且x0.5.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上具有单调性,则实数a的取值范围是.答案(-,12,+)解析函数f(x)=x2-2ax-3的图象的开口向上,对称轴为直线x=a,画出f(x
3、)的大致图象如图所示.由图象可知函数在(-,a和a,+)上都具有单调性,因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性,只需a1或a2,所以a的取值范围是(-,12,+).6.(2018江苏扬州中学测试)函数y=x-x(x0)的最大值为.答案14解析令t=x,则t0,y=t-t2=-t-122+14,当t=12,即x=14时,ymax=14.7.“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)上单调递增”的条件.答案充要解析当a=0时, f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+)上单调递增;当a0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+
4、)上先增后减再增,如图(2)所示.所以要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+)上单调递增,只需a0.即“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)上单调递增”的充要条件.8.(2017连云港第一学期期中)已知函数f(x)=-x2x+1.(1)判断函数f(x)在-12,+上的单调性,并证明;(2)设g(x)=tx+x22x+1,当x12,3时,g(x)0恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)函数f(x)=-x2x+1在-12,+上是减函数.证明如下:任取x1,x2-12,+,且x1x2,则有f(x1)-f(x2)=-x12x1+1+x22x2+1=-x1(2x2+1)-x
5、2(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=x2-x1(2x1+1)(2x2+1),-12x10,2x1+10,2x2+10,f(x1)f(x2),函数f(x)在-12,+上为减函数.(2)当x12,3时,g(x)0恒成立,即tx+x22x+10,t-x2x+1在x12,3上恒成立,则tf(x)在x12,3上恒成立.由(1)知, f(x)在x12,3上为减函数,f(x)0时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a2时,求函数f(x)在-12,1上的最小值.解析(1)f(x)=x(x-a),x0,-x(x-a),x0,所以函数f(x)在区间0,a2上递减,在区间a2,+上递增,在区间(-,0)上
6、递增.综上可知,函数f(x)的增区间为(-,0),a2,+,减区间为0,a2.(2)由a2得a21.又函数f(x)在-12,0上递增,在(0,1上递减,且f-12=-14-a2, f(1)=1-a.当f-12f(1),即a52时, f(x)min=f(1)=1-a;当f-12f(1),即2a52时, f(x)min=f-12=-14-a2.综上,当2a52时, f(x)min=-14-a2;当a52时, f(x)min=1-a.10.(2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在2,3上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b0时, f
7、(x)在2,3上为增函数,故f(3)=5,f(2)=2,所以9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2,解得a=1,b=0.当a0时, f(x)在2,3上为减函数,故f(3)=2,f(2)=5,所以9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5,解得a=-1,b=3.故a=1,b=0或a=-1,b=3.(2)因为b1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.若g(x)在2,4上单调,则2+2m22或2+2m24,所以2m2或2m6,即m1或mlog26.故实数m的取值范围是(-,1log26,+).基础滚动练(滚动循环夯实
8、基础)1.(2018徐州高三模拟)已知集合A=x|0x2,B=x|x21,则AB=.答案x|0x1解析集合B=x|-1x1,则AB=x|0xf(1-2a),则a的取值范围是.答案a134.(2019江苏盐城中学高三模拟)命题p:=3,命题q:tan =3,则p是q条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若=3,则tan =3;反之,若tan =3,则=3+k,kZ,所以p是q充分不必要条件.5.已知函数f(x)=2x-1,x2,6,则此函数的最大值为.答案26.函数y=2x-x-1的值域为.答案158,+解析由题意知x-10,即x1,故函数的定义
9、域为1,+).设t=x-1,则t0,x=t2+1,y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2t-142+158.t0,所以根据函数图象可得y158,故函数的值域为158,+.7.若函数y=ax2+(2a+1)x在(-,2上是增函数,则实数a的最大值与最小值的和为.答案-16解析当a=0时,函数y=x在(-,2上是增函数,所以a=0符合题意;若a0,则由题意得a0,-2a+12a2,解得-16a0,综上,实数a的取值范围是-16,0.故a的最大值与最小值的和为-16.8.(2019江苏泰州高三模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标为(1,-9),且图象在x轴上截得的线段长为6.(1)求f(2);(2)若f(x)在区间(m,m+3)上单调,求m的范围.解析(1)由题意得f(x)=a(x-1)2-9的图象过(4,0)点,a=1,f(x)=x2-2x-8,f(2)=4-4-8=-8.(2)若f(x)在区间(m,m+3)上单调递增,则m1;若f(x)在区间(m,m+3)上单调递减,则m+31,即m-2.综上,若f(x)在区间(m,m+3)上单调,则m的取值范围是(-,-21,+).
