1、5.4 三角函数的图象和性质课标要求考情分析核心素养1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的单调性等性质;2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间-2,2内的单调性;3.了解函数y=Asin(x+)的物理意义；能画出y=Asin(x+)的图像，了解参数A，对函数图像变化的影响;4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.新高考3年考题题 号考 点数学建模数学运算直观想象逻辑推理2022()卷6正弦函数的周期性和对称性2022()卷9三角函数的单调性、
2、对称轴与对称中心，函数的极值与切线方程2021()卷4正弦函数的单调区间2020()卷10由部分图象求三角函数解析式2020()卷11、16由部分图象求三角函数解析式，弧长及扇形面积1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）“五点法”作图原理：在正弦函数y=sinx,x0,2的图象上，五个关键点是：0,0, 2,1,0,32,-1,2,0在余弦函数y=cosx,x0,2的图象上，五个关键点是：0,1, 2,0,-1,32,0,2,1. （2）五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRxx2+k
3、,kZ值域 -1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称轴方程:x=2+k,kZ对称中心:k,0,kZ对称轴方程:x=k,kZ对称中心:2+k,0,kZ对称中心:k2,0,kZ单调性单调递增区间：-2+2k,2+2k,kZ单调递减区间：2+2k,32+2k,kZ单调递增区间：-+2k,2k,kZ单调递减区间：2k,+2k,kZ单调递增区间-2+k,2+k,kZ最值当x=2+2k,kZ时,ymax=1当x=32+2k,kZ时,ymin=-1当x=2k,kZ时,ymax=1当x=+2k,kZ时,ymin=-1无最值3.函数y=Asin(x+)的图象与性质（1）y=Asin(x+)
4、的有关概念y=Asinx+A0,0,x0,+表示一个振动量时 振幅周期频率相位初相AT=2f=1T=2x+（2）用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图，要找五个关键点，如下表所示：x+2322x-+2-+322-y=Asin(x+)A-A（3）函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(x+)的图象的两种途径（4）函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用定义域R值域-A,A周期性T=2奇偶性奇函数：f0=Asin=0=k,kZ偶函数：f0=Asin=A=2+k,kZ对称性对称轴方程：令x+=2+k,kZ，得x=-+2+k,kZ对称中心：令x+=k,kZ，得-+k,0,kZ单调性
5、1.设t=x+则y=Asint，利用复合函数的单调性性质“同增异减”，由内函数的单调性，判断外函数y=Asint的单调性；2.得出外函数y=Asint的单调区间，即x+的取值范围，解不等式，得出函数y=Asin(x+)的单调区间1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期(3)有关周期的结论函数y=Asin(x+),y=Acos(x+),y=Atan(x+)的周期均为T=；函数y=Asinx+b,y=Acos(x+)b0的周期为T=2. 2.奇偶性若fx=Asin
6、(x+)(A,0)，则：fx为奇函数的充要条件是=k,kZ; fx为偶函数的充要条件是=2+k,kZ.若fx=Acos(x+)(A,0)，则：fx为奇函数的充要条件是=2+k,kZ; fx为偶函数的充要条件是=k,kZ.3.单调性(1)对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间-2+k,2+k,kZ上为增函数.(2)要注意求fx=Asin(x+)的单调性时A和的符号,尽量化成0时情况,避免出现增减区间的混淆.4.函数fx=Asinx+b图象平移的规律：“左加右减，上加下减”5.求解函数fx=Asin(x+)的性质问题的四种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f
7、x=Asin(x+)的形式(2)整体意识：类比y=sinx的性质，只需将y=Asin(x+)中的“x+”看成y=sinx中的“x”，采用整体代入求解(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0的单调区间时，要视“x+”为一个整体，通过解不等式求解，如果0)，把函数g(x)的图象向右平移2得到函数f(x)的图象，函数f(x)在区间29,23上单调递减，在23,109上单调递增，则=()A. 34B. 94C. 13D. 43角度2 三角函数的奇偶性【典例精讲】例3.(2022广西壮族自治区期中.多选)已知函数f(x)=sin(x+)(0,00)的最小正周期为T.若23T0,00)个
8、单位长度,再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的12,得到函数f(x)的图象,若f(x)的图象关于直线x=4对称,则的取值可能为()A. 12B. 524C. 512D. 712练3-2(2022辽宁省二轮联考.多选)将函数f(x)=3cos(x+3)(0)的图象向右平移3个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在0,3上为减函数，则的值可能为()A. 2B. 3C. 4D. 5考点四由部分图象求三角函数解析式【方法储备】确定y=Asinx+b(A0,0)的步骤和方法(1)求A,b：确定函数的最大值M和最小值m，则A=M-m2,b=M+m2(2)求：确定函数的周期T，则可得=2
9、T(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A，b已知）或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时x+=0；“第二点”（即图象的“峰点”）时x+=2 “第三点”（即图象下降时与x轴的交点）时x+=；“第四点”（即图象的“谷点”）时x+=32 “第五点”时x+=2【典例精讲】例6.(2022山东省济南市期末)已知函数fx=Asinx+(A0,0,00,0,0|0,|0,00,0)的最小正周期为T.若f(T)=32，x=9为f(x)的零点，则的最小值
10、为【名师点睛】结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可【靶向训练】 练5-1(2022湖南省湘潭市三模)若函数f(x)=cos2x+sin(2x+6)在0,上恰有2个零点,则的取值范围为()A. 56,43B. 56,43C. 53,83D. 53,83练5-2(2022浙江省金华市模拟.多选)关于函数f(x)=sinx+sinx，下列选项正确的是()A. f(x)是偶函数 B.f(x)在区间(2,)单调递增 C.f(x)在-,有4个零点 D. f(x)的最大值为2核心素养系列 数学建模三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转
11、化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【方法储备】构建三角函数模型求解实际问题时，一般需要根据实际问题得到解析式，求得的解析式一般为fx=Asinx+b的形式，然后利用三角函数的有关性质和题中条件进行求解.【典例精讲】例8.(2022湖北省宜昌市模拟.多选)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为()A. 摩天轮离地面趣近的距离为4
12、米B. 若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h=-60cos15t+68C. 若在t1,t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30D. t1,t20,20，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米【名师点睛】A中，摩天轮离地面最近的距离为8米；B中，高度h关于时间t的函数解析式是h=-60cos(15t)+68(t0)；C中，在t130，t20，函数y=sinx+3+2的图象向右平移43个单位长度后与原图象重合，则的最小值是易错点3忽视x的系数为负数致错例11.(2022重庆市期末)函数f(x)=sin(-2x+3)的图象为C，则下列结论中正确的是()A. 图象C关于
13、直线x=6对称B. f(x)在区间-12,512上递减C. 图象C关于点(512,0)对称D. 由y=sin(-2x)的图象向左平移3得到C答案解析【教材改编】1.【解析】把C1上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，可得y=3sin2x的图象；再把得到的曲线向左平移8个单位长度，得到曲线C2：y=3sin(2x+4)的图象把C1向左平移4个单位长度，可得y=3sin(x+4)的图象；再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C2：y=3sin(2x+4)的图象故选：AC2.【解析】 (1)如图，设水轮与x轴正半轴交点为A，y轴与水面交点为B根据题意，设h=asin(t
14、+)+b，a=r=2，b=OB=1，BOP0=3，=-6，因为函数h=asint+b的最小正周期T=4，所以=24=2，点P距离水面的高度h(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数是h=2sin(2t-6)+1(t0). (2)根据题意，h=2sin(2t-6)+12，sin(2t-6)12，不妨设t0,4，则-62t-6116，所以62t-656，解得23t2，2-23=43，所以，在水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度超过2米的时间有43秒.【考点探究】例1.【解析】作f(x)=2sin(2x-3)的图象如图，x0,m时，f(x)最大值为2，m512又y=f(x)在512,1112上递
15、减，故m的最大值为512,1112内使函数值为-3的x的值令2sin(2x-3)=-3，x=56则512m56故m的最大值为56故选D练1-1.【解析】2cosx+10，即cosx-12,解得2k-23,2k+23kZ故选D 练1-2.【解析】f(x)的最小正周期为2，只需求f(x)在0,2)的值域，当x2,32时，f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+6)，而23x+653，-1sin(x+6)32，此时f(x)-2,3. 当x0,2)(32,2)时，f(x)=3sinx-cosx=2sin(x-6)，而-6x-63或43x-6116，-1sin(x-6)0,0)，存在=2，使得f(
16、x)=sin(x+)=cosx是偶函数，故B正确，且D不正确；当=k，kZ时，f(x)=sin(x+)才为奇函数，但0，所以不存在的值，使得f(x)是奇函数，故C正确，且A不正确，故选：BC练2-3.【解析】根据题意，函数f(x)=2xcosx4x+a是偶函数，则有2-xcos(-x)4-x+a=2xcosx4x+a，变形可得：a(4x-1)=4x-1，解得a=1，则f(x)=2xcosx4x+1=cosx2x+2-x，则f1-1=f0=cos020+20=12练2-4.【解析】根据题意，函数f(x)=sin(x+)+cosx为偶函数，则f(-x)=f(x)，即sin(-x+)+cos(-x)
17、=sin(x+)+cosx，变形可得：sin(x+)+sin(x-)=0，则有2sinxcos=0对任意x恒成立，必有cos=0，则=k+2kZ，故答案为：2(答案不唯一)例4.【解析】由题可知：T=2(23,)，所以(2,3)又因为y=f(x)的图像关于点(32,2)中心对称，所以b=2，且f(32)=sin(32+4)+b=2所以=23(k-14)，kZ，所以=52.所以f(x)=sin(52x+4)+2.所以f(2)=1 故选A.练2-5.【解析】由题意可知：T2=38-(-8)=2，则T=，则2=，则=2则f(x)=3sin(2x+)，过点(-8,3)，所以3sin2(-8)+=3，则
18、sin(-4+)=1，则-4+=2+2k,kZ，则=34+2k,kZ因为0，所以=34所以f(x)=3sin(2x+34)，故A错误；当x=-58时，sin2(-58)+34=sin(-2)=-1，x=-58是函数fx的一条对称轴，故B正确；令f(x)=3sin(2x+34)=0，则2x+34=k,kZ，则x=-38+k2,kZ，所以对称中心为(-38+k2,0)(kZ)，故C错误;y=f(x+78)=3sin2(x+78)+34=3sin(2x+52)=3cos2x，是偶函数，故D正确故选BD练2-6.【解析】f(x)=1+cos(2x-3)2-cos2x=12+12(12cos2x+32s
19、in2x)-cos2x=34sin2x-34cos2x+12=32sin(2x-3)+12，则f(x)的最大值为1+32，故A正确令2x-3=2+k(kZ)，得x=512+k2(kZ)，此即f(x)图象的对称轴方程，故C正确易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为12，故B错误由f(x)=32sin(2x-3)+12=0，得sin(2x-3)=-33，当x0,2时，2x-3-3,113，因为sin(-3)=sin113=-320)个单位长度，得到函数y=2sin(2x-2-3)的图象，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到函数f(x)=2sin(4x-2-3)f(x)的图象关于直线x=
20、4对称，44-2-3=k+2,kZ=12-k2,kZ，又0，当k=-2时，=1312；当k=-1时，=712；当k=0时，=12；故选：AD练3-2.【解析】由题意可知，g(x)=3cos(x-3)+3)=3cosx，当0x3时，0x3，因为函数y=g(x)在0,3上为减函数且0，则3，解得03.故选AB例6.【解析】由图象可知，振幅为2，即A=2，3T4=712+16，解得T=，又因为T=2，故=2，此时函数fx=2sin2x+，将点(712,-2)代入，得-2=2sin(2712+)，即-1=sin(76+)，76+=2k+32，kZ=2k+3，kZ且0|0,|2)的部分图象，可得T4=7
21、12-3=4T=2=2点(3,0)是五点作图的第二个点，则23+=2=-6，f(x)=cos(2x-6).故选D练4-2.【解析】函数f(x)=sin(x+)，f(0)=12，sin(0+)=sin=12，=6+2k， kZ， 或=56+2k， kZ，00，结合图像可知122512,00，结合图像可知122512,00,0)的最小正周期为T=2，若f(T)=cos(2+)=cos=32，则=6，所以f(x)=cos(x+6).因为x=9为f(x)的零点，所以cos(9+6)=0，故9+6=k+2，kZ，所以=9k+3，kZ，则的最小值为3故答案为：3练5-1.【解析】f(x)=cos2x+si
22、n(2x+6)=cos2x+32sin2x+12cos2x=32sin2x+32cos2x=3sin(2x+3).因为0x，所以32x+32+3又f(x)在(0,)上恰有2个零点，所以22+33，则5630，故t1+t2最小值为30，故C对；对于D，设t140，化为：cos15t12所以2k+3t152k+53，kN，即30k+5t30k+25令k=0，则5t0，解得-2+2kx0，则43=2k,kN*，所以=32k，kN*，的最小值是32故答案为：32例11.【解析】由函数f(x)=sin(-2x+3)=-sin(2x-3)的图象为C，对于A，x=6时，f(6)=sin(-3+3)=0，所以图象C不关于直线x=6对称，A错误；对于B，x-12,512时，2x-3-2,2，则函数f(x)=-sin(2x-3)在区间上单调减，B正确；对于C，x=512时，f(512)=-sin(56-3)=-1，所以图象C不关于(512,0)对称，C错误；对于D，y=sin(-2x)的图象向左平移3，得y=sin-2(x+3)=sin(-2x-23)的图象，不是函数f(x)的图象，D错误故选：B
