1、第 2 讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与直线 y 3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是()A(1,2)B.(1,2C(1，5)D.(1，5解析 因为双曲线的渐近线为 ybax，要使直线 y 3x 与双曲线无交点，则直线 y 3x 应在两渐近线之间，所以有ba 3，即 b 3a，所以 b23a2，c2a23a2，即 c24a2，e24，所以 1e2.答案 B2已知椭圆x24y2b21(0b2)，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是()A1
2、B.2 C.32 D.3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为 a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a 3，可求得 b23，即 b 3.答案 D3(2014湖北卷)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF23，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.4 33B.2 33C3D.2解析 设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为 a1，双曲线实半轴长为 a2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e1，e2，则(2
3、c)2r21r222r1r2cos 3，得 4c2r21r22r1r2.由r1r22a1，r1r22a2得r1a1a2，r2a1a2，1e11e2a1a2cr1c.令 mr21c24r21r21r22r1r241r2r12r2r14r2r112234，当r2r112时，mmax163，r1c max4 33，即1e11e2的最大值为4 33.答案 A4(2014福建卷)设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A5 2B.46 2C7 2D.6 2解析 设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r 2，点 C 到椭圆上的点 Q(1
4、0cos，sin)的距离|CQ|10cos 2sin 62469sin2 12sin 509sin 232 505 2，当且仅当 sin 23时取等号，所以|PQ|CQ|r5 2 26 2，即 P，Q两点间的最大距离是 6 2，故选 D.答案 D二、填空题5已知双曲线 x2y231 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1 PF2 的最小值为_解析 由已知得 A1(1,0)，F2(2,0)设 P(x，y)(x1)，则PA1 PF2(1x，y)(2x，y)4x2x5.令 f(x)4x2x5，则 f(x)在1，)上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取最小值，即PA
5、1 PF2 取最小值，最小值为2.答案 26已知 A(1,2)，B(1,2)，动点 P 满足APBP.若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析 设 P(x，y)，由题设条件，得动点 P 的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即 x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆又双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，即 bxay0，由题意，可得2aa2b21，即2ac 1，所以 eca2，又 e1，故 1e2.答案(1,2)7若椭圆x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2a2y2b21
6、的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的取值范围为_解析 可知 e21a2b2a21b2a2，e22a2b2a21b2a2，所以 e21e2222e1e20e1e21.答案(0,1)8直线 3x4y40 与抛物线 x24y 和圆 x2(y1)21 从左到右的交点依次为A，B，C，D，则ABCD的值为_解析 由3x4y40，x24y，得 x23x40，xA1，xD4，yA14，yD4.直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点 F(0,1)AFyA154，DFyD15，ABCDAF1DF1 116.答案 116三、解答题9(2014烟台一模)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于1
7、2，它的一个顶点恰好是抛物线 x28 3y 的焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(2,3)，Q(2，3)在椭圆上，点 A，B 是椭圆上不同的两个动点，且满足APQBPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由解(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，则 b2 3.由ca12，a2c2b2，得 a4，椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)当APQBPQ 时，PA，PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则PB 的斜率为k，PA 的直线方程为 y3k(x2)，由y3kx2，x216y2121，整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)24
8、80，x1282k3k34k2，同理 PB 的直线方程为 y3k(x2)，可得 x228k2k334k28k2k334k2，x1x216k21234k2，x1x2 48k34k2，kABy1y2x1x2kx123kx223x1x2kx1x24kx1x212，所以直线 AB 的斜率为定值12.10(2014湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F(1,0)，C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点，过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线C2 分别相交于 A，B 两点(1)写出抛物线 C2 的标准方程；(2)求证：以 AB 为直径的圆过原点；(3)若坐标原点
9、 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上，直线 l 与椭圆 C1 有公共点，求椭圆 C1 的长轴长的最小值解(1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，由 F(1,0)，得 p2，C2：y24x.(2)可设 AB：x4ny，联立 y24x，得 y24ny160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y216，x1x2y21y2216 16，OA OB x1x2y1y20，即以 AB 为直径的圆过原点(3)设 P(4t2,4t)，则 OP 的中点(2t2,2t)在直线 l 上，2t242nt，4t4t2n，得 n1，又t0，n1，直线 l：xy4.设椭圆 C1：x2a2
10、 y2a211，与直线 l：xy4 联立可得：(2a21)y28(a21)ya417a2160，由 0，得 a 342，长轴长最小值为 34.11(2014金丽衢十二校联考)如图，过椭圆 L 的左顶点 A(3,0)和下顶点 B(0，1)且斜率均为 k 的两直线 l1，l2 分别交椭圆于 C，D，又 l1 交 y 轴于 M，l2 交 x轴于 N，且 CD 与 MN 相交于点 P.(1)求椭圆 L 的标准方程；(2)()证明存在实数，使得AM OP；()求|OP|的取值范围解(1)由椭圆 L 的左顶点为 A(3,0)，下顶点为 B(0，1)可知椭圆 L 的标准方程为：x29y21.(2)()证明
11、由(1)可设直线 l1，l2 的方程分别为 yk(x3)和 ykx1，其中k0，则 M(0,3k)，N(1k，0)由ykx3，x29y21，消去 x 得(19k2)x254k2x81k290.以上方程必有一根3，由根与系数的关系可得另一根为327k219k2，故点 C 的坐标为(327k219k2，6k19k2)由ykx1，x29y21，消去 x 得(19k2)x218kx0，解得一根为 18k19k2，故点 D 的坐标为(18k19k2，9k2119k2)由 l1 与 l2 平行得MP t MN，CPt CD，然后，进行坐标运算，即可得出点 P的坐标为313k，3k13k，而AM(3,3k)，OP 313k，3k13k.AM(13k)OP，存在实数 13k，使得AM OP.()由OP 313k，3k13k，法一 由消参得点 P 的轨迹方程为 x3y30，所以|OP|的最小值为3 1010；法二 得|OP|3 1k2|13k|，令 t13k，则|OP|101t221t1，其中1t0,1，|OP|的最小值为3 1010，故|OP|的取值范围为3 1010，)
