1、高考资源网（） 您身边的高考专家 函数专题突破课程讲义一映射：1.映射: AB的概念：对于两个集合A，B,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：AB.1A 2345 B65 B1A 23465 B5 B1A 2345 B61A 23465 B f f f f (1) (2) (3) (4)在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.(2)对于映射这个概念，应明确以下几点：映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.映射是有方向的
2、，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合CB. 映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.2.映射的种类 一一映射：既是一对一又是B无余的映射. 单 射：指将不同的变量映射到不同的值的函数。 满 射：如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个
3、变量与之对应。 双 射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 在理解映射概念时要注意： A中元素必须都有象且唯一； B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。【典例分析】例1.设是集合到的映射，下列说法正确的是A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合例2.若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集
4、合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9例3.点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点_例4.a、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则= A、1 B、0 C、1 D、1例5.若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个二函数：1.函数的概念： （A）:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. （B）: 近代（映射）定义：
5、设A，B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f：AB叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数f(x)的定义域，注：（1）两种定义的比较： 相同点：1实质一致 2定义域，值域意义一致 3对应法则一致 不同点：1传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动. 2近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性. （2）对函数定义的更深层次的思考： 映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：AB，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集. 函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至
6、多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。【典例分析】例6、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 例7.设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是 例8、设，如图中表示A到B的函数的是（ ）2函数的表示方法： （1）解析法：将两个变量的函数关系用一个等式来表示. （2）列表法：利用表格来表示两个变量的函数关系. （3）图像法： 例9、下列各式表示同一函数的是（）A.与B. 与C与D与例10.试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；
7、（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1例11：123321（1） 的值为 ； （2）若，则x= ；3函数的三要素1、 定义域： 1)常见函数：a.在中；b.在中，；c.在中，；d.在中，；f.在中， ；g.在 与中且.【典例分析】例12、求下列函数的定义域：（1） （2） 例13.(2010年广东江门质检)函数ylg(2x1)的定义域是_例14.函数的定义域是( ). A. B. C. D.例15. 函数y的定义域为_ 2）抽象函数：题型：已知的定义域，求的定义域 已知的定义
8、域，求的定义域 已知的定义域，求的定义域【典例分析】例16.已知函数的定义域为，求函数的定义域。例17.已知函数的定义域为，求函数的定义域。例18.已知的定义域为1,2，求的定义域。例19.已知f（x）=lg，求f（）+f（）的定义域。2、对应法则： 四大方法：1）换元法2）配方法3）列方程组法4）待定系数法【典例分析】例20.已知f（x+1）=2x2+3x+1，求f（x）。例21.已知，求f（x）。 例22.已知，求f（x）。例23.已知f（x）+g（x）=，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求f（x）、g（x）。例24.已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）。例25.已知f（x）为
9、一次函数，且f（x）+f（x+1）=2x+1，求f（x）。三、 值域：1.确定函数的值域的原则：（1）当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合。（2）当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。2.常见函数的值域：函数y=kx+b y=ax2+bx+cy=axy=logax值域Ra0a0R 1）带“| |”的题型例26.已知f（x）=|x+1|+|x-3|，求f（x）的值域。例27.已知f（x）=x2-2|x|-3，求f（x）的值域。例28.已知f
10、（x）=|x2-2x-3|，x-1,5,求f（x）的值域。2）带“”的题型例29.已知2，求x的取值范围。例30.已知f（x）=+，求f（x）的值域。例31.已知，求f（x）的值域。例32.已知F（x）= f（x）+2，f（x）的值域为,，求F（x）的值域。例33.已知f（x）=+，求f（x）的值域。例34.已知f（x）=+，求f（x）最小值。3）带“分式”的题型例35.已知f（x）=，求f（x）的值域。例36.已知f（x）=，（x-1），求f（x）的值域。例37.已知f（x）=，求f（x）的值域。（2） 函数的性质一、奇偶性(一)定义：如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数。这两个式子有意义的
11、前提条件是：定义域关于原点对称。(二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ： (1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负.(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇.(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数. 2.利用奇偶性：(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式.(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去
12、g(x),从而解决问题.3.奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称若则f(x)关于对称.奇函数：关于原点对称若则f(x)关于(，m) 对称.题型一 判断函数的奇偶性例1以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是 _例2判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3） （4）例3函数是( )A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数例4（2005黄冈模）函数（ ）A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数例5已知，（1）判断的奇偶性例6函数在定义域上不是常数函数，且满足条件，对
13、任意，都有，,则是（ ）A.奇函数但非偶函数 B.偶函数但非奇函数 C.奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数例7（2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（ ） A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 例8已知对任意实数都成立，则函数是 （ ）A.奇函数 B.偶函数 C.可以是奇函数也可以是偶函数 D.不能判定奇偶性例9（2006辽宁理）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）Af（x）f（-x）是奇函数 Bf（x）f（-x）上奇函数Cf（x）-f（-x）是偶函数 Df（x）+f（-x）是偶函数例10由方程确定的函数 在上是_（奇函数，偶函数，增函数，减函数）例
14、11函数，是_（偶函数，奇函数），在上单调_(递增，递减) ；在上单调_(递增，递减)。例12函数与有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f(x)f(x)0,g(x)g(x)1，且x0,g(x)1，则（ ）A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数题型二 奇偶性的利用求系数例13若为奇函数，则实数_里14定义在上的奇函数，则常数_ _,_ _里15设是R上的奇函数，求的值例16（2007江苏）设是奇函数，则使f（x）0的x的取值范围是（ ）A（-1，0） B（0，1） C（-，0） D（-，0）（1，+）例17已知是以2为周期
15、的偶函数，当时，那么在区间内，关于的方程（其中为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是（ ）ABCD题型三 奇偶性的利用求函数值例18已知函数（ ）A.b B.bC.D.例19已知函数f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,则f(-a)等于（ ）A.2a2-M B.M-2a2 C.2M-a2 D.a2-2M例20已知，其中为常数，若，则_ 例21（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 例22设f（x）=2x+1，已知f（m）=，求f（m）例23设函数，若是奇函数，则当时，的最大值是 （
16、） （ ）A B C D例24（东三省三校2010年二模）函数的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于( )A9B9C3D0题型四 奇偶性的利用求函数解析式例25（2010朝阳模）若奇函数y=f（x）（x0），当x（0，+）时f（x）=x-1，则不等式f（x-1）0的解集为（ ）A.x|x0或1x2 B.xlx-l或0x1 C.xlx-2或-lx0 D.xlx0例26（2009汕头模）若f（x）是偶函数，当x0，+）时，f（x）=x-1，则f（x-1）0的解集是（ ）A.x0x2 B.x-2x0 C.x-1x0 D.xlx0)在区间上有四个不同的根,则二、单调性1. 定义：在给
17、定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数.2. 单调性题型：（1）.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间.（2）.判断单调性 .求导函数：为增函数，为减函数. .利用定义法（三步曲）：（1）设点设（2）做差（3）判断正负. .原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性.（3）.利用函数单调性：.求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断.比较函数值的大小：画图看.解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式. 增函数或 减函数或.求系数：利用常规
18、函数单调性结论，根据单调性求系数.画图判断题型一：判断（证明）单调性.定义法：三步曲.分析法：1、复合函数的单调性： （同增异减）2、函数的复合： （加同不变，减异随前=+，= 3、注意：影响函数单调性的因素：取倒、取负号例31.已知f（x）=，试判断f（x）的单调性。例32.讨论在上的单调性。例33.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性 例34.（昆明一中一次月考理）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D.例35.(2010年高考北京卷文科6)给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A. B. C. D. 导数法:主要解决三次及高次不等式题型
19、二：求单调区间例36.函数y=的递减区间是 例37.求的单调区间。例38.求的单调区间。 例39.求y=log07(x2-3x+2)的单调区间例40.函数y=lncos(x/3+p/4)的递减区间是 例41.写出函数f(x)=log05|x2-x-12|的单调区间例42.函数f(x)=log05|sinx-cosx|的单调递增区间是 单调递减区间是 例43.函数单调递减区间为 。题型三：利用单调性求系数例44.已知在区间上是增函数，求实数的取值范围。例45.函数y=loga(2-ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是 例46.函数在上为增函数，则的取值范围是（）.AB或CD例47.已知函数
20、f(x)=a(ax-a-x)/(a-2) (a0,且a1)是R上的增函数，求a的取值范围例48.设函数f(x)= (a0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,+)上是单调函数例49.已知奇函数f(x)在定义域-2,2上递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的取值范围例50.设奇函数f(x)在0,+）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f(kx)+f(x-x2-2)0恒成立，求实数k的取值范围例51.函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数. 若是闭函数，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.例52.（辽宁卷）已知是定义在R上的单
21、调函数，实数，若，则（ ）ABCD例53.（天津卷）如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（）ABCD例54.（天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（） A B C D 例55.若函数在区间上单调递增, 则实数a的取值范围是_.题型四：利用单调性解不等式：例56.已知：f(x)是定义在1，1上的增函数，且f(x1)0时，单调递增； K10a10a0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点；且在第一象限都是增函数；当01时，曲线下凸；1时，为过(0,0)点和(1,1)点的直线 (2)当0且a1)ylogaf(x)(a0且a1)
22、定义域tf(x)的定义域tf(x)0的解集值域先求tf(x)的值域，再由yat的单调性得解先求t的取值范围,再由ylogat的单调性得解yaf(x)(a0且a1)ylogaf(x)(a0且a1)过定点令f(x)0，得xx0,则过定点(x0,1)令f(x)1，得xx0，则过定点(x0,0)单调区间先求tf(x)的单调区间，再由同增异减得解先求使tf(x)0恒成立的单调区间，再由同增异减得解题型一：恒过定点 1. 2. 题型二化简求值：例题1： 例题2：若，则=_题型三比较大小 例题3：若,则 （ ）（A） （B） （C） （D）例题4：比较下列三组数的大小（1）（2）（3） 其中题型四解不等式
23、注意：与解集的区别六 函数的图像、函数与方程（一）函数的图象1、熟练掌握常见初等函数的函数图像：具体包括: 一次函数, 二次函数, 反比例函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数.2、函数图像作图的方法(1) 描点法(关键点)：通过标出函数图像经过的几个关键点, 结合函数的单调性, 奇偶性, 周期性来作出函数的图像. 在作的图像时, 所采取的五点法作图(三个平衡位置, 一个波峰及一个波谷), 就是典型的描点法.(2) 对已知函数进行图像变换：平移变换：水平平移：y=f(x)y=f(x+h)； y=f(x) y=f(x-h)垂直平移：1）y=f(x) y=f(x)+h； y=f(x) y=f(x
24、)-h对称变换常用的对称变换有以下几种:; ; ； 翻折变换：，伸缩变换(在三角函数中研究,对一般函数不要求)： ;（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面例题精讲：例1、（1）说明下列函数与指数函数的图象的关系 （2）讨论函数的图象与的图象的关系。例2、作图（1） （2） （3） （4）例3、已知函数y=f(x)的图像如右图，试分别作出函数-11y=f(x)图像例4、当时，在同一坐标系中函数与的图像是 （ ）OxxxxyyyyOOO(A)(C)(D)(B)例5.(2009山东卷理)函数的图像大致为( ).例6.函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ）（二）函数与方程：(1)
25、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。(2)函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数 的图像与轴交点的横坐标。方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点(3)零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，并且至少存在一个。即存在使得这个c也就是方程的根。例题精讲：例1、已知函数满足，且当时，则与的图象的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5例2、（1）若函数有零点, 求实数m的范围.(2)函数有两个不同的零点,求实数k的取值范围 (3)若,则有几个零点？例3.设函数若，则函数的零点的个数为（ ） A1B2C3
26、D4例4.已知的图象如图所示，因考虑，则方程式（ ）A有三个实根B当时，恰有一实根C当时，恰有一实根D当时，恰有一实根函数专题参考答案一映射例题解析：A B （2.-1） A 81，64，36 二 函数1.函数的定义题型一：B B D C 否 否 是 否 是题型二：1,3 1,2 2.定义域： 1）常见函数 例题精讲： x/x=5且x6 x/-2=x2/3 B x/x=-10且x1 习题精炼： x/x1 x/x1 x/x0且x-1 C B D A C 2）抽象函数 例题精讲： x/-2=x=-1或1=x=2 6,22 x/-4x1或1x4 习题精炼： x/-2=x=-2 x/x1/2 x/-2
27、x=4 y/y=-4 0,12 x/x3或x=6 y/y= y/y1 0,1/3 y/y=2或y=0习题精炼： y/y=5 y/y3 y/y2 y/y1且y- 1,5三 函数性质系统三 函数的性质（一） 奇偶性题型一 判断函数的奇偶性1【答案】5 2【答案】奇 偶 非奇非偶3【答案】D 4【答案】A 5【答案】奇 6【答案】B7【答案】解: D 与都是奇函数， 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选D8【答案】C 9【答案】D 10【答案】奇 减 11【答案】偶 减 增 12【答案】B题型二 奇偶性的利用化简、运算一、求系数1【答案】10 2【答案】0、0 3【答案】1
28、 4【答案】A 5【答案】C二、求函数值1【答案】B 2【答案】A 3【答案】174【答案】A【解析】若0，则有，取，则有： （是偶函数，则 ）由此得；于是，5【答案】解：f（m）=，2m+1= 2m=1f（m）=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+ 2m+1=（2m）+1=（1）+1=26【答案】C 7【答案】B三、求解析式1【答案】A 2【答案】A 3【答案】x- 4【答案】 5【答案】A题型二 奇偶性的利用画图判断1、-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于
29、直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8(一) 单调性：系统三 函数的性质（二） 单调性题型一 判断函数的单调性1【答案】 a0,f(x)递减；a0,f(x)递增 2【答案】C 3【答案】B题型二 求单调区间1【答案】(-,-3) 2【答案】在(-,1)上递增；在(2,+)上递减 3【答案】在(0,1/2上递增；在1/2,+)上递减4【答案】6kp-3p/4,6kp+3p/4 kZ 5【答案】作图，在(-3,1/2和(4,+)上递减
30、，在(-,-3)和1/2,4)上递增）6【答案】 kp+3p/4,kp+5p/4) (kZ)；(kp+p/4,kp+3p/4 (kZ)7【答案】题型三 利用单调性求系数1【答案】(1,2) 2【答案】C 3【答案】 a(0,1)(2,+)4【答案】a1时，f(x)递减； 0a1时，存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性5【答案】-1m1 6【答案】 -2-1k1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴0，矛盾；若0a1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0t1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t, ，要求对称轴，矛盾；当0
31、a1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t,，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是,选D.11【答案】1,) 三周期性 B - A 习题精炼： B B B C C 0四对称性 B 0 四基本初等函数：1.二次函数： 题型一 单调递增区间：（，）；单调递增区间：（，+） 题型二 4,118 分类讨论 题型三 （-,-1）(3,+) (-,-1)(4,) 全体实数R2.指对数函数： 题型一： （3,1） （4,0） 题型二： 4 1 -2 -4 64 题型三： B 12143 132 题型四： （-2,4） （-4,2） （2,3） （0,1）（4,5）六 函数的图象、函数的方程（一）函数的图象 例题精讲： 例1.（1）向左平移一个单位；向右平移两个单位；向上平移三个单位； （2）向左平移两个单位，向上平移三个单位 例4.A A B 习题精炼： B B A A B +1（二）函数与方程 习题精炼： 0，-1 ，- B D B B ABD F(X)=X2+- 44 - 版权所有高考资源网
