1、课时跟踪检测（五十四） 定点、定值、探索性问题一保高考，全练题型做到高考达标1如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：1(ab0)的四个顶点，A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.(1)求椭圆C及圆M的方程；(2)若点D是圆M劣上一动点(点D异于端点A1，B2)，直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F.求的最大值；试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)由题意知B2(0,1)，A1(，0)，所以b1，a，所以椭圆C的方程为y21.易得圆心M，A1M，所以圆M的方程为2y2.(2)设直线B
2、1D的方程为ykx1，与直线A1B2的方程yx1联立，解得点E.联立消去y并整理，得(13k2)x26kx0，解得点G.111，当且仅当k时等号成立所以的最大值为.易得直线B2G的方程为yx1x1，与直线A1B1的方程yx1联立，解得点F，所以E，F两点的横坐标之和为2.故E，F两点的横坐标之和为定值，该定值为2.2(2016盐城二模)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点P，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k22，求证：直线DE恒过一个定点解：(
3、1)由题意得解得所以椭圆的方程为x22y21.(2)设B(m，n)，C(m，n)，则SABC2|m|n|mn|.又1m22n222|mn|，所以|mn|，当且仅当|m|n|时取等号，从而SABC.所以ABC面积的最大值为.(3)证明：因为A(1,0)，所以直线AD：yk1(x1)，直线AE：yk2(x1)联立消去y，得(12k)x24kx2k10，解得x1或x，故点D.同理，E.又k1k22，故E.故直线DE的方程为y ，即y，即yx.所以2yk(3x5)k14y0.则令得直线DE恒过定点.3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线l：xmy10(mR)过椭圆C的右焦
4、点F交椭圆C于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程 (2)已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在xmy10中，令y0，则x1，所以F(1,0)由题设，得解得从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)令m0，则A，B或A，B.当A，B时，P；当A，B时，P.所以满足题意的定直线l2只能是x4.下面证明点P恒在直线x4上设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1
5、)在直线BD上由消去x，得(43m2)y26my90.因为144(1m2)0，所以y1y2，y1y2.因为kDBkDP.将式代入上式，得kDBkDP0，所以kDBkDP.所以点P(4，y1)在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x4三线恒过同一点P，所以存在一条定直线l2：x4，使得点P恒在直线l2上4. 如图，已知椭圆C：y21，A，B是四条直线x2，y1所围成的两个顶点(1)设P是椭圆C上任意一点，若mn，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M，N是椭圆C上两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说
6、明理由解：(1)证明：易求A(2,1)，B(2,1)设P(x0，y0)，则y1.由mn，得所以(mn)21，即m2n2.故点Q(m，n)在定圆x2y2上(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则.平方得xx16yy(4x)(4x)，即xx4.因为直线MN的方程为(x2x1)y(y2y1)xx1y2x2y10，所以O到直线MN的距离为d，所以OMN的面积SMNd|x1y2x2y1|1.故OMN的面积为定值1.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2015苏锡常镇、宿迁一调)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点(点
7、M与点A不重合)，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APOM；(3)试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)因为椭圆C：1(ab0)的离心率为，所以a22c2，又c2a2b2，所以a22b2.又椭圆C过点，所以1.所以a24，b22.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：法一：设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为yk(x2)设P(x1，y1)，将yk(x2)代入椭圆C的方程1中并化简得(2k21)x28k2x8k240，解得x1，x22，所以y1k(x12)，从而P.令x2，得y4k，所以M(2，4k)，(2，4k)又，所以0，所以APOM.法二：设P(x0，y0)因为A(2,0)，B(2,0)所以kPAkPB.又因为点P在椭圆上，所以1，所以y2.所以kPAkPB.因为kPBkMBtanMBA，kMOtanMOA，所以kPBkMO.因为kPB，所以kMOkPA1，即APMO.(3)设M(2，t)，P(x0，y0)由(2)得APMO.所以kAP，kOM.所以kAPkOM1.所以t.所以(x0，y0)2x0y04.所以为定值4.
