1、上海市风华中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共50分）1（5分）设2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c成数列2（5分）已知为单位向量，与的夹角为，则=3（5分）已知矩阵A=（a b），则AB=，它的几何意义是向量（）经过矩阵B变换后得到的向量与原向量关于对称4（5分）数列an的图象分布在直线y=3x2上，则该数列的前n项和Sn=5（5分）经过计算：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1的值，可以猜测等式1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=6（5分）在单调递减等差数列an中，a4+a6=4，a3a7=12，则an=
2、7（5分）已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为8（5分）若数列an 满足（p为正常数，nN*），则称an 为“等方比数列”则“数列an 是等方比数列”是“数列an 是等比数列”的条件9（5分）已知数列an前n项和Sn=2n，Tn为的前n项和，则=10（5分）以下命题正确的个数为因为数列可以看出函数，所以每个数列均有通项公式；引入向量坐标的理论依据是平面向量的分解定理；由于矩阵与行列式都用行与列的形式呈现数据，因此两者本质上没区别；确定一条直线的基本要素是点和方向，两者缺一不可；过点P（x0，y0）且与向量平行的直线方程是二、解答题（共四大题，满分50分）11（10分）用行列式讨论关于x，
3、y的二元一次方程组的解的情况，并说明各自的几何意义12（10分）在ABC中，已知AB、BC、CA的长分别为c、a、b，利用向量方法证明：b2=a2+c22accosB13（15分）已知ABC中，且此三角形的重心为G（3，1）（1）求与的和向量与差向量；（2）求BC边上中线及高所在的直线方程14（15分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n5an85，nN*（1）证明：an1是等比数列；（2）求数列Sn的通项公式请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由上海市风华中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共50分）1（5分）设2a=3，2b=
4、6，2c=12，则a，b，c成等差数列考点：等差关系的确定；函数的零点 专题：等差数列与等比数列分析：由题意和指数的运算律可得2b=a+c，根据等差中项的性质可得结论解答：解：因为2a=3，2b=6，2c=12，62=312，所以22b=2a2c=2a+c，即2b=a+c，所以a，b，c成等差数列，故答案为：等差点评：本题考查利用等差中项的性质确定等差关系，以及指数的运算律，属于基础题2（5分）已知为单位向量，与的夹角为，则=2考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的数量积求解即可解答：解：为单位向量，与的夹角为，故答案为：2点评：本题考查
5、向量的数量积的应用，基本知识的考查3（5分）已知矩阵A=（a b），则AB=，它的几何意义是向量（）经过矩阵B变换后得到的向量与原向量关于直线y=x对称考点：矩阵与矩阵的乘法的意义 专题：计算题；矩阵和变换分析：利用矩阵的乘法，可得结论解答：解：矩阵A=（a b），AB=，它的几何意义是向量（）经过矩阵B变换后得到的向量与原向量关于直线y=x对称故答案为：，直线y=x点评：本题考查矩阵与矩阵的乘法的意义，考查学生的计算能力，比较基础4（5分）数列an的图象分布在直线y=3x2上，则该数列的前n项和Sn=考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得an为以1为首项，以3为公
6、差的等差数列，然后由等差数列的前n项和公式得答案解答：解：数列an的图象分布在直线y=3x2上，an=3n2，则a1=1，an+1an=3（n+1）23n+2=3，an为以1为首项，以3为公差的等差数列，则故答案为：点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题5（5分）经过计算：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1的值，可以猜测等式1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：由已知中1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32，1+2+3+4+3+2+1=16=42，归纳猜想可得
7、：1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2，进而可得答案解答：解：由已知中：1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32，1+2+3+4+3+2+1=16=42，归纳猜想可得：1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2，故答案为：n2点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）6（5分）在单调递减等差数列an中，a4+a6=4，a3a7=12，则an=2n+8考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的性质和题意求出a3、a7的值，由等差数列的通项
8、公式求出公差d，再求出an的值解答：解：由等差数列的性质得，a4+a6=a3+a7=4，又a3a7=12，则a3和a7是方程x2+4x12=0两个根，解得a3=2、a7=6或a3=6、a7=2，因为等差数列an单调递减，所以a3=2，a7=6，解得公差d=2，所以an=2+（n3）（2）=2n+8故答案为：2n+8点评：本题考查等差数列的通项公式、性质，以及数列的单调性，属于基础题7（5分）已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的数量积小于0，不共线，列出不等式组求解即可解答：解：与的夹角为钝角且与不共线，可得：，解之故
9、答案为：点评：本题考查向量的数量积的应用，基本知识的考查8（5分）若数列an 满足（p为正常数，nN*），则称an 为“等方比数列”则“数列an 是等方比数列”是“数列an 是等比数列”的必要非充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：常规题型分析：若an 为“等方比数列”，说明数列an2成公比为p的等比数列，而数列an的符号不能确定，故不一定成等比数列；反过来若“数列an 是等比数列”成立，说明=q是一个非零常数，则是一个正常数符合等方比的定义，所以“数列an 是等方比数列”成立由此可以得出正确答案解答：解：充分性：若数列an 为“等方比数列”，设可得数列an 的各项的绝对值相
10、等，但符号不能确定比如：1，1，1，1，1，1，1，1，就是一个等方比数列，而不是等比数列，故充分性不成立；必要性：若“数列an 是等比数列”，设它的公比是q（q0）则=q（正常数），说明数列an 为“等方比数列”，故必要性成立综上所述，“数列an 是等方比数列”是“数列an 是等比数列”的 必要非充分条件故答案为：必要非充分点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题将条件进行化简，找出“谁能推出谁”和“谁被谁推出”的问题，是解决本题的关键9（5分）已知数列an前n项和Sn=2n，Tn为的前n项和，则=考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：首先利用递推关系式求出数
11、列的通项公式，进一步利用极限求值解答：解：由，可知，所以，所以=，故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列通项的应用，极限问题的应用，属于基础题型10（5分）以下命题正确的个数为1因为数列可以看出函数，所以每个数列均有通项公式；引入向量坐标的理论依据是平面向量的分解定理；由于矩阵与行列式都用行与列的形式呈现数据，因此两者本质上没区别；确定一条直线的基本要素是点和方向，两者缺一不可；过点P（x0，y0）且与向量平行的直线方程是考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据数列不一定有通项公式，可判断；根据引入向量坐标的理论依据是平面向量的基本（分解）定理，可判断；根据矩阵与行列式在行列数关
12、系，相等的定义等方面均不相同，可判断；根据两点也可以确定直线，可判断；根据点向式方式的前提条件是u0，v0，可判断解答：解：对于，每个数列不一定有通项公式，故错误；对于，引入向量坐标的理论依据是平面向量的基本（分解）定理，故正确；对于，矩阵与行列式在行列数关系，相等的定义等方面均不相同，故错误；对于，两点也可以确定直线，故错误；对于，过点P（x0，y0）且与向量平行的直线方程是的前提是u0，v0，故错误；故答案为：1点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，在判断时要注意对所涉及的基本概念的深入理解，难度不大，属于基础题二、解答题（共四大题，满分50分）11（10分）用行列式讨论关于x，y
13、的二元一次方程组的解的情况，并说明各自的几何意义考点：逆矩阵与二元一次方程组 专题：矩阵和变换分析：首先，分情况当m2、m=2、m=2三种情形进行讨论，几何意义：分m2、m=2、m=2三种情形说明解答：解：，（1）当m2时，D0方程组有唯一解，此时，即；（2）当m=2时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多组解，通解可表示为（tR），（3）当m=2时，D=0，Dx0，Dy0，此时方程组无解几何意义：设l1： mx+4y=m+2，l2：x+my=m当m2时，方程组唯一解，则直线l1与l2相交；当m=2时，方程组无解，则直线l1与l2平行；当m=2时，方程组无穷多解，则直线l1与l2重合点评：本题重
14、点考查了方程组与行列式之间的关系，分类讨论思想及其应用等知识，属于中档题解题关键是分类中如何划分“类”12（10分）在ABC中，已知AB、BC、CA的长分别为c、a、b，利用向量方法证明：b2=a2+c22accosB考点：向量在几何中的应用 专题：平面向量及应用分析：在三角形ABC中，利用三角形法则列出关系式，两边平方后，利用平面向量的数量积运算法则变形，即可得证解答：解：，=+2cos（B）+，即b2=a2+c22accosB点评：此题考查了余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解本题的关键属于基础题13（15分）已知ABC中，且此三角形的重心为G（3，1）（1）
15、求与的和向量与差向量；（2）求BC边上中线及高所在的直线方程考点：向量的减法及其几何意义；直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：（1）利用向量的坐标运算即可得出；（2）设中线为AD，高线为AH，结合点方向式方程，即可得出解答：解：（1），（2）设中线为AD，高线为AH，结合点方向式方程，；设A（x，y），可得，结合点方向式方程，点评：本题考查了向量的坐标运算、点方向式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（15分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n5an85，nN*（1）证明：an1是等比数列；（2）求数列Sn的通项公式请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说
16、明理由考点：等比关系的确定；数列的函数特性 专题：综合题；压轴题；转化思想；综合法分析：（1）利用题设中所给的恒等式进行变换，先得到Sn+1=n+15an+185，nN*与已知中Sn=n5an85，nN*作差整理即可得到证明；（2）由（1）Sn+1=n+15an+185，nN*变形可得Sn+1（n+1）+90=（Snn+90），此是一等比数列，求出它的通项则可以得到数列Sn的通项公式，对数列的相邻两项作差，研究其单调性即可得出Sn取得最小值时的n是1解答：解：（1）Sn=n5an85，nN*Sn+1=n+15an+185，nN*两式作差得an+1=15an+1+5an，即6（an+11）=5（
17、an1），即（an+11）=（an1），nN*故an1是等比数列（2）由（1）Sn+1=n+15an+185，nN*得Sn+1=n+15（Sn+1Sn）85，nN*得6Sn+1=n+5Sn84，即6Sn+1（n+1）=5（Snn）90，即Sn+1（n+1）=（Snn）15整理得Sn+1（n+1）+90=（Snn+90）故Snn+90是一个等比数列，其公比为，由于a1=15a185，得a1=14故Snn+90的首项为141+90=75故Snn+90=75，即Sn=n90+75，由于Sn+1Sn=1，令Sn+1Sn0，对n赋值验证知n15时成立，即Sn其最小值是S15点评：本题考查等比关系的确定，求解本题的关键是根据题设中所给的恒成立的方程灵活变形得出形式为公比的形式，故此类题虽然比较抽象，但也有其规律可循，即变形的目标相对确定，解对本题要注意对数列的函数的特性的研究方法即对相邻两项作差确定其单调性，从而求了最小值，此方法不易引起初学者注意，切记
