1、课时跟踪检测(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1“点P在直线m上，m在平面内”可表示为()APm，mBPm，mCPm，m DPm，m解析：选B点在直线上用“”，直线在平面上用“”，故选B.2空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是()A6 B12C12 D24解析：选A如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC6，BD8，易证四边形EFGH为平行四边形，EFG或FGH为AC与BD所成的45角，故S四边形EFGH34sin 456，故选A.3若直线上有两个点在平面外，则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个
2、点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析：选D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内4如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：55(2016济南一模)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_解析：如
3、图，设ACBDO，连接VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，又VOACO，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ()A空间四边形B矩形C菱形 D正方形解析：选B顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形2(2016浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b
4、平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.3(2016福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条
5、件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.4如图，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB
6、1D1的交线上，所以A，M，O三点共线5已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A BC D解析：选A如图所示，因为BD平面ACC1A1，所以平面ACC1A1平面BDC1.在RtCC1O中，过C作CHC1O于H，连接DH，则CDH即为所求令ABa，显然CHa，所以sinCDH，即CD与平面BDC1所成角的正弦值为.6如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB
7、与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：37(2016福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：8(2015浙江高考)如图，在三棱锥ABCD中
8、，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK .在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.答案：9已知A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而
9、DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.10如图所示，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥P ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，故三棱锥P ABC的体积为VSABCPA22.(2)如图所示，取PB的中点E
10、，连接DE，AE，则DEBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，则cosADE.即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：2如图所示，三棱柱ABC A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，
11、F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解：(1)法一：如图(1)所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC.又因为EC2FB2，所以OMFBEC且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点法二：如图(2)所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ 平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.
