1、专题突破练(三)数列综合1设数列an的前n项和Sn2n1，数列bn满足bnn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)当n1时，a1S14.由Sn2n1得Sn12n(n2)，anSnSn12n12n2n(n2)，an(2)当n1时，b11，T1.当n2时，bnnnn，Tn(234n)(1234n)，上式对于n1也成立，Tn.2已知数列an满足a11，a23，an13an2an1(nN*，n2)(1)证明：数列an1an是等比数列，并求出an的通项公式；(2)设数列bn满足bn2log4(an1)2，证明：对一切正整数n，有.证明：(1)由an13an2an1，可
2、得an1an2(anan1)，(n2)a2a12，an1an是首项为2，公比为2的等比数列，即an1an2n.an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)由题意得bn2log4(2n)22n.对一切正整数n，有.3设数列an的前n项和为Sn，满足Snan1n2n34，nN*，且a1，S2,2a34成等比数列(1)求a1，a2，a3的值；(2)设bn，nN*，求数列bn的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1.解析：(1)由已知得解得a14，a224，a396.(2)因为Snan1n2n34，nN*，所以Sn1an(n1)2n24，其中n2.，并整理得an
3、12an(n1)2n2，n2，即bn1bn2(n1)，n2.所以累积相加，得bnb2(n2)(n3)由(1)知a224，所以b26，所以n2时，bnn(n1)，又a14，b12也符合上式，所以数列bn的通项公式为bnn(n1)，nN*.(3)证明：对一切正整数n，因为，所以11.4已知数列an满足2a14a22nan.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列an的前n项和Tn.解析：(1)证明：当n1时，由2a11得，a1，当n2时，由2a14a22nan得，2a14a22n1an1，于是2nann，整理得n，又a1符合上式，所以数列是等比数列(2)由(1)得，annn，Tn112233nn，Tn122334nn1，所以Tn1234nnn1，即Tn1123n1nnnn22nnn2.
