1、第 6 讲 习题课 电磁感应的综合应用(二)动力学和能量问题目标定位 1.综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的动力学问题.2.会分析电磁感应中的能量转化问题1闭合回路的磁通量发生变化时，可根据法拉第电磁感应定律 Ent 计算电动势大小，电动势方向根据楞次定律判定；特殊地，当导体做切割磁感线运动时 EBlv，感应电动势方向由右手定则判断2垂直于匀强磁场放置、长为 L 的直导线通过电流为 I 时，它所受的安培力 FBIL，安培力方向的判断用左手定则3牛顿第二定律：Fma，它揭示了力与运动的关系当加速度 a 与速度 v 方向相同时，速度增大，反之速度减小，当加速度 a 为零时，物体做
2、匀速直线运动或静止4做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度几种常见的功能关系(1)合外力所做的功等于物体动能的变化(动能定理)(2)重力做的功等于重力势能的变化(3)弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化(4)除了重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于机械能的变化(5)安培力做的功等于电能的变化5焦耳定律：QI2Rt.一、电磁感应中的动力学问题1通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向(2)求回路中的感应电流的大小和方向(3
3、)分析研究导体受力情况(包括安培力)(4)列动力学方程或平衡方程求解2电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析：周而复始地循环，加速度等于零时，导体达到稳定运动状态3两种状态处理导体匀速运动，受力平衡，应根据平衡条件列式分析；导体做匀速直线运动之前，往往做变加速运动，处于非平衡状态，应根据牛顿第二定律或结合功能关系分析例 1 如图 1 所示，电阻不计的金属导轨 MN 和 OP 放置在水平面内，MO 间接有阻值为 R3 的电阻，导轨相距 d1 m，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 B0.5 T，质量m0.1 kg，电阻 r1 的导体棒 CD 垂直于导
4、轨放置，并接触良好现用平行于 MN 的恒力 F1 N 向右拉动 CD，CD 所受摩擦力 f 恒为 0.5 N，求：图 1(1)CD 运动的最大速度是多少？(2)当 CD 的速度为最大速度的一半时，CD 的加速度是多少？答案(1)8 m/s(2)2.5 m/s2解析(1)对于导体棒 CD，所受安培力为 F 安BId根据法拉第电磁感应定律有：EBdv在回路 CDOM 中，由闭合电路欧姆定律I ERr，当 vvm时，有 FF 安f所以 vmFfRrB2d28 m/s.(2)当 CD 的速度为最大速度的一半时，EBdvm2回路中电流 I ERrCD 所受安培力大小：F 安BId由牛顿第二定律：FF 安
5、fma可得 a2.5 m/s2.例 2 如图 2 甲所示，两根足够长的直金属导轨 MN、PQ 平行放置在倾角为 的绝缘斜面上，两导轨间距为 L，M、P 两点间接在阻值为 R 的电阻，一根质量为 m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让 ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦图 2(1)由 b 向 a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；(2)在加速下滑过程中，当 ab 杆的速度大小为 v 时，求此时 ab 杆中的
6、电流及其加速度的大小；(3)求 ab 杆下滑过程中的最大速度答案(1)见解析图(2)BLvR gsin B2L2vmR (3)mgRsin B2L2解析(1)如图所示，ab 杆受重力 mg，竖直向下；支持力 N，垂直于斜面向上；安培力 F 安，沿斜面向上(2)当 ab 杆速度大小为 v 时，感应电动势 EBLv，此时电路中电流 IERBLvRab 杆受到安培力 F 安BILB2L2vR根据牛顿第二定律，有mamgsin F 安mgsin B2L2vRagsin B2L2vmR.(3)当 a0 时，ab 杆有最大速度：vmmgRsin B2L2.针对训练 如图 3 所示，竖直平面内有足够长的金属
7、导轨，轨距 0.2 m，金属导体 ab 可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab 的电阻为 0.4，导轨电阻不计，导体 ab 的质量为 0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s 时，突然接通开关 S，则：(g 取 10 m/s2)图 3(1)试写出 S 接通后，导体 ab 的运动情况；(2)导体 ab 匀速下落的速度多大答案(1)先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速运动(2)0.5 m/s解析(1)闭合 S 之前导体 ab 自由下落的末速度为：v0gt4 m/s.S 闭合瞬间，导体 ab 产生感应电动势，回路中产生感应电流，
8、ab 立即受到一个竖直向上的安培力F 安BILB2L2v0R0.016 Nmg0.002 N.此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为aF安mgmB2L2vmR g，所以 ab 做下落的加速度逐渐减小的减速运动当速度减小至 F安mg 时，ab 做竖直向下的匀速运动(2)设匀速下落的速度为 vm，此时 F 安mg，即B2L2vmRmg，vmmgRB2L20.5 m/s.二、电磁感应中的能量问题1电磁感应现象中的能量守恒电磁感应现象中的“阻碍”是能量守恒的具体体现，在这种“阻碍”的过程中，其他形式的能转化为电能2电磁感应现象中的能量转化方式外力克服安培力做功，把机械能
9、或其他形式的能转化成电能；感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式的能若电路是纯电阻电路，转化过来的电能将全部转化为电阻的内能(焦耳热)3分析求解电磁感应现象中能量问题的一般思路(1)分析回路，分清电源和外电路(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化如：有摩擦力做功，必有内能产生；有重力做功，重力势能必然发生变化；克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果是安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能(3)列有关能量的关系式4电磁感应中焦耳热的计算技巧(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即 QI2Rt.(2)感应电流变化，可用以下
10、方法分析：利用动能定理求出克服安培力做的功，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即 QW 安利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少，即 QE 其他例 3 如图 4 所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾角为，导轨下端接有电阻 R，匀强磁场垂直斜面向上质量为 m、电阻不计的金属棒 ab 在沿斜面与棒垂直的恒力 F 作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为 h，在这个过程中()图 4A金属棒所受各力的合力所做的功等于零B金属棒所受各力的合力所做的功等于 mgh 和电阻 R 上产生的焦耳热之和 C.恒力 F 与重力的合力所做的功等于棒克服安培力所做的功与电阻 R 上产生的焦耳热之和D恒力
11、F 与重力的合力所做的功等于电阻 R 上产生的焦耳热答案 AD解析 棒匀速上升的过程有三个力做功：恒力 F 做正功，重力 G、安培力 F 安做负功根据动能定理：WWFWGW 安0，故 A 对，B 错；恒力 F 与重力 G 的合力所做的功等于导体克服安培力做的功而导体克服安培力做的功等于回路中电能(最终转化为焦耳热)的增加量，克服安培力做功与焦耳热不能重复考虑，故 C 错，D 对例 4 如图 5 所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽 L0.5 m，框的电阻不计，匀强磁场的磁感应强度 B1 T，方向与框面垂直(图中未画出)，金属棒 MN 的质量为 100 g，电阻为 1，现让 MN 无初速度的释
12、放且与框保持接触良好并竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电荷量为 2 C，求此过程回路中产生的电能为多少？(空气阻力不计，g10 m/s2)图 5答案 3.2 J解析 金属棒下落过程先做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得：mgB2L2vmR在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能 E，由能量守恒定律得：mgh12mv2mE通过导体某一横截面的电荷量为：qBhLR 由解得：Emgh12mv2mmgRqBL m3g2R22B4L4 0.1101210.5J0.1310212210.54J3.2 J电磁感应中的动力学问题1如图
13、6 所示，在光滑水平桌面上有一边长为 L、电阻为 R 的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为 d(dL)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下导线框以某一初速度向右运动，t0 时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域下列 vt 图象中，可能正确描述上述过程的是()图 6答案 D解析 根据题意，线框进入磁场时，由右手定则和左手定则可知线框受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，v 减小，由 F 安B2L2vR知，安培力减小，故线框做加速度减小的减速运动；由于 dL，线框完全进入磁场后，线框中没有感应电流，不再受安培力作用，线框做匀速直线运动，同理
14、可知线框离开磁场时，线框也受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，做加速度减小的减速运动综上所述，正确答案为 D.2如图 7 所示，相距为 L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为，上端接有定值电阻 R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为 B.将质量为 m 的导体棒由静止释放，当速度达到 v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为 P，导体棒最终以 2v 的速度匀速运动导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为 g.下列选项正确的是()图 7A当导体棒速度达到v2时，加速度大小为g2sin B当导体棒速度达到v2时，加速
15、度大小为g4sin CP2mgvsin DP3mgvsin 答案 AC解析 当导体棒第一次匀速运动时，沿导轨方向：mgsin B2L2vR；当导体棒的速度达到v2时，沿导轨方向：mgsin B2L2v2R ma，解得 a12gsin，选项 A 正确，B 错误；当导体棒第二次匀速运动时，沿导轨方向：Fmgsin 2B2L2vR，即 Fmgsin，此时拉力 F 的功率 PF2v2mgvsin，选项 C 正确，D 错误电磁感应中的能量问题3.如图 8 所示，两根足够长的光滑金属导轨 MN、PQ 平行放置，导轨平面与水平面的夹角为，导轨的下端接有电阻当导轨所在空间没有磁场时，使导体棒 ab 以平行导轨
16、平面的初速度 v0 冲上导轨，ab 上升的最大高度为 H；当导轨所在空间存在方向与导轨平面垂直的匀强磁场时，再次使 ab 以相同的初速度从同一位置冲上导轨，ab 上升的最大高度为 h，两次运动中 ab 始终与两导轨垂直且接触良好，关于上述情景，下列说法中正确的是()图 8A比较两次上升的最大高度，有 HhB比较两次上升的最大高度，有 HhC无磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生D有磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生答案 D解析 没有磁场时，只有重力做功，机械能守恒，没有电热产生，C 错误；有磁场时，ab切割磁感线产生感应电流，重力和安培力均做负功，机械能减小，有电热产生，故 ab 上升的最大高度
17、变小，A、B 错误，D 正确(时间：60 分钟)题组一 电磁感应中的动力学问题1.如图 1 所示，在一匀强磁场中有一 U 形导线框 abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R 为一电阻，ef 为垂直于 ab 的一根导体杆，它可在 ab、cd 上无摩擦地滑动杆 ef及线框中导线的电阻都可不计，且 ef 与线框接触良好开始时，给 ef 一个向右的初速度，则()图 1Aef 将减速向右运动，但不是匀减速Bef 将匀减速向右运动，最后停止Cef 将匀速向右运动Def 将往返运动答案 A解析 ef 向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀
18、减速，由 F 安BIlB2l2vR ma 知，ef 做的是加速度减小的减速运动，故 A 正确2.如图 2 所示，MN 和 PQ 是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab 是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关 S断开，让杆 ab 由静止开始自由下落，经过一段时间后，再将 S 闭合，若从 S 闭合开始计时，则金属杆 ab 的速度 v 随时间 t 变化的图象不可能是下图中的()图 2答案 B解析 S 闭合时，若B2l2vR mg，先减速再匀速，D 项有可能；若B2l2vR mg，匀速，A 项有可能；若B2l2vR mg，先加速再匀速，C 项
19、有可能；由于 v 变化，B2l2vR mgma 中 a 不恒定，故 B 项不可能3如图 3 所示，有两根和水平方向成 角的光滑平行金属轨道，间距为 l，上端接有可变电阻 R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为 B.一根质量为 m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度 vm，则()图 3A如果 B 变大，vm将变大B如果 变大，vm将变大C如果 R 变大，vm将变大D如果 m 变小，vm将变大答案 BC解析 金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势 EBlv，在闭合电路中形成电流 IBlvR，因此金属杆从轨道上滑下的过程
20、中除受重力、轨道的弹力外还受安培力 F 安作用，F 安BIlB2l2vR，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得 mgsin B2l2vR ma，当 a0 时，vvm，解得 vmmgRsin B2l2，故选项 B、C 正确4均匀导线制成的单匝正方形闭合线框 abcd，每边长为 L，总电阻为 R，总质量为 m.将其置于磁感应强度为 B 的水平匀强磁场上方 h 处，如图 4 所示线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且 cd 边始终与水平的磁场边界平行当 cd 边刚进入磁场时，图 4(1)求线框中产生的感应电动势大小；(2)求 c、d 两
21、点间的电势差大小；(3)若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度 h 应满足的条件答案(1)BL 2gh(2)34BL 2gh(3)hm2gR22B4L4解析(1)cd 边刚进入磁场时，线框速度：v 2gh线框中产生的感应电动势：EBLvBL 2gh(2)此时线框中电流：IERc、d 两点间的电势差 UI34R34BL 2gh(3)安培力 F 安BILB2L2 2ghR根据牛顿第二定律 mgF 安ma，由 a0，解得下落高度满足 hm2gR22B4L4.题组二 电磁感应中的能量问题5.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图 5 所示，抛物线的方程为 yx2，其下半部处在一个水平向外的匀强磁场
22、中，磁场的上边界是 ya 的直线(图中的虚线所示)，一个质量为 m 的小金属块从抛物线 yb(ba)处以速度 v 沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，则金属块在曲面上滑动的过程中产生的焦耳热总量是()图 5Amgb B.12mv2Cmg(ba)Dmg(ba)12mv2答案 D解析 金属块在进入磁场或离开磁场的过程中，穿过金属块的磁通量发生变化，产生电流，进而产生焦耳热，最后，金属块在高为 a 的曲面上做往复运动，减少的机械能为 mg(ba)12mv2，由能量守恒定律可知，减少的机械能全部转化成焦耳热，即 D 选项正确6如图 6 所示，质量为 m、高为 h 的矩形导线框在竖直面内自由下落，其上下两边
23、始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有理想边界、高亦为 h 的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为()图 6AmghB2mghC大于 mgh 而小于 2mghD大于 2mgh答案 B解析 因线框匀速穿过磁场，在穿过磁场的过程中合外力做功为零，克服安培力做功为 2mgh，产生的内能亦为 2mgh，故选 B.7如图 7 所示，纸面内有一矩形导体闭合线框 abcd，ab 边长大于 bc 边长，置于垂直纸面向里、边界为 MN 的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于 MN.第一次 ab 边平行 MN 进入磁场，线框上产生的热量为 Q1，通过线框导体横截面的电荷量为 q1
24、；第二次 bc 边平行于 MN 进入磁场，线框上产生的热量为 Q2，通过线框导体横截面的电荷量为 q2，则()图 7AQ1Q2，q1q2BQ1Q2，q1q2CQ1Q2，q1q2DQ1Q2，q1q2答案 A解析 根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即 Q1W1F1lbcB2l2abvRlbcB2SvR lab，同理 Q2B2SvR lbc，又 lablbc，故 Q1Q2；因 q I tER tR，故 q1q2，因此 A 正确8如图 8 所示，矩形线圈长为 L，宽为 h，电阻为 R，质量为 m，线圈在空气中竖直下落一段距离后(空气阻力不计)，进入一宽度也为 h、磁感应强度为 B
25、的匀强磁场中，线圈进入磁场时的动能为 Ek1，线圈刚穿出磁场时的动能为 Ek2，从线圈刚进入磁场到线圈刚穿出磁场的过程中产生的热量为 Q，线圈克服安培力做的功为 W1，重力做的功为 W2，则以下关系中正确的是()图 8AQEk1Ek2 BQW2W1CQW1DW2Ek2Ek1答案 C解析 线圈进入磁场和离开磁场的过程中，克服安培力做的功等于产生的焦耳热即 QW1，C 正确；根据动能定理：W2W1Ek2Ek1，D 错误；根据功能关系，线圈减少的机械能等于产生的焦耳热，也等于克服安培力做的功，QW2Ek1Ek2，所以 A、B 错误题组三 电磁感应中的动力学问题和能量问题的综合9如图 9 所示，间距为
26、 L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为 R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为 m、电阻也为 R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好整个装置处于竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中现使金属棒以初速度 v沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为 q.下列说法正确的是()图 9A金属棒在导轨上做匀减速运动B整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBLC整个过程中金属棒克服安培力做功为12mv2D整个过程中电阻 R 上产生的焦耳热为12mv2答案 C解析 因为导体向右运动时受到向左的安培力作用，且安培力随速度的减小而减小，所以导体向左做加速度减小的减速运动；根
27、据 Et BLxt，qIt E2RtBLx2R，解得 x2RqBL；整个过程中金属棒克服安培力做功等于金属棒动能的减少量12mv2；整个过程中电路中产生的热量等于机械能的减少量12mv2，电阻 R 上产生的焦耳热为14mv2.10.如图 10 所示，长 L1、宽 L2 的矩形线圈电阻为 R，处于磁感应强度为 B 的匀强磁场边缘，线圈平面与磁感线垂直，求将线圈以向右的速度 v 匀速拉出磁场的过程中，图 10(1)拉力的大小 F；(2)线圈中产生的电热 Q.答案(1)B2L22vR(2)B2L22L1vR解析(1)线圈出磁场时：FBIL2IEREBL2v得：FB2L22vR(2)方法一 tL1v所
28、以：QI2RtQB2L22L1vR方法二 QWFL1B2L22L1vR11.如图 11 所示，有一磁感应强度 B0.1 T 的水平匀强磁场，垂直匀强磁场放置一很长的U 型金属框架，框架上有一导体 ab 保持与框架边垂直接触且由静止开始下滑已知 ab 长 1m，质量为 0.1 kg，电阻为 0.1，框架光滑且电阻不计，取 g10 m/s2，求：图 11(1)导体 ab 下落的最大加速度；(2)导体 ab 下落的最大速度；(3)导体 ab 在最大速度时产生的电功率答案(1)10 m/s2(2)10 m/s(3)10 W解析(1)对导体 ab 受力分析可知，其开始运动时受合力最大，即为重力由牛顿第二
29、定律可知最大加速度：ag10 m/s2(2)导体 ab 下落速度最大时，加速度为零此时有：mgF 安F 安BILIEREBLvmax联立以上各式得：vmaxmgRB2L20.1100.10.1212m/s10 m/s(3)导体 ab 速度最大时其电功率：PIE得：PBLvmax2R0.111020.1W10 W12如图 12 甲所示，两根足够长的平行金属导轨 MN、PQ 相距为 L，导轨平面与水平面夹角为，金属棒 ab 垂直于 MN、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为 B.金属导轨的上端与开关 S、
30、阻值为 R1 的定值电阻和电阻箱 R2 相连，不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为 g.现在闭合开关 S，将金属棒由静止释放图 12(1)判断金属棒 ab 中电流的方向；(2)若电阻箱 R2 接入电路的阻值为 0，当金属棒下降高度为 h 时，速度为 v，求此过程中定值电阻 R1 上产生的焦耳热 Q；(3)当 B0.40 T、L0.50 m、37时，金属棒能达到的最大速度 vm随电阻箱 R2 阻值的变化关系如图乙所示，取 g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，求 R1 的大小和金属棒的质量 m.答案(1)b 到 a(2)mgh12mv2(3)2.0 0.1 kg
31、解析(1)由右手定则可知，金属棒 ab 中的电流方向为 b 到 a.(2)由能量守恒定律可知，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热 mgh12mv2Q解得：Qmgh12mv2(3)设最大速度为 vm时，切割磁感线产生的感应电动势 EBLvm由闭合电路欧姆定律得：IER1R2从 b 端向 a 端看，金属棒受力如图所示：金属棒达到最大速度时满足mgsin BIL0由以上三式得最大速度：vmmgsin B2L2 R2mgsin B2L2 R1题图乙斜率 k60302.0m/(s)15 m/(s)，纵截距 b30 m/s则：mgsin B2L2 R1bmgsin B2L2 k解得：R12.0 m0.1 kg
