1、2014-2015学年浙江省湖州市菱湖中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1抛物线y2=8x的准线方程为（） A x=2 B x=2 C y=2 D y=22过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（） A x2y1=0 B x2y+1=0 C 2x+y2=0 D x+2y1=03方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形是（） A 以（a，b）为圆心的圆 B 以（a，b）为圆心的圆 C 点（a，b） D 点（a，b）4已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，则p的值为（） A B 1 C
2、 2 D 45过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是（） A xy+1=0 B xy1=0 C xy+1=0或xy1=0 D xy+1=0或3x2y=06椭圆两焦点为 F1（4，0），F2（4，0），P在椭圆上，若PF1F2的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为（） A +=1 B +=1 C +=1 D +=17已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A 若m，n，则mn B 若m，n，则mn C 若m，n，则mn D 若m，n，则mn8已知半径是13的球面上有A、B、C三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到截面ABC的距离为（） A
3、12 B 8 C 6 D 59曲线与直线y=k（x2）+4两个公共点时，实数k的取值范围是（） A B C D 10离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则FBA等于（） A 60 B 75 C 90 D 120二、填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分）11设=（2，6，3），则与平行的单位向量的坐标为12一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积为13已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若PF1F2的内切圆的半径为，则=14若双曲线=1的渐近线与方程为（x2）2+y2=3的圆相切，则此双曲线的
4、离心率为 15如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是16过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若=，=48，则抛物线的方程为 17如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其
5、中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）三计算题（本题共5小题，满分72分）18已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程19如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=2，CBA=30，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF=3（1）求证：BC平面ACFE；（2）设点M为EF中点，求二面角BAMC的余弦值20已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与C：（x2）2+（y3）2=1，相交于M、N两点（1
6、）求实数k的取值范围；（2）求证：是定值；（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值21如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值22已知点F1，F2为椭圆的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；（2）若，求直线l的方程；（3）若，求三角形OAB面积的取值范围2014-2015学年浙江省湖州市菱湖中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参
7、考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1抛物线y2=8x的准线方程为（） A x=2 B x=2 C y=2 D y=2考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 抛物线y2=8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=8x的准线方程解答： 解：抛物线y2=8x的开口向左，2p=8，抛物线y2=8x的准线方程为x=2故选A点评： 本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题2过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（） A x2y1=0 B x2y+1=0 C 2x+y2=0 D x+2y1=0考点： 两条直线平行的判定；
8、直线的一般式方程专题： 计算题分析： 因为所求直线与直线x2y2=0平行，所以设平行直线系方程为x2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值解答： 解：设直线方程为x2y+c=0，又经过（1，0），10+c=0故c=1，所求方程为x2y1=0；故选A点评： 本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活3方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形是（） A 以（a，b）为圆心的圆 B 以（a，b）为圆心的圆 C 点（a，b） D 点（a，b）考点： 圆的一般方程专题： 直线与圆分析： 方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0可化为：（x+a）2+（y+b）2=0，当且仅当x=
9、a，且y=b时成立，进而可得答案解答： 解：方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0可化为：（x+a）2+（y+b）2=0，当且仅当x=a，且y=b时成立，故方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形是点（a，b），故选：D点评： 本题考查的知识点是配方法，平方的非负性，圆的标准方程，解答时，易忽略圆的标准方程的限制条件，而错选：B4已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，则p的值为（） A B 1 C 2 D 4考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；压轴题分析： 根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知求得p解答： 解
10、：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，所以；故选C点评： 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系5过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是（） A xy+1=0 B xy1=0 C xy+1=0或xy1=0 D xy+1=0或3x2y=0考点： 直线的截距式方程专题： 直线与圆分析： 当直线经过原点时，直线方程为当直线不经过原点时，设直线方程为xy=a，即可得出解答： 解：当直线经过原点时，直线方程为，即3x2y=0当直线不经过原点时，设直线方程为xy=a，把点P（2，3）代入可得23=a，a=1直线的
11、方程为xy+1=0综上可得：直线的方程为xy+1=0或3x2y=0故选：D点评： 本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题6椭圆两焦点为 F1（4，0），F2（4，0），P在椭圆上，若PF1F2的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为（） A +=1 B +=1 C +=1 D +=1考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题分析： 由椭圆图象可知，当PF1F2的面积的最大值为12，P与短轴顶点重合，根据三角形面积公式可得，所以b=3，由此能够推导出该椭圆的标准方程解答： 解：由椭圆图象可知，当PF1F2的面积的最大值为12，P与短轴顶点重合根据三角形面积公式，所以 b=3，由
12、a2=b2+c2得，a=5，椭圆的标准方程为故选A点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意合理地选用公式7已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A 若m，n，则mn B 若m，n，则mn C 若m，n，则mn D 若m，n，则mn考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离分析： 根据空间直线与平面的位置关系，判定方法，几何特征，根据已知条件分别判断两条直线的位置关系，即可得到答案解答： 解：若m，n，则mn或m，n异面，故A不正确；若m，n，则m，n可能平行，可能相交，也可能异面
13、，故B不正确；若m，n，则m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故C不正确；若m，则m或m，由n可得mn，故D正确故选D点评： 本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定方法，真正理解定义，建立强大的空间想像能力是解答此类问题的关键8已知半径是13的球面上有A、B、C三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到截面ABC的距离为（） A 12 B 8 C 6 D 5考点： 点、线、面间的距离计算专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知得ABC为直角三角形，M是AC的中点且OMAC由此能求出球心到平面ABC的距离解答： 解：半径是13的
14、球面上有A、B、C三点，AB=6，BC=8，AC=10，62+82=102，ABC为RtABC球心O在平面ABC内的射影M是截面圆的圆心，M是AC的中点且OMAC在RtOAM中，OM=12球心到平面ABC的距离为12故选：A点评： 本题考查球心到截面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9曲线与直线y=k（x2）+4两个公共点时，实数k的取值范围是（） A B C D 考点： 直线与圆的位置关系分析： 曲线表示圆的一部分，直线y=k（x2）+4是过定点（2、4）的直线系，通过图形易得结论解答： 解：曲线表示圆的一部分，直线y=k（x2）+4是过定点（2、4）的直线系，
15、如图：不难看出直线的斜率范围是故选D点评： 本题是选择题，采用数形结合，容易推出结果，这是解题技巧10离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则FBA等于（） A 60 B 75 C 90 D 120考点： 椭圆的简单性质专题： 新定义分析： 通过 ，推出 ，验证|FA|2=|FB|2+|AB|2成立所以所以FBA等于 90解答： 解：在三角形FAB中有b2+c2=a2|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2c2|FA|2=|FB|2+|
16、AB|2=|FA|2=|FB|2+|AB|2所以FBA等于 90故选C点评： 解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题二、填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分）11设=（2，6，3），则与平行的单位向量的坐标为考点： 单位向量；共线向量与共面向量专题： 空间向量及应用分析： 与平行的单位向量=，即可得出解答： 解：与平行的单位向量=故答案为：点评： 本题考查了与平行的单位向量的计算方法，属于基础题12一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积为12考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知中的三视图可得该几何体是由
17、一个球和圆柱组成的组合体，分别计算出两个几何体的体积，相加可得答案解答： 解：由已知中的三视图可得该几何体是由一个球和圆柱组成的组合体，球的直径为2，故半径R=1，故球的表面积为：4R2=4，圆柱的底面半径R=1，高h=3，故圆柱的表面积为：2R（R+h）=8，故这个几何体的全面积为：4+8=12，故答案为：12点评： 本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键13已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若PF1F2的内切圆的半径为，则=考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；压轴题分析： 根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|
18、=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案解答： 解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，SPF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|F1F2|yP=yP所以yp=则=（1xp，yP）（1xP，yP）=xp21+yp2=4（1）1+yp2=3=故答案为：点评： 本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题14若双曲线
19、=1的渐近线与方程为（x2）2+y2=3的圆相切，则此双曲线的离心率为 2考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题分析： 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求解答： 解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆相切圆心到渐近线的距离为=，求得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，e=2故答案为2点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等考查了学生数形结合的思想的运用15如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直
20、线A1M与DN所成的角的大小是90考点： 异面直线及其所成的角专题： 计算题分析： 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角解答： 解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（2，1，2）=0，所以，即A1MDN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90，故答案为：90点评： 本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错16过抛物线y2=2p
21、x（p0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若=，=48，则抛物线的方程为 y2=4x考点： 抛物线的标准方程专题： 计算题；综合题；压轴题分析： 设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|=|AB|，求得ABC，进而根据=48，求得p，则抛物线方程可得解答： 解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，ABC=30，|=2p，=4p2pcos30=48，解得p=2，抛物线的方程为
22、y2=4x故答案为y2=4x点评： 本题主要考查了抛物线的标准方程考查抛物线的基础知识17如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题专题： 压轴题；规律型；转化思想分析： 易知BC1平面AD1C，所以BC1上任意一
23、点到平面AD1C的距离相等，底不变，所以体积不变通过举例说明，如直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等P在直线BC1上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD1，即二面角PAD1C的大小不受影响空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与 线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以必过D1点解答： 解：BC1平面AD1，BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确当P在直线BC1上
24、运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角PAD1C的大小不受影响，所以正确空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与 线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以正确故答案为：点评： 本题主要考查三棱锥体积的转化，线面角，二面角以及点的轨迹问题，考查全面，灵活，是一道好题三计算题（本题共5小题，满分72分）18已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）（）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F1、F2，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方
25、程考点： 圆锥曲线的综合；椭圆的应用专题： 计算题分析： （）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b最后写出椭圆标准方程（）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可解答： 解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（ab0），其半焦距c=6，b2=a2c2=9所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P（2，5）、F1（0，6）、F2（0，6）设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，b12=c12a12=3620=16所以所求双曲线的标准方程为点评
26、： 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力属于中档题19如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=2，CBA=30，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF=3（1）求证：BC平面ACFE；（2）设点M为EF中点，求二面角BAMC的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （1）由已知得BCAC，由此能证明BC平面ACEF（II）过C作CHAM，交AN于点H，连BH，从而CHB为二面角BAMC的平面角，由此能求出二面角BAMC的余弦值解答： （本小题满分14分）（1）证明：A
27、D=DC=CB=2，ABC=60，则AB=4，AC2=12，则得AB2=AC2+BC2，BCAC，面ACEF平面ABCD，面ACEF平面ABCD=AC，BC平面ACEF（7分）（II）解：过C作CHAM，交AN于点H，连BH，BC平面ACFE，BCAM，而AMCH，AM平面BCD，BHAM，则CHB为二面角BAMC的平面角，在RtBHC中，CH=3，HB=，cosCHB=，则二面角BAMC的余弦值为（14分）点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与C：（x2）2+（y3）2=1，相交
28、于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：是定值；（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值考点： 直线与圆相交的性质专题： 计算题分析： （1）用点斜式写出直线l的方程，由圆心到直线的距离小于圆的半径列出不等式，解出实数k的取值范围（2）由弦长公式可得 AT2 =7，又 AT2 =AMAN， 与 共线且方向相同，化简（3）设出M，N两点的坐标，把直线l的方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，把根与系数的关系代入=12 的式子进行化简，解方程求出k的值解答： 解：（1）直线l过点（0，1）且方向向量，直线l的方程为y=kx+1（2分）由，得 （4分）（2）设C的一条切线为AT，T为切
29、点，则由弦长公式可得 AT2 =7，为定值（8分）（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx+1代入方程 （x2）2+（y3）2=1 得（1+k2）x24（1+k）x+7=0，（10分），解得k=1，又当k=1时，0，k=1（13分）点评： 本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，一元二次方程根与系数的关系21如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行
30、的判定；直线与平面所成的角专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （1）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AFBG，从而证明AF平面BCE（2）通过证明AFCD，DEAF，从而证明AF平面CDE，再利用BGAF证明BG平面CDE，进而证明平面BCE平面CDE（3）在平面CDE内，过F作FHCE于H，由平面BCE平面CDE，得 FH平面BCE，故FBH为BF和平面BCE所成的角，解RtFHB求出FBH的正弦值解答： （1）证明：取CE的中点G，连FG、BGF为CD的中点，GFDE且AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB又，GF=AB四边形GFA
31、B为平行四边形，则AFBGAF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE（2）证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCDDE平面ACD，AF平面ACD，DEAF又CDDE=D，故AF平面CDEBGAF，BG平面CDEBG平面BCE，平面BCE平面CDE（3）解：在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH平面BCE平面CDE，FH平面BCEFBH为BF和平面BCE所成的角设AD=DE=2AB=2a，则，RtFHB中，直线BF和平面BCE所成角的正弦值为点评： 本题考查证明线面平行的方法，2个平面垂直的方法，求直线与平面成的角的方法，属于中档题22已知点F1，F2为椭圆的两个焦点，点O为坐
32、标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；（2）若，求直线l的方程；（3）若，求三角形OAB面积的取值范围考点： 向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题专题： 综合题分析： （1）先利用条件求出圆O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用 以及（1）的结论求出b和k进而求得直线l的方程；（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦AB的长，再把AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出AOB面积的取值范围即可解答： 解：c=1且直线与圆O相切b0，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则过AB的直线表达式为：y=kx+b则由，消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b22=0又则由，k2=1，b2=2.，直线l的方程为：y=x+（3）由（2）知：，由弦长公式得解得点评： 本题主要考查了向量在几何中的应用，是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题
