1、1.3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数内容标准学科素养1.了解导数与函数单调性的关系2.掌握利用导数判断函数单调性的方法3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.利用数学抽象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第61页基础认识知识点一函数的单调性与其导数正负的关系函数的单调性是怎么定义的？判断单调性的方法有哪些？提示：如果函数f(x)在定义域内的某区间D上是增函数或减函数，那么就说该函数在区间D上具有单调性判断单调性的方法有定义法和图象法观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系提示：对于(1)yx在R上是增函数，而y10；对于(2)yx2
2、在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，而y2x，当x0时，y0时y0；对于(3)yx3在R上是增函数，而y3x20(x0)；对于(4)y在(，0)和(0，)上是减函数，而y0单调递增f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.知识点二函数的变化快慢与导数的关系通过函数图象，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢结合图象，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？观察下图，函数f(x)在(0，a)和(a，)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”
3、，在(a，)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，)内导数的大小有什么关系？提示：根据导数的几何意义，知f(x)在(0，a)内的导数绝对值大于f(x)在(a，)内的导数的绝对值 知识梳理函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些自我检测1.函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()Af(x)在(3,1)上单调递增Bf(x)在(1,3)上单调递减Cf(x)在(2,4)上单调递减Df(x)在(3，)上单调递增答案：C2
4、函数f(x)sin xx在R上是_(填“增函数”或“减函数”)答案：减函数授课提示：对应学生用书第62页探究一函数与导函数图象间的关系阅读教材P91例1已知导函数f(x)的下列信息：当1x0；当x4，或x1时，f(x)0得出f(x)在该区间上是增函数由f(x)0得出f(x)在该区间上是减函数，f(x)0时为临界点由函数在某区间上的增减性作出f(x)的图象例1(1)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()(2)已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()解析(1)由函数的图象可知：当x0时，函数先增后减再增
5、，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合答案(1)D(2)D方法技巧研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪探究1.函数yf(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()解析：因为函数f(x)在(0，)
6、和(，0)上都是单调递减的，即f(x)0；当x(，2)(1,1)(3,4)时，f(x)0得出f(x)的增区间，解不等式f(x)1，即f(x)ex10.故函数f(x)在(0，)内为增函数，当x(，0)时，ex1，即f(x)ex10，解得x1或x.因此f(x)的单调递增区间是，(1，)令f(x)0，解得x0，即20，解得x，又x0，x；令f(x)0，即20，解得x或0x0，0x0(或f(x)0得x3f(x)的单调增区间是(，1)，(3，)答案：(，1)，(3，)4证明：函数f(x)在区间上单调递减证明：f(x)，又x，则cos x0，xcos xsin x0，f(x)0时，令3x2a0，得x.当x
7、或x0；当x时，f(x)0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数方法技巧讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准延伸探究(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围解析：(1)由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是单调增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0.即实数a的取值范围为(，0(2)本例中f(x)不变，若
8、f(x)在区间(1，)内为增函数，求a的取值范围解析：(2)因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)恒成立，即3x2a0在(1，)恒成立，所以a3x2在(1，)恒成立，即a的取值范围为(，3(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解析：由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在x(1,1)恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3.即a的取值范围是3，)(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的取值范围解析：由例题可知，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.(5)本例中f(x
9、)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解析：f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由f(x)0，得x(a0)，f(x)在区间(1,1)上不单调，01，即0a0(或f(x)0时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.答案：(1)1，)(2)见解析授课提示：对应学生用书第64页课后小结(1)导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：确定函数f(x)的定义域；求导数f(x)；在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0和f(x)0，f(x)，由f(x)0得x1，由f(x)0得0x0在R上恒成立，或f(x)0，所以只能有f(x)0恒成立因此412m0，故m.当m时，使f(x)0的点只有一个x，也符合题意故实数m的取值范围是.
