1、数 学 倡 导 研 究 性 学 习 方 式，着 力 于 教 材 研 究、习 题 研究 是 提 高 学 习 能 力 和 创 新 能 力 的 有 效 途 径 下面 是 一 案 例，请 同 学 们 认 真 阅 读、研 究，完 成 后面 的 问 题（）问 题 发 现：如 图，为 等 边 三 角 形，点 为 边 上一 动 点（点 不 与、重 合），以 为 边 作 等边（顶 点、按 逆 时 针 方 向 排 列），连接，则 的 度 数 是 ；线 段、之 间 的 数 量 关 系 是 （）拓 展 探 究：如 图，为 等 腰 直 角 三 角 形，点 为 边 上 一 动 点（点 不 与、重合），以 为 边 作，且
2、使 ，连 接，请 写 出 的 度 数 及 线 段、之 间 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由；（）解 决 问 题：如 图，在 四 边 形 中，请 求 出 线 段 的长 度 第 题 图解：（）；【解 法 提 示】和 均 为 等 边 三 角形，即 ，（），；由 得：，；（）；槡 ；理 由 如 下：和 都 是 等 腰 直 角 三 角形，即 ，（），又 槡，槡 ；第 题 解 图（）如 解 图，过 点 作 的 垂线 交 的 延 长 线 于 点，槡 ，槡，又 ，又 ，在 和 中，（），槡 ，槡 槡 槡 槡槡 在 矩 形 中，点 是 边上 一 点，且 ，点 为 上 一 点，连 接，过 点 作 交 矩 形
3、 的 边 于 点，连接（）如 图，若 点 与 点 重 合，试 猜 想 线 段、之 间 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由；（）如 图，若 交 于 点，求 证：；（）如 图，若 交 于 点，且 ，求 的 值 第 题 图（）解：理 由 如 下：四 边 形 是 矩 形，（），；（）证 明：四 边 形 是 矩 形，；第 题 解 图（）解：如 解 图，过 点 作 于 点，则 ，由（）得 ，同（）可 证，解 得 （负 值 舍 去），在 中，槡槡，槡，即 槡 已 知 点 是 内 任 意 一 点，连 接 并 延长 到 点，使 得 ，以，为 邻 边 作，连 接，与 交 于 点，连 接（）问 题 发 现如 图
4、，若 为 等 边 三 角 形，线 段 与 的 位 置 关 系 是 ，数 量 关 系 为 ；（）拓 展 探 究如 图，若 为 等 腰 直 角 三 角 形（为 斜边），（）中 的 两 个 结 论 是 否 成 立？若 成 立，请给 予 证 明；若 不 成 立，请 写 出 正 确 结 论 再 给 予证 明；（）解 决 问 题如 图，若 是 等 腰 三 角 形，请 你 直 接 写 出 线 段 的 长 第 题 图解：（），槡；第 题 解 图【解 法 提 示】如 解 图，连接，四 边 形 是 平 行 四 边 形，又 是 等 边 三 角 形，在 中，槡 槡，又 ，是 的 中 位 线，槡，槡 ，槡；（）成 立，
5、槡 不 成 立，正 确 结 论为 ；第 题 解 图 证 明：如 解 图，连 接，四 边 形 是 平 行 四 边 形，又 是 等 腰 直 角 三 角 形，又 ，是 的 中 位 线，；（）槡【解 法 提 示】如 解 图，连 接，第 题 解 图 四 边 形 是 平 行 四 边 形，是 等 腰 三 角 形，在 中，槡 （）槡 槡，是 的 中 位 线，槡 问 题 情 境如 图，四 边 形 是 边 长 为 的 正 方 形，是 腰 长 为 的 等 腰 直 角 三 角 形，当 点在 线 段 上 时，连 接、独 立 思 考（）求 证：；操 作 探 究（）如 图，将 从 图 的 位 置 开 始 绕 点 逆 时 针
6、 旋 转（其 他 条 件 不 变），使 点 恰 好 落 在线 段 上）请 直 接 写 出、与 之 间 的 等 量 关系 式；）求 线 段 的 长；拓 展 延 伸（）如 图，将 图 中 的 继 续 绕 点 逆时 针 旋 转 到 的 位 置，试 判 断 的形 状，并 说 明 理 由 第 题 图（）证 明：四 边 形 是 正 方 形，是 等 腰 直 角 三 角 形，（），；（）解：）；【解 法 提 示】四 边 形 是 正 方 形，是 等 腰 直 角 三 角 形，即 ，（），即 ；）在 中，由 勾 股 定 理 得 ，在 中，由 勾 股 定 理 得 槡 槡槡 ，槡 ，设 ，在 中，由 勾 股 定 理 得
7、 ，即（槡 ），解 得 槡槡 或 槡槡 （不 合 题 意，舍去），线 段 的 长 为（槡槡）；（）解：是 等 腰 三 角 形 理 由：如 解 图，延 长 交 于 点，第 题 解 图 四 边 形 是 正 方 形，是 等 腰 直 角 三 角 形，是 中 边 的 垂 直 平 分 线，是 等 腰 三 角 形 已 知，在 中，点为 直 线 上 一 动 点（点 不 与、重 合），以 为 边 在 的 上 方 作 正 方 形，连 接（）观 察 猜 想：如 图，当 点 在 线 段 上 时，与 的 位 置 关 系 为：；、之 间 的 数 量 关 系 为：；（）数 学 思 考：如 图，当 点 在 线 段 的 延长
8、线 上 时，（）中 关 系 是 否 仍 然 成 立？若 成立，给 出 证 明 过 程；若 不 成 立，请 直 接 写 出 正 确结 论；（）拓 展 延 伸：如 图，当 点 在 线 段 的 延长 线 上 时，延 长 交 于 点，连 接，若 已知 槡 ，请 求 出 的 长 第 题 图解：（）；【解 法 提 示】，四 边 形 是 正 方 形，在 和 中，（），即 ，；由 得，；（）成 立 证 明：，四 边 形 是 正 方 形，在 和 中，（），；不 成 立；正 确 结 论：；【解 法 提 示】由 得，；（）由 题 意 得 ，即 ，在 和 中，（），在 中，槡 ，在 中，槡 槡槡 ，在 中，槡 槡槡
9、如 图，四 边 形 是 菱 形，点 是 直 线 上 一 动 点，点 在 直 线 上，且 ，连 接（）如 图，当 点 在 线 段 上 时，求 证：；（）如 图，当 点 在 线 段 的 延 长 线 上 时，请 判 断 线 段、的 数 量 关 系，写 出 结 论并 证 明；（）如 图，当 点 在 线 段 的 反 向 延 长 线 上时，槡，槡 ，直 接 写 出 的 长 第 题 图（）证 明：四 边 形 是 菱 形，又 是 公 共 边，（），；（）解：槡；第 题 解 图 证 明：如 解 图，过 点 作 于 点，槡，槡；第 题 解 图（）解：槡【解 法 提 示】如 解 图，过 点 作 于 点，延 长 交
10、于 点，过 点 作 于 点，在 中，槡 ，槡，槡，槡槡，槡，槡，槡 ，在 中，由 勾 股 定 理 得 槡 （槡）槡槡 如 图，抛 物 线 经 过（，）、（，）、（，）三 点（）求 抛 物 线 的 解 析 式 及 的 值；（）在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点，使 是 以 为 底 边 的 等 腰 三 角 形？若 存 在，请 求 出 点的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由；（）在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点，当 轴 于点 时，以、为 顶 点 的 三 角 形 与 相似？若 存 在，求 出 点 的 坐 标；若 不 存 在，请 说明 理 由 第 题 图解：（）把（，）、（，）代 入
11、 中，得 ，解 得 ，抛 物 线 的 解 析 式 为 ，把 代 入 中，得 （）（）；第 题 解 图（）存 在 如 解 图，过 点作 于 点，与 抛 物 线 交 于 点、，连 接，和 （，）、（，），于 点，直 线 是 线 段 的 垂 直 平 分 线，即 点、是 使 为 以 为 底 边 的 等 腰三 角 形，设 直 线 的 解 析 式 为 （），把（，）代 入，得 ，解 得 ，直 线 的 解 析 式 为 ，联 立 得 ，解 得 槡 槡 ，槡 槡 ，点 的 坐 标 为（槡，槡 ）、（槡，槡 ）；（）存 在 如 解 图，设（，），则 ，第 题 解 图 槡槡 ，（）槡槡 ，（）槡槡 ，是 直 角 三
12、 角 形，且 ，当 时，即 槡 槡，解 得 ，（舍 去），此 时，点 坐 标 为（，），（，）；当 时，即 槡 槡，解 得 ，（舍 去），此 时，点 坐 标 为（，），（，）综 上 所 述，存 在 满 足 条 件 的 点，分 别 为（，），（，），（，），（，）如 图，已 知 抛 物 线 （）与 坐标 轴 交 于、三 点（点 在 点 左 侧），（，），（）求 抛 物 线 的 解 析 式；（）若 点 是 抛 物 线 上 一 动 点，且 在 直 线 下方，求 面 积 的 最 大 值；（）若 点 在 轴 上，点 在 抛 物 线 上，是 否 存在 以、为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形
13、？若 存 在，求 出 点 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明理 由 第 题 图解：（）（，），（，），抛 物 线 （）过（，）、（，）两 点，解 得 ，抛 物 线 的 解 析 式 为 ；（）如 解 图，过 点 作 轴 分 别 交 线 段 和 轴 于 点、，在 中，令 ，得 ，解 得 ，（，）设 直 线 的 解 析 式 为 （），将 点（，）、（，）的 坐 标 分 别 代 入，得 ，解 得 ，直 线 的 解 析 式 为 ，设 点（，），则点（，），（）（），当 时，取 最 大 值 为，此 时 （），面 积 的 最 大 值 为；第 题 解 图（）如 解 图，（）为 平 行 四 边 形 的 边：当 点 在 轴 下 方 时，过 点 作 轴 交抛 物 线 于 点，过 点 作 交 轴 于点，此 时 四 边 形 为 平 行 四 边 形，（，），设（，），解 得 （舍 去），（，）；当 点 在 轴 上 方 时，平 移 直 线 交 轴 于点，交 轴 上 方 的 抛 物 线 于 点，当 时，四 边 形 为 平 行 四 边 形，点 的 纵 坐 标 为，设（，），解 得 槡 或 槡 ，（槡 ，）和（槡 ，）；（）为 平 行 四 边 形 的 对 角 线，易 得 此 时 点与 点 重 合 综 上 所 述，存 在 个 符 合 题 意 的 点，其 坐 标 分别 是（，），（槡 ，），（槡 ，）
