1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题分层训练(五)导数及其应用A级基础巩固一、选择题1函数f(x)3x2lnx2x的极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个解析由题意，知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)6x2.由于x0，g(x)6x22x1的判别式200恒成立，故f(x)0恒成立即f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案A2设曲线y在点(，1)处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2解析y，y|x1，由条件知1，a1.答案A3(2015郑州市质量预测)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)
2、是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析由图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由图可知f(3)1，所以g(3)13()0.答案B4(2014湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1C2 D3解析对于，sinxcosxdxsinxdx0，所以是一组正交函数；对于
3、， (x1)(x1)dx0，所以不是一组正交函数；对于，x3dx0，所以是一组正交函数答案C5已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于()A1 B2C0 D.解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.答案B6(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0
4、,1)(1，)解析由f(x)为奇函数，f(1)0，可设F(x)，则F(x)为偶函数，且F(1)0，当x0时，F(x)0，f(x)0时，即F(x)0时有x(0,1)；当x0时，即F(x)0时有x(，1)，故选A.答案A二、填空题7(2015天津卷)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析曲线yx2与yx的交点为(0,0)，(1,1)，则两图形围成的封闭图形的面积为(xx2)dx(x2x3)|.答案8若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_解析f(x)x3x2ax4，f(x)x23xa.又函数f(x)恰在1,4上单调递减，1,4是f(x)0的两根，a144.答案
5、49设函数f(x)lnxax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a0.综合得a的取值范围是(1，)答案(1，)三、解答题10已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x
6、(，0)00，1f(x)00f(x)极小值极大值所以当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，此时f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.所以当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2(x)；(3)设实数k使得f(x)k(x)对x(0,1)恒成立，求k的最大值解(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)令g(x)f(x)2(x)，则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0xg(0)0.x(0,1
7、)即当x(0,1)时，f(x)2(x).(3)由(2)知，当k2时，f(x)k(x)对x(0,1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k(x)，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间(0, )上单调递减，当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k(x)并非对x(0,1)恒成立综上可知，k的最大值为2.B级能力提升1(2015山西质监)已知函数f(x)x(ex)，若f(x1)x2 Bx1x20Cx1x2 Dxx解析因为f(x)x(ex)x(ex)f(x)，所以f(x)为偶函数由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)(*)又f(x
8、)exx(ex)，当x0时，e2x(x1)x1e0(01)010，所以f(x)0，所以f(x)在0，)上为增函数，由(*)式得|x1|x2|，即x0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(xa)2lnx2(1)，所以g(x)2.当0a0，(e)2()20.故存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0，u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增所以0a01.即a0(0,1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，故当x(1，x0)时，f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0.所以，当x(1，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解- 9 - 版权所有高考资源网
