1、专题限时集训(七)函数的概念、图象与性质基本初等函数、函数与方程导数的简单应用1(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1D由题意知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，x0，则f(x)ex1f(x)，得f(x)ex1.故选D2(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)D由x22x80，得x4或x0，所以2a11无解；若a1，则log2(a1)3，解得a18，a7，所以f(6a)f(1)2112.综上所述，f(6a).故选
2、A7(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1 BC DCf(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x，f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立，令cos xt，t1,1，则t2at0在1,1上恒成立，即4t23at50在1,1上恒成立，令g(t)4t23at5，则解得a，故选C8(2019全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()C因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34)又因为log341220，且函数f(x)在(0，)上
3、单调递减，所以故选C9(2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则xi()A0 Bm C2m D4mBf(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称又y|x22x3|(x1)24|的图象关于直线x1对称，两函数图象的交点关于直线x1对称当m为偶数时，i2m；当m为奇数时，i21m.故选B10(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A B C D1C法一：(换元法)f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令
4、tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C法二：(等价转化法)f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C11(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_y3xy3(2x1)ex3(x2x)exex(3
5、x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.12(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_由题意知，可对不等式分x0,0三段讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当01，显然成立当x时，原不等式为2x2x1，显然成立综上可知，x.1(2020郑州二模)设函数y的定义域为A，函数yln(3x)的定义域为B，则AB()A(，3) B(8，3)C3 D3,3)D由9x20，得3x3，A3,3，由3x0，得x3，B(，3)，AB3,3)故选D2(2020福州一模)函数f(x)3xx35的零点所在的区间为()A(0,1) B C DB依题意，f(x)为增函数，f(
6、1)3150，f(2)322350，f3530，所以f(x)的零点所在的区间为，故选B3(2020洛阳二模)已知a()，b9，c3，则()Aabc BcbaCbac DacbAa()2，b3，ab，log23，bc，故abc，故选A4(2020合肥二模)已知f(x)为奇函数，当xf(2x1)的解集为()A(1,0) B(，1)C D(1,0)D根据题意，函数f(x)e|x1|，设g(x)e|x|，其定义域为x|x1，又由g(x)e|x|g(x)，即函数g(x)为偶函数，当x(0，)时，g(x)ex，有g(x)ex，为增函数，g(x)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，所以函数f(x)关于
7、x1对称，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增由f(x)f(2x1)，可得，解得1x且x0，即x的取值范围为(1,0)，故选D16(2020道里区校级模拟)已知函数f(x)，若函数F(x)f(x)mx有4个零点，则实数m的取值范围是()A BC DB依题意，函数yf(x)的图象与直线ymx有4个交点，当x2,4)时，x20,2)，则f(x2)(x3)21，故此时f(x)(x3)2，取得最大值时对应的点为A；当x4,6)时，x22,4)，则f(x2)(x5)2，故此时f(x)(x5)2，取得最大值时对应的点为B；作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数f(x)有两个交点，且kOA；直线O
8、B与函数f(x)有两个交点，且kOB；又过点(0,0)作函数在2,4)上的切线切于点C，作函数在4,6)上的切线切于点D，则kOC32，kOD.由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为.故选B17(2020福建二模)已知f(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(1x)f(1x)e2x，当x1时，f(x)f(x)恒成立，则下列判断正确的是()Ae5f(2)f(3) Bf(2)e5f(3)Ce5f(2)e5f(3)A令g(x)，因为f(1x)f(1x)e2x，所以，即g(1x)g(1x)，所以g(x)的图象关于直线x1对称，因为当x1时，f(x)f(x)恒成立，则g(x)0，所以g(x)在
9、(1，)上单调递增所以有g(3)g(2)，g(2)g(3)，即，即e5f(3)f(2)，e5f(2)f(3)，故选A18(2020牡丹江模拟)定义在R上的函数f(x)2为偶函数，af，bf，cf(m)，则()Acab BacbCabc Dba0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是()A(0,1 B(1，)C(0,1) D1，)D对任意两个不等的正实数x1，x2都有2恒成立，假设x1x2，f(x1)f(x2)2x12x2，即f(x1)2x1f(x2)2x2对于任意x1x20成立，令h(x)f(x)2x，h(x)在(0，)为增函数，h(x)x20在(0，)上恒成立
10、，x20，则a(2xx2)max1，故选D21(2020海南模拟)已知函数f(x)若关于x的方程(f(x)1)(f(x)m)0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为()A(1,2) B(1,5)C(2,3) D(2,5)A由(f(x)1)(f(x)m)0得f(x)1或f(x)m.当f(x)1时，即x24x11，解得x0，x4，或22x1，解得x0(舍)，若关于x的方程(f(x)1)(f(x)m)0恰有5个不同的实根，则f(x)m有3个根，即函数f(x)图象与ym有3个交点作出图象：由图可知，m(1,2)，故选A22(2020湘潭一模)已知函数f(x)，若函数g(x)f(f(x)恰有8个零点，则a
11、的值不可能为()A8 B9 C10 D12A易知，当a0时，方程f(x)0只有1个实根，从而g(x)f(f(x)不可能有8个零点，则a0，f(x)0的实根为2a,0，a.令f(x)t，则f(f(x)f(t)0，则t2a,0，a数形结合可知，直线ya与f(x)的图象有2个交点，直线y0与f(x)的图象有3个交点，所以由题意可得直线y2a与f(x)的图象有3个交点，则必有2a，又a0，所以a8，故选A23(2020宁波模拟)已知函数f(x)x2a，g(x)x2ex，若对任意的x21,1，存在唯一的x1，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()A(e,4 BC DBf(x)x2a在的值域为
12、a4，a，但f(x)在递减，此时f(x).g(x)2xexx2exx(x2)ex，可得g(x)在1,0递减，(0,1递增，则g(x)在1,1的最小值为g(0)0，最大值为g(1)e，即值域为0，e对任意的x21,1，存在唯一的x1，使得f(x1)g(x2)，可得0，e，可得a40ea，解得ea4.故选B24(2020洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)为偶函数，且函数f(x)与直线yx有一个交点(1，f(1)，则f(1)f(2)f(3)f(2 018)f(2 019)()A2 B0 C1 D1B根据题意，f(x1)为偶函数，函数f(x)的图象关于直线x1对称，则有f(x)f(
13、x2)，又由f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数，又由f(x2)f(x)，则f(1)f(3)，f(2)f(4)0，故f(1)f(2)f(3)f(2 018)f(2 019)f(1)f(2)f(3)f(2)0.故选B25(2020南通模拟)已知函数f(x)ax3ln x，其中a为实数若函数f(x)在区间(1，)上有极小值，无极大值，则a的取值范围是_(0,1)函数f(x)ax3ln x，f(x)a，函数在区间(1，)上有极小值无极大值，f(x)0，即ax23x20在区间(1，)上有1个变号实根，且x1时，f(x)0，x1时，f
14、(x)0，结合二次函数的性质可知，解得，0a1.当a1时，f(x)，因为x1，所以x10，x20，故当x2时，f(x)0，函数单调递增，当1x2时，f(x)0，函数单调递减，故当x2时，函数取得极小值，满足题意，当a0时，f(x)在(1，)单调递减，没有极值26(2020大连模拟)设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是_由题意得，函数f(x)ln(1|x|)的定义域为R，因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(1|x|)为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得f(x)f(2x1)成立，则|x|2x1|，解得x1.27
15、(2020南阳模拟)已知函数f(x)对xR满足f(x2)f(x)2f(1)，且f(x)0，若yf(x1)的图象关于x1对称，f(0)1，则f(2 019)f(2 020)_.3因为yf(x1)的图象关于x1对称，所以yf(x)的图象关于x0对称，即yf(x)是偶函数，对于f(x2)f(x)2f(1)，令x1，可得f(1)f(1)2f(1)，又f(x)0，所以f(1)2，则f(1)f(1)2.所以函数f(x)对xR满足f(x2)f(x)4.所以f(x4)f(x2)4.所以f(x)f(x4)，即f(x)是周期为4的周期函数所以f(2 019)f(45043)f(3)2，f(2 020)f(4505
16、)f(0)1.所以f(2 019)f(2 020)3.28. (2020衡水模拟)若存在a0，使得函数f(x)6a2lnx与g(x)x24axb的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为_设曲线yf(x)与yg(x)的公共点为g(x0，y0)，因为f(x)，g(x)2x4a，所以2x04a，化简得x2ax03a20，解得x0a或3a.又x00，且a0，则x03a.因为f(x0)g(x0)所以x4ax0b6a2ln x0，b3a26a2ln 3a(a0)设h(a)b，所以h(a)12a(1ln 3a)，令h(a)0，得a，所以当0a时，h(a)0；当a时，h(a)0.即h(a)在上
17、单调递增，在上单调递减，所以b的最大值为h.1函数f(x)ln xax在x2处的切线与直线axy10平行，则实数a()A1 B C D1Bf(x)a，kf(2)aa，所以a.故选B2设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(e2)()A3 B2 C1 D1Af(x)是奇函数，f(e2)f(e2)ln e22，g(e2)f(e2)13，故选A3已知alog5 2，blog7 2，c0.5a2，则a，b，c的大小关系为()Abac BabcCcba DcabA1log25log27，1log52log72，又0.5a20.512，则cab，故选A4已知函数f(x)，则函数yf(x)3的零点个数是()
18、A1 B2 C3 D4B函数f(x)，所以图象如图，由图可得：yf(x)与y3只有两个交点；即函数yf(x)3的零点个数是2，故选B5已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)x2ln(x)，则曲线yf(x)在x1处的切线方程为()Axy0 Bxy20Cxy20 D3xy20A根据偶函数的图象关于y轴对称，所以切点关于y轴对称，切线斜率互为相反数f(1)f(1)1，故切点为(1,1)，x0时，f(x)2x，所以f(1)f(1)1.故切线方程为y1x1，即xy0.故选A6设m，n为实数，则“2m2n”是“logmlogn”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B
19、2m2nmn，但mn不能推出logmlogn，因为m，n可以为负数由logmlogn可得mn.故“2m2n”是“logmlogn”的必要不充分条件故选B7下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是()Af(x)xln x Bf(x)exexCf(x)sin 2x Df(x)x3xB对于A，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于B，f(x)f(x)，且f(x)exex0，即f(x)是奇函数在(0,1)上是增函数；对于C，f(x)f(x)奇函数，正弦函数sin 2x周期为，易知在(0,1)上先增后减；对于D，f(x)f(x) 奇函数，易知f(x)在(0,1)上先减后增，故选B8已知函数
20、f(x)，那么()A f(x)有极小值，也有大极值B f(x)有极小值，没有极大值C f(x)有极大值，没有极小值D f(x)没有极值Cf(x)的定义域为R，f(x)，当x3时，f(x)0，当x3时，f(x)0，所以f(x)在(，3)单调递增，在(3，)单调递减，所以f(x)有极大值f(3)，没有极小值，故选C9已知a为正实数，若函数f(x)x33ax22a2的极小值为0，则a的值为()A B1 C D2A由已知f(x)3x26ax3x(x2a)，又a0，所以由f(x)0得x0或x2a，由f(x)0得0x2a，所以f(x)在x2a处取得极小值0，即f(x)极小值f(2a)(2a)33a(2a)
21、22a24a32a20，又a0，解得a，故选A10已知f(x)x3x26x1在(1,1)单调递减，则m的取值范围为()A3,3 B(3,3) C5,5 D(5,5)Cf(x)x3x26x1在(1,1)单调递减，当x(1,1)时，f(x)x2mx60恒成立， ，即，解得5m5，m的取值范围为5,5，故选C11已知函数f(x)|ln x|，若0ab，且f(a)f(b)，则2ab的取值范围是()A3，) B(3，)C2，) D(2，)C0ab且f(a)f(b)，结合f(x)|ln x|的图象易知0a1b且ln aln b，ln(ab)0，则ab1.2ab22，当且仅当2ab0，即a，b时取等号2ab
22、的取值范围是2，)故选C12已知定义在R上的函数f(x)在1，)上单调递减，且f(x1)为偶函数，若f(2)1，则满足f(x1)1的x的取值范围是()A1,3 B1,3C0,4 D2,2B由f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)在1，)上单调递减，所以可得函数f(x)在(，1)单调递增，因为f(0)f(2)1，所以0x12，解得1x3，故选B13偶函数f(x)关于点(1,0)对称，当1x0时，f(x)x21，则f(2 020)()A2 B0 C1 D1Df(x)为偶函数，f(x)关于直线x0对称，又f(x)关于点(1,0)对称，
23、f(x)的周期为4|10|4，f(2 020)f(2 0204505)f(0)，又当1x0时，f(x)x21，f(2 020)f(0)1.故选D14定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x)，且当x0时，xf(x)2f(x)0，则()A B9f(3)f(1)C DD令g(x)x2f(x)，当x0时，xf(x)2f(x)0，则g(x)2xf(x)x2f(x)x2f(x)f(x)0，即g(x)在(0，)上单调递减，因为f(x)f(x)，所以g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即g(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(，0)上单调递增，g(e)g(3)，所以，故选D15设函
24、数f(x)则下列结论错误的是()A函数f(x)的值域为RB函数f(|x|)为偶函数C函数f(x)为奇函数D函数f(x)是定义域上的单调函数A根据题意，依次分析选项：对于A，函数f(x)，当x0时，f(x)2x12，当x0时，f(x)2x1(2x1)2，其值域不是R，A错误；对于B，函数f(|x|)，其定义域为x|x0，有f(|x|)f(|x|)，函数f(|x|)为偶函数，B正确；对于C，函数f(x)，当x0时，x0，有f(x)2x1，f(x)f(x)2x1，反之当x0时，x0，有f(x)2x1，f(x)f(x)2x1，综合可得：f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数，C正确；对于D，函数f
25、(x)，当x0时，f(x)2x12，f(x)在(0，)为增函数，当x0时，f(x)2x12，f(x)在(，0)上为增函数，故f(x)是定义域上的单调函数；故选A16为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱贫的户数占当年贫困户总数的比)为70%,2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比(参加户数占2019年贫困总户数的比)及该项目的脱贫率见表：实施项目种植业养殖业工厂就业参加占户比45%45%10%脱贫率96%96%90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫
26、”政策前的年均脱贫率的()A倍 B倍 C倍 D倍B2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍故选B17定义在R上的偶函数f(x)，对x1，x2(，0)，且x1x2，有0成立，已知af(ln )，bf(e)，cf，则a，b，c的大小关系为()Abac BbcaCcba DcabA定义在R上的偶函数f(x)，对x1，x2(，0)，且x1x2，有0成立，可得f(x)在x(，0)单调递增，所以f(x)在(0，)单调递减；因为1ln 2,0e1，所以af(ln )bf(e)，因为3log2log2log22，cff(2,3)，所以ca，故选A18设aln 3，则blg 3，则()Aab
27、abab BabababCababab DabababA因为(ab)(ab)2b2lg 30，所以abab，abln 3lg 30，log31，所以abab，所以ababab，故选A19(2020石嘴山二模)已知函数f(x)，函数F(x)f(x)b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1x2x3x4，则 的值是()A4 B3 C2 D1 A作出f(x)的函数图象如图所示：由图象知x1x24，x3x41，4.故的值是4.故选A20(2020沙坪坝区校级模拟)已知定义域为R的函数f(x)，对任意xR有f(x)f(x)(f(x)是函数f(x)的导函数)，若yf(x)1为奇函数，则满足不等
28、式f(x)ex的x的取值范围是()A(，0) B(，1)C(0，) D(1，)C令g(x)，又f(x)f(x)，则g(x)0，函数g(x)在R上单调递增yf(x)1为奇函数，f(0)10，g(0)1.不等式1，即g(x)g(0)的解集为x|x0故选C21衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是()(参考数据：1.0151004.432，lg 111.041)Ay0
29、.04x By1.015x1Cytan Dylog11(3x10)D对于函数：y0.04x，当x100时，y43，不符合题意；对于函数：y1.015x1，当x100时，y3.4323，不符合题意；对于函数：ytan，不满足递增，不符合题意；对于函数：ylog11(3x10)，满足x(6,100，增函数，且ylog11(310010)log11290log1113313，结合图象，yx与ylog11(3x10)的图象如图所示，符合题意，故选D22设函数f(x)则使得f(x1)f(2x1)成立的x的取值范围是()A(0,2) B(2，)C(，0) D(2，)A当x0时，f(x)x2exf(x)，同
30、理当x0，f(x)(x)2exf(x)，所以函数f(x)为偶函数又当x0时，f(x)x(x2)ex0，所以f(x)在0，)上单调递增所以要使f(x1)f(2x1)，则需|x1|2x1|，两边平方并化简得x22x0，解得0x2.故选A23已知函数f(x)若|f(x)|axa0恒成立，则实数a的取值范围是()A B0,1C0,2 D1，)C函数f(x)若|f(x)|axa0恒成立，即|f(x)|axa恒成立，在坐标系中画出函数y|f(x)|的图象如图，而yaxa表示恒过(1,0)的直线系，由图象可知，要使|f(x)|axa0恒成立，只需yx21在x1时，函数的图象在yaxa的上方，所以yx21的导
31、数为：y2x，在x1处的切线的斜率为2，所以a2，并且a0.所以a0,2故选C24已知函数f(x)e1x2，则使f(2x)f(x1)成立的x的取值范围是()A(1，)B(1，)C(，1)DAf(x)e1(x)2e1x2f(x)，函数f(x)为偶函数，又当x0时，ye1x2与y均为增函数，当x0时，f(x)e1x2为增函数，f(2x)f(x1)等价于|2x|x1|，解得：x或x1，即x的取值范围为(1，)，故选A25已知函数f(x)exexln(e|x|1)，则()Af()f()fBf()f()fCff()f()Df()ff()B因为f(x)exexln(e|x|1)，则f(x)exexln(e
32、|x|1)f(x)，当x0时，f(x)exexln(ex1)，则f(x)ex0在x0时恒成立，故f(x)在(0，)上单调递增，因为f()f()，f()f()，ff(log54)，且1log540，所以f()f()f(log54)故选B26已知函数f(x)e|x|lg图象关于原点对称则实数的a的值为_2依题意有f(x)f(x)0, 又f(x)e|x|lg， 所以f(x)f(x)e|x|lg14x2a2x20，故a24，a2.27现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_a3由题意，容积V(x)(a2x)2x,0x，则V(x)
33、2(a2x)(2x)(a2x)2(a2x)(a6x)，由V(x)0，得x或x(舍去)，当x时，V(x)0，V(x)单调递增，当x时，V(x)0，V(x)单调递减，则x为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmaxa3.28一题两空已知函数f(x)ax(b0)的图象在点P(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，则a与b的关系为a_(用b表示)，若函数f(x)在区间上是单调递增，则b的最大值等于_b2f(x)ax(b0)，f(x)a，f(1)ab ，函数f(x)ax(b0)的图象在点P(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，ab2，即ab2.若函数f(x)在区间上单调递增，则f(x
34、)a0恒成立，即b2恒成立，整理得：(x2)min，解得0b，bmax.29函数f(x)xsin x在上的最小值和最大值分别是_，1由题意得，f(x)cos x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf，而f(0)0，f1，故f(x)在区间上的最小值和最大值分别是，1.30定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)2ex(e为自然对数的底数)，其中f(x)为f(x)的导函数，若f(2)4e2，则xex的解集为_(，2)f(x)f(x)2ex，构造函数g(x)2x，则g(x)220，g(x)0，g(x)在R上为减函数xex2xg(x)0，又f(2)4e2，g(2)440，g(x)g(2)，x2，xex的解集为(，2)
