1、课时跟踪检测（二十四）解三角形的综合应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 B，C 两点之间的距离为_ km.解析：根据题意，可知ACB45，根据正弦定理，可知2sin 45 BCsin 75，从而有BC2 6 2422 31.答案：312已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地间的距离为_ km.解析：如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10 7(km)答案：10 73(2016常州调研)在直角梯
2、形 ABCD 中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则 cosDAC_.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设 CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(2a)2(5a)22 2a 5acosDAC，cosDAC3 1010.答案：3 10104江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，在MON 中，由余弦定理得，MN90030023010 3 32
3、30010 3(m)答案：10 35.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知 AB2415606，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知BSsin 30ABsin 45，BSABsin 30sin 453 2(km)答案：3 2二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30
4、分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是_海里解析：如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)答案：10 22.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为_ km/h.解析：设 AB 与河岸线所成的角
5、为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v 21102 2122 1102145，解得v6 2.答案：6 23如图，在山腰测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 米至 S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_米解析：由题图知BAS453015，ABS451530，ASB135，在ABS 中，由正弦定理可得 1 000sin 30ABsin 135，AB1 000 2，BCAB21 000.答案：1 0004.(2016南京四校联考)如图，为了测量两座山峰上两点 P，Q 之间的距离，选择山
6、坡上一段长度为 300 3米且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则 P，Q 两点间的距离为_米解析：设 AQPBC，由图可知，QABPABPAQ30，又PBAPBQ60，AQB30，ABQ 为等腰三角形，ACCQ，BCAQ.PQA 为等腰三角形PAQ60，PQA 为等边三角形，故 PQAQ，在 RtACB 中，ACABsin 60300 3 32 450，PQAQ900.故 P，Q 两点间的距离为 900 米答案：9005.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 20 海里的 B 处
7、，海轮按北偏西 60的方向航行了 30分钟后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得 ACsin BABsinACB，所以 AC ABsin BsinACB20sin 60sin 4510 6，所以海轮航行的速度为10 630 63(海里/分钟)答案：636(2016盐城模拟)在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a 为最大边，如果 sin2(BC)sin2Bsin2C，则角 A 的取值范围为_解析：由题意得 sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得 a20.则 c
8、os Ab2c2a22bc0，0A，0A3.因此得角 A 的取值范围是3，2.答案：3，27.如图，为测得河岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走10 米到位置 D，测得BDC45，则塔 AB 的高是_米解析：在BCD 中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得 BCsin 45 CDsin 30，所以 BCCDsin 45sin 30 10 2.在 RtABC 中，tan 60ABBC，ABBCtan 6010 6(米)答案：10 68.如图，在ABC 中，sinABC
9、2 33，AB2，点 D 在线段 AC 上，且 AD2DC，BD4 33，则 cosC_.解析：由条件得 cosABC13，sinABC2 23.在ABC 中，设 BCa，AC3b，则由余弦定理得 9b2a2443a.因为ADB 与CDB 互补，所以 cosADBcosCDB，所以4b2163 416 33bb2163 a28 33 b，所以 3b2a26，联合解得 a3，b1，所以 AC3，BC3.在ABC 中，cosCBC2AC2AB22BCAC323222233 79.答案：799某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 1
10、0 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.sin 21.83 314解：如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以 212t210281t22109t12，即 360t290t1000，解得 t23或t 512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时 AB
11、14，BC6.在ABC 中，根据正弦定理，得BCsinCABABsin 120，所以 sinCAB6 32143 314，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮10如图所示，摄影爱好者 S 在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为6.设 S 的眼睛到地面的距离为 3米(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为3的镜头
12、，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由解：(1)作 SC 垂直 OB 于 C，则CSB6，ASB3.又 SA 3，故在 RtSAB 中，可求得 BA3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为 3 米由 SC3，CSO6，在 RtSCO 中，可求得 OC 3.因为 BCSA 3，故 OB2 3，即立柱高为 2 3米(2)连结 SM，SN，设 SNa，SMb.由(1)知 SO2 3，在SOM 和SON 中，cosSOMcosSON，即2 321b222 31 2 321a222 31，可得 a2b226.在MSN 中，cosMSNa2b2222ab11ab22a2b211
13、1312，当且仅当 ab 时等号成立，又MSN(0，)，则 0MSN3.故摄影爱好者 S 可以将彩杆全部摄入画面三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取 21.4，31.7)解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC 中，BCsin AABsinACB，BC21 00012sin 1510 500(6
14、 2)CDAD，CDBCsinDBC10 500(6 2)22 10 500(31)7 350.故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502.如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1.已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为_；塔 BB1的高为_m.解析：设从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角为，则 AA160tan，BB160tan 2.从两塔底部连
15、线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA130 30BB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2900，tan 13，tan 234，BB160tan 245.答案：13 453.已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM100 米和 BN200 米，一测量车在小山 M的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离解：在 RtAMP 中，APM30，AM100，PM100 3，连结 QM，在PQM 中，QPM60，又 PQ100 3，PQM 为等边三角形，QM100 3.在 RtAMQ 中，由 AQ2AM2QM2，得 AQ200.在 RtBNQ 中，tan 2，BN200，BQ100 5，cos 55.在BQA 中，BA2BQ2AQ22BQAQcos(100 5)2，BA100 5.即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5米
