1、人大附中20202021学年度第一学期高二年级数学期末练习2021年1月20日说明：本试卷分卷和卷，卷17道题，共100分，作为学分认定成绩；卷7道题，共50分；卷、卷共24题，合计150分，作为期末成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）1设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则2已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（
2、）A复数z在复平面内对应的点落在第二象限 BC的虚部为1 D3如果直线与直线垂直，那么m的值为（ ）A B C D24某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ）A种 B种 C种 D种5已知拋物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）A B C D6已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为（ ）A14 B C240 D7在棱长为1的正四面体中，分别是棱的中点，则（ ）A0 B C D8设椭圆的右顶点为A，右焦点为为椭圆E在第二象限上的点，直线交椭圆E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）A B C D二、填
3、空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分请把结果填在答题纸上的相应位置）9若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是_10若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为_11在边长为2的菱形中，将这个菱形沿对角线折成的二面角，这时线段的长度为_12若直线与圆相交于两点，且（O为坐标原点），则_13用组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有_个14如图，若正三棱柱的底面边长为8，对角线的长为10，点D为的中点，则点到平面的距离为_，直线与直线所成角的余弦值为_三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步
4、骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）15（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知定点,的外接圆为圆M，直线的方程为（）求圆M的方程；（）若直线与圆M相切，求k的值；（）若直线与圆M相交于两点，求k的值16（本题满分10分）如图，在四棱锥中，平面平面分别为线段的中点四边形是边长为1的正方形，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）点N在直线上，若平面平面，求线段的长17.（本题满分10分）已知椭圆过点，且离心率为.（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于两点，若直线上存在点P，使得四边形是平行四边形，求k的值卷（共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18
5、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）18在的展开式中，系数最大的项是（ ）A B C D19设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若，则C的离心率为（ ）A B C2 D20如图，在正方体中，点P在平面内，则点P到距离的最小值为（ ）A B C D3五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分请把结果填在答题纸上的相应位置）21已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线和直线距离之和的最小值是_22已知集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为_23已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上
6、，且满足当b变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对称；存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分）六、解答题（本大题共1小题，满分14分解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）24（本题满分14分）已知椭圆的左顶点为，动直线与椭圆w交于不同的两点（不与点A重合），点A在以为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M（）求椭圆w的方程及离心率；（）求证：直线过定点；（）（i）求面积的最大值；（ii）若为直角三角形，求直线的方程人大附中20202021学年度第一学期高二年级数学期末
7、练习答案一、1D 2C 3A 4A 5B 6C 7D 8D二、9 10 11 122 1336 14（1） （2）三、15（本题满分10分）解：（）法一：设圆的方程为， 1分因为圆M经过点，所以 2分解得，经检验符合题意所以圆M的方程为 3分法二：因为圆M经过点，所以 1分所以圆心为，半径为 2分所以圆M的方程为 3分（）因为直线与圆M相切，所以圆心到直线的距离为1 4分所以， 5分解得 6分（）设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆M相交于两点，所以 7分所以所以 8分所以解得或 10分16（本题满分10分）解：（）取中点F，连接，因为M为线段的中点， 1分所以，因为四边形是正方形，O为线段的
8、中点，所以，所以所以四边形为平行四边形所以， 2分因为平面，平面，所以平面 3分（）因为为线段的中点，所以因为平面平面因为平面平面平面所以平面因为平面所以又因为所以三线两两垂直 4分以O为原点，以为x轴，以为y轴，以为z轴建立直角坐标系，如图则 5分设平面的一个法向量为因为因为，所以令得所以 6分因为设与平面所成角为所以所以直线与平面所成角的正弦值为 7分（）设因为，设平面的一个法向量为因为，所以令得所以 8分因为平面平面，所以 9分所以所以线段 10分17解：（）由题意得，所以 1，因为，所以， 2，所以椭圆C的方程为 3，（）因为四边形是平行四边形，则，且所以直线的方程为，所以 4，设由得
9、， 5，由，得且 6，所以 7，因为，所以整理得，解得，或 9，经检验均符合，但时直线过点A，不满足四边形是平行四边形，舍去所以，或 10，四、18C 19A 20B五、21 22130 23（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分）六、24解答：（）因为椭圆的左顶点为，所以，所以， 1，所以椭圆w的方程为， 2，因为，所以所以椭圆w的离心率为 3，（）设，当轴时，因为点A在以为直径的圆上，所以，所以所以因为所以解方程得或因为不过，所以舍去，所以，所以直线的方程为 4，当与x轴不垂直时，设的方程为，由得所以 5，因为所以所以所以 6，所以所以所以或当时直线的方程为过，不合题意，舍去当时，直线的方程为综上，直线过定点 7，（）（i）连接，因为O为中点，所以当轴时，由（）知所以 8，当与x轴不垂直时， 9，令所以因为所以 10，综上，当直线时，的面积最大，最大值为（）（ii）因为为直角三角形，设下面分三种情况讨论：当时，则因为所以，所以，所以无解所以不可能为直角 11，当时，当轴时，由椭圆的对称性知此时的方程为 12，当与x轴不垂直时，又所以，此时 13，当时因为的方程为因为，所以又因为，所以所以直线的方程为由得因在椭圆上，所以解得，所以直线的方程为综上，直线的方程为或 14
