1、高二数学期末复习（立体几何）一、基础训练1.在三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且ABBCCA2，则三棱锥SABC的表面积是_2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是_(填序号)若，m，n，则mn若，m，n，则mn若mn，m，n，则若m，mn，n，则3.已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球表面积等于_ 4.如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，
2、下列命题正确的是_(填序号) 平面ABD平面ABC 平面ADC平面BDC平面ABC平面BDC 平面ADC平面ABC5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上 的点，则三棱锥D1EDF的体积为_ 6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.二、典型例题例1如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M
3、，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由例2如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)若AC1平面A1BD，求证：B1C1平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB1，求三棱锥BA1C1D的体积例3如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.例4如图，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1
4、)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由课后作业一、填空题1.在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_ 2.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_3.(2012江苏)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.4.若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_5.已知，是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中
5、正确的是_(填序号)若，l，则l若l上有两个点到的距离相等，则l若l，l，则若，则答案6.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，m，则m.正确命题是的序号为_ 7.一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为_答案二、解答题8.(2013重庆)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积9.(2012广东)如图所示，在四棱锥PABC
6、D中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.参考答案1. 32. 3. 164. 5. .6. xa或x2a.例1解(1)因为PD平面ABCD，所以PDAD.又因ABCD是矩形，所以ADCD.因PDCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高因为E为PC的中点，且PDDC4，所以SPDESPDC4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M，连结EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中
7、点，所以EMPA.又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.所以AMAC.即在AC边上存在一点M，使得PA平面EDM，AM的长为.例2(1)证明如图所示，连结AB1交A1B于E，连结ED.ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABBB1，侧面ABB1A1是正方形，E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，在AB1C中， ED是中位线，B1CED，B1C平面A1BD.(2)证明AC1平面A1BD，AC1A1B.侧面ABB1A1是正方形，A1BAB1.又AC1AB1A，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)解A
8、BBC，D为AC的中点，BDAC，BD平面DC1A1.BD是三棱锥BA1C1D的高由(2)知B1C1平面ABB1A1，BC平面ABB1A1.BCAB，ABC是等腰直角三角形又ABBC1，BD，ACA1C1.三棱锥BA1C1D的体积VBDSA1C1DA1C1AA11.例3. (1)如图，取CE的中点G，连结FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，
9、DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.例4(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.
10、由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.课后作业1. 2. 563. 64. 5. 6. 7. 8. (1)证明因为BCCD，所以BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)解三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin .由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥F
11、BCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.9. (1)证明因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)解如图，连结BH，取BH的中点G，连结EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH.因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD，所以底面ABCD为直角梯形，所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明取PA中点M，连结MD，ME.因为E是PB的中点，所以M
12、E綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.10. 证明(1)由题意，得ADE是ADE沿DE翻折而成的，ADEADE.ABC120，四边形ABCD是平行四边形，A60.又ADAE2，ADE和ADE都是等边三角形如图，连结AM，MC，M是DE的中点，AMDE，AM.在DMC中，MC2DC2DM22DCDMcos 604212241cos 60，MC.在AMC中，AM2MC2()2()242AC2.AMC是直角三角形，AMMC.又AMDE，MCDEM，AM平面BCD.又AM平面ADE，平面ADE平面BCD.(2)取DC的中点N，连结FN，NB.ACDC4，F，N分别是AC，DC的中点，FNAD.又N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，BNDE.又ADDED，FNNBN，平面ADE平面FNB.FB平面FNB，FB平面ADE.
