1、2002-2003学年度上学期高中学生学科素质训练高三新课程数学测试题直线、平面、简单几何体（8）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知a、b、c、d是空间四条直线，如果，那么（ ）ABa、b、c、d中任意两条可能都不平行CDa、b、c、d中至多有一对直线互相平行2已知直线a、b、c和平面、，有下列命题：若；若， ；若；若. 其中正确的是（ ）ABCD3三条侧棱两两垂直且与底面所成的角都相等是三棱锥为正三棱锥的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件4对于任一长方体，都一定存在一点：这点到长方体的
2、各顶点的距离相等；这点到长 方体的各棱的距离相等；这点到长方体的各面的距离相等，以上三个结论中正确的是（ ）BACABCD5如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图 上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为 （ ）A180B120C60D456四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PA=AB=a，则A到平 面PCD的距离为（ ）ABCD7直三棱柱ABCA1B1C1中，D1、F1分别是A1B1，A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值为（ ）ABCD8正方体的顶点都在球面上，它的全面积为a2，则这个球的表面积为（ ）AB
3、CD9已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱， 以面BCD与面BCA为半平面的二面角的大小为（ ）ABCD10已知PA是平面的一条斜线，A，且线段PA=2，点P到平面的距离是1，AC平面，设，则（ ）D1DABB1CC1ABCD11如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为 （ ）ABCD12在三棱锥ABCD中，P、Q分别是棱AC、BD上的点，连AQ、CQ、BP、DP、PQ，若三棱锥ABPQ、BCPQ、CDPQ的体积分别为6
4、、2、8，则三棱锥ABCD的体积是（ ）A20B28C40D88二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13长方体的对角线长为8，长、宽、高的和为14，则它的全面积为 .14在120的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各仅有一个公共点，则这两点间的球面距离为 .15正三棱锥SABC的侧棱长为1，两条侧棱的夹角为45，过顶点A作一截面交SB于OD，交SC于E，则ADE的周长的最长小值是 .16用一个平面截正三棱锥及其外接球，所得截面如图.若球的半径为R，则三棱锥的侧面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应与出文字说明、证明过程和演算步骤.1
5、7（本小题满分12分）已知AB是异面直线a、b的公垂线段，过AB的中点O作平面与a、b都平行，M、N分别是a、b上任意一点，MN交平面于点P，求证：P是线段MN的中点.18（本小题满分12分）四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形且垂直于底面，又底面ABCD是矩形，E是侧棱PD的中点. （1）求证：PB/平面ACE； （2）若PBAC求PB与底面ABCD所成角的大小.19（本小题满分12分）已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MNAB； （2）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角，问能否确定使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应的
6、值；若不能，说明理由.20（本小题满分12分）四面体ABCD中，ABC是正三角形，DA平面ABC，H是A在平面DBC内的射影. （1）问H是否为DBC的垂心，并加以证明； （2）若H是DBC的重心，且AB=2，DA=，求A到平面DBC的距离.21（本小题满分13分）某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.22（本小题满分13分）直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ACB=90，E为BB1的中点，D为AB上一点，A1DE=90. （1）求证：CD平面A1ABB1； （
7、2）求二面角CA1ED的大小； （3）求三棱锥A1CDE的体积.高三新课程数学测试题参考答案及评分意见（8）直线、平面、简单几何体一、1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.A 9.C 10.D 11.D 12.C二、13 132； 14 ； 15 ； 16三、17连结BM交平面于Q，连结OQ、PQ4分 ，又O为AB中点，Q为BM的中点8分.同理PQ/b，Q为BM的中点，P为MN的中点12分18（1）连BD交AC于D，ABCD的矩形，O为BD的中点，又E为PD的中点，连OE，则OEPB.PB平面ACE6分；（2）取AD的中点H，PAD为正三角形，则PHAD，又平面PAD底面
8、ABCD. PH底面ABCD，连结BH，则PBH为PB与底面ABCD所成的角.当PBAC时，BHAC，易求得PH=BH，PBH=45即PB与底面ABCD所成的角为45.19（1）PA矩形ABCD，BCAB，PBBC，PAAC，即PBC和PAC都是以PC为斜边的直角三角形，又M为AB的中点，MNAB.5分；（2）ADCD，PDCD.PDA为所求二面角的平面角，即PDA=.设AB=a，PA=b，AD=d，则， 设PM=CM则由N为PC的中点，MNPC由（1）可知MNAB，MN为PC与AB的公垂线，这时PA=AD，=4512分）20（1）H不是DBC的垂心，证明如下：假设H是DBC的垂心，连结CH，
9、则CHDB，ACDB，又DA平面ABC DAAC.于是AC平面ABD，ACAB即BAC=90与已知ABC为正三角形矛盾，故H不可能是DBC的垂心6分 （2）由，AB=2，可知，H为DBC的重心，连CH交BD于G， G为BD的中点，设HG=x，则CH=2x.由. 即A到平面DBC的距离为12分21由4分，于是10分仅当时，S有最小值，这时，故当时，用料最省13分22（1）设AD=x，解得，D为AB的中点，CDAB，又ABCA1B1C1为直三棱柱，CD平面A1ABB15分 （2）由（1）可知CD平面A1ABB1作DFA1E，垂足为F，连结CF则CFA1E，CFD为二面角CA1ED的平面角，由于CD=，CFD=45即二面角CA1ED为459分. （3）13分
