1、河北省辛集中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，所以画出集合运算的韦恩图可知，集合考点：集合的运算与集合的表示【思路点晴】本题主要考查了集合的运算与集合的表示，属于基础题，解答本题的关键在于正确采用集合的韦恩图法作出运算，是题目的一个难点2. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】求出不等式解集，根据充分不必要条件，找其解集的真子集即可
2、.【详解】解不等式，解集为，不等式成立的充分不必要条件，即为集合的真子集，只有选项D 符合.故选:D .【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查充分不必要条件的判断，是基础题.3. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据的定义域求出的定义域，进而可求出的定义域.【详解】由题可知在中，则，所有的定义域为，则在中，则，即的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的定义域的求法，属于基础题.4. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A. 所有不能被2整除的数都是偶数B. 所有能被2整除的数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的数是偶数D
3、. 存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D【解析】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”故选D考点：命题的否定5. 若正数x、y满足，则的最小值等于（ ）A. 4B. 5C. 9D. 13【答案】C【解析】【分析】由得（），代入后变形，换元后用对勾函数的单调性求解【详解】因为正数x、y满足，所以（），所以，令，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为9，此时故选：C【点睛】本题考查用对勾函数的单调性求最值，解题关键是用代入法化二元函数为一元函数，构造对勾函数变形时一定注意新元取值范围6. 如果在区间上为减函数，则的取值范围（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当=时，=，符合题意.当时，由题意可得，求得的范围.综合可得的取值范围.【详解】当时，满足在区间上为减函数；当时，由于的对称轴为，且函数在区间上为减函数，则，解得.综上可得，.故选：B【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.7. 若不等式的解集为，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由不等式的解集为可得，代入化简即可求解.【详解】不等式的解集为，且是方程的两根，即，则化为，解得或.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的
5、解集与系数的关系，考查一元二次不等式的求解，属于基础题.8. 函数定义域和值域分别为、，则=（ ）A. -1，3B. -1，4C. 0，3D. 0，2【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域和值域,得到集合、，再求交集即可.【详解】解:要使函数有意义,则解得，故；由，所以.故.则选:D【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求法,考查集合的交集运算,是简单题.9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由偶函数的定义得出定义域关于原点对称，可得出，由偶函数的性质，将不等式化为，再利用函数在上的单调性列出不等式组可解出实数的取
6、值范围.【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，得，所以，函数的定义域为，由于函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，由于函数为偶函数，则，由，可得，则，解得.因此，不等式的解集为，故选B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题时要充分利用函数的奇偶性与单调性求解，同时要将自变量置于定义域内，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.10. 设函数，则的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当时,或，,其值域为:.当时,其值域为，由此能得到函数值域.【详解】当，即，时，或，其最小值为，无最大值，因此这个区间的值域为：；当时，其最小值为，其最大值为
7、，因此这区间的值域为：，综合得函数值域为：，故选：D.【点睛】该题考查的值域的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，分类讨论思想的常见类型.（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；（2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）11. 下列四个命题：其中不正确命题的是（ ）A. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在R上是增函数B. 若函数
8、与轴没有交点，则且C. 当时，则有成立D. 和表示同一个函数【答案】ABCD【解析】【分析】根据函数的性质，不等式的性质，函数的定义对各个选项进行判断，错误命题也可通过举反例说明【详解】，满足在上单调递增，在上单调递增，但在R上不是增函数，A错；时，它的图象与轴无交点，不满足且，B错；当，但时，不等式不成立，C错；，与的对应法则不相同，值域也不相同，不是同一函数，D错故选：ABCD【点睛】本题考查判断命题的真假，考查函数的性质，不等式的性质，函数的定义等，对一个假命题可以通过举反例说明其为假12. 下列说法正确的是（ ）A. 若幂函数的图像经过点，则解析式为B. 所有幂函数的图象均过点C. 幂
9、函数一定具有奇偶性D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限【答案】AD【解析】分析】根据幂函数解析式，研究幂函数的性质，依次分析，得到结果.【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，所以A正确；函数的图象不经过点，所以B不正确；为奇函数，是偶函数，是非奇非偶函数，所以幂函数不一定具有奇偶性，所以C不正确；因对于幂函数，当时，一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以D正确；故选：AD.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，解题方法如下：（1）明确幂函数的解析式的形式，利用待定系数法求得函数解析式，对命题判断正误；（2）明确随着幂指数的变化，图象走向以及函数的定义域要明确，进而
10、清楚函数的奇偶性以及图象所过的象限，从而判断命题的正误.13. 已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A. 是奇函数B. 是增函数C. 无最值D. 有最大值【答案】BC【解析】【分析】由函数在区间上有最小值求出的取值范围，表示出，进一步应用的范围对的单调性、最值作出判断【详解】函数在区间上有最小值，函数的对称轴应当位于区间内，有，则，当时，在区间上为增函数，此时，（1）；当时，在区间上为增函数，此时，（1）；当时，根据对勾函数的性质，其在上单调递增，在上单调递增，此时（1）；综上，在区间上单调递增，并且是开区间，所以函数在上没有最值，故选：BC.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函
11、数的问题，解题思路如下：（1）由函数在区间上有最小值求出的取值范围；（2）根据所求的的范围，分类讨论，得到其在上是增函数；（3）根据区间为开区间，所以没有最值，得到结果.14. 关于函数的性质描述，正确的是（ ）A. 的定义域为B. 的值域为C. 在定义域上是增函数D. 的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；【详解】对于A，由，解得且，可得函数的定义域为，故A正确；对于B，由A可得，即，当可得，当可得，可得函数的值域为
12、，故B正确；对于C，由，则在定义域上是增函数，故C 错误；对于D，由的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分.）15. 已知函数,若f(-2)=2，求f(2)=_【答案】【解析】【分析】利用函数的解析式，结合已知条件直接求解函数值即可【详解】函数f（x）=ax5bx+|x|1，若f（2）=2，可得：32a+2b+1=2，即32a2b=1f（2）=32a2b+1=1+1=0故答案为0.【点睛】本题考查函数的解析式以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力16. 若集合，其中，
13、是从定义域A到值域B的一个函数，则_【答案】7【解析】【分析】，是从定义域A到值域B的一个函数，所以中的每一个元素在的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故与或相等，然后结合其他条件，分情况讨论进行求解【详解】解：由对应法则知，又，解得或(舍)所以于是，.【点睛】本题考查了函数的定义，函数定义的本质是集合之间的对应关系，即一一对应或多对一的对应关系，掌握好函数的定义是解决本题的关键17. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上的值域为，再结合函数的值域为，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为，可得出关于实数的不等式
14、（组），解出即可.【详解】当时，则，则函数在区间上的值域为.又函数的值域为，则函数在上单调递增，当时，所以，函数在区间上的值域为，由题意可得，解得.因此，实数取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时不要忽略对函数单调性的分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18. 下列几个命题：方程若有一个正实根，一个负实根，则；函数是偶函数，但不是奇函数；函数的值域是，则函数的值域为； 一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是.其中正确的有_.【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接判断；根据函数的定义域，化简函数，判断选项；根据图象平移，
15、判断选项；画出函数的图象，判断交点个数.【详解】由一元二次方程根与系数的关系，得，故正确；根据函数的定义域可知，解得：，此时，所以（） ，所以函数既是奇函数，又是偶函数；故不正确；由的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数的值域为，故不正确；是偶函数，并且图象如下图所示，与图象的交点是2个，3个，或4个，不可能有1个的时候，故正确.四、解答题（本题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知函数的定义域，的值域为，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据题意可得，解不等式求出集合，再利用二次函数
16、的性质求出集合，根据集合的交运算即可求解. （2）由知，分类讨论或，列不等式即可求解.【详解】解：（1）由题可得，解得且，所以函数的定义域且，因为对任意，所以，所以函数的值域，.（2）由知，当时，则，解得；当时，则，解得.综上，或.20. 已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，解析式为f(x). (1)求f(x)在R上的解析式；(2)用定义证明f(x)在(0，)上为减函数【答案】(1) f(x) (2)见解析【解析】试题分析：（1）分别求出当x0和x=0时的解析式，写成分段函数的形式；（2）设x1，x2(0，)，且x1x2，通过作差证明f(x1)f(x2)即可试题解析：(1)设x0，则x0，f
17、(x).又f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，f(x).又奇函数在x=0时有意义，f(0)0，函数的解析式为f(x)(2)证明：设x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).x1，x2(0，)，x1x2，x110，x210，x2x10，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(0，)上为减函数点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：取值作差变形确定符号下结论，注意取值时要取所给区间上的任意两数x1，x2，变形是解题的重点，目的使所做的差变成成绩的形式21. 设：实数满足，：实数x满足.（1）若，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围；（2）若且是的充分不必要
18、条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得中的取值范围，解绝对值不等式求得中的取值范围，根据为真，即都为真命题，求得的取值范围.（2）解一元二次不等式求得中的取值范围，根据是的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】对于：由得，解（1）当时，对于：，解得，由于为真，所以都为真命题，所以解得，所以实数的取值范围是.（2）当时，对于：，解得.由于是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、
19、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.22. 已知函数，.（1）若时，当时，求的最小值.（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）4；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，得到，之后结合，利用基本不等式求得结果；（2）首先求时，不等式的解集，之后时，求得方程的根为，分类讨论求得其解集.【详解】（1）若时，当且仅当，即时取得等号.故的最小值为4.（2）当时，不等式的解为.当时，令解得，.当时，解得.当时，若，即解原不等式得或.若，即解原不等式得或.若，即解原不等式得.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；时，不等式解集为或.时，不等式解集为.时，不等式解集为.【点睛】
20、方法点睛：该题考查的是有关不等式的问题，解题方法如下：（1）将参数值代入函数解析式，对式子进行变形，结合自变量的范围，利用基本不等式求得结果；（2）首先求方程的根，对参数进行讨论，讨论的标准就是根的大小，最后求得不等式的解集；（3）要用好分类讨论思想.23. 定义域在R的单调增函数满足恒等式（x，），且.(1)求，；(2)判断函数的奇偶性，并证明；(3)若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)，；(2)是奇函数，证明见解析；(3).【解析】【分析】(1)运用赋值法,代入求出的值,代入,结合已知条件求出的值.(2)令代入已知的恒等式中,结合函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性.(3)由(2)知函数为奇函数,运用奇函数性质进行化简,再结合函数的单调性求解不等式,解出实数k的取值范围.【详解】(1)令可得,令,;(2)令,即函数是奇函数.(3)是奇函数,且在时恒成立,在时恒成立,又是R上的增函数.即在时恒成立.在时恒成立.令,.由抛物线图象可得.则实数k的取值范围为.【点睛】本题考查了抽象函数求值及性质问题,关键在于利用已知条件中的恒等式,采用赋值法求解,结合函数奇偶性和单调性解答不等式恒成立问题,可以采用分离参数的方法处理,此题较为综合,需要掌握解题方法.
