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【3年中考2年模拟】浙江省2013届中考数学 热点题型 7.3开放探究题(pdf) 新人教版.pdf

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资源描述

1、 听 觉 的 适 应 与 疲 劳听 觉 器 官 接 受 连 续 几 个 小 时 过 强 刺 激 后,听 觉 器 官 的 感 受 性 会 因 过 度 刺 激 而 显 著 降 低,这 和 适 应 现 象 不 同,往 往 要 经 过 几 个 小 时,甚至 一 昼 夜 或 几 天,听 觉 的 感 受 性 才 能 恢 复 这 种 由 于 长 时 间 强 刺 激 引 起 听 觉 感 受 性 较 长 的 时 间 的 下 降 现 象,称 为 听 觉 疲 劳 如 果 连 续 几 个月 或 几 年,听 觉 器 官 经 常 受 到 致 疲 劳 噪 音 的 作 用,则 听 觉 正 常 感 受 性 不 能 完 全 恢

2、复,有 的 会 导 致 内 耳 毛 细 胞 和 神 经 细 胞 的 退 行 性 变,听 力不 断 下 降,造 成 耳 聋,严 重 的 会 引 起 耳 鸣,妨 碍 睡 眠,引 起 血 压 升 高 和 胃 肠 功 能 紊 乱 等 开 放 探 究 题 题 型 特 点探 究 性 问 题 为 学 生 提 供 了 广 阔 的 思 维 空 间,有 利 于 调 动 学生 的 创 新 意 识 和 探 究 兴 趣,成 为 近 几 年 中 考 的 热 点 题 型 之 一 探究 型 问 题 是 指 命 题 中 缺 少 一 定 的 条 件 或 无 明 确 的 结 论,需 要 经过 推 断、补 充 并 加 以 证 明 的

3、 题 型,探 究 性 问 题 具 有 以 下 特 点:条 件 的 不 确 定 性 结 构 的 多 样 性 思 维 的 多 向 性 解 答 的 层 次 性 过 程 的 探 究 性 知 识 的 探 究 性 这 类 问 题 具 有 较 强 的 综 合 性,涉 及 的 数 学 基 础 知 识 较 为 广泛,既 能 考 查 学 生 对 基 础 知 识 掌 握 的 熟 练 程 度,又 能 考 查 学 生 的观 察、分 析、概 括 能 力,能 从 具 体、特 殊 的 事 实 中 探 究 其 存 在 的 规律,把 藏 在 表 面 现 象 中 的 一 般 规 律 挖 掘 出 来 命 题 趋 势开 放 探 究 性

4、 问 题 是 一 个 充 满 着 观 察、归 纳、猜 想、尝 试、探 究的 发 现 过 程,需 要 学 生 对 问 题 进 行 多 方 位、多 角 度、多 层 次 的 思考、审 视,对 培 养 学 生 的 创 造 性 思 维 能 力、推 理 能 力、直 觉 思 维 能力 和 全 面 提 高 学 生 的 数 学 素 养 具 有 重 要 的 意 义,倍 受 中 考 命 题者 的 青 睐,是 中 考 试 题 的 热 点 之 一 【例】(湖 南 湘 潭)如 图,抛 物 线 狔 犪狓 狓 (犪 )的 图 象 与 狓 轴 交 于 犃、犅 两 点,与 狔 轴 交 于 点 犆,已 知 点 犅 坐标 为(,)(

5、)求 抛 物 线 的 解 析 式;()试 探 究 犃 犅 犆 的 外 接 圆 的 圆 心 位 置,并 求 出 圆 心 坐 标;()若 点 犕是 线 段 犅 犆 下 方 的 抛 物 线 上 一 点,求 犕 犅 犆 的面 积 的 最 大 值,并 求 出 此 时 点 犕 的 坐 标【命 题 意 图 分 析】探 索 是 人 类 认 识 客 观 世 界 过 程 中 最 生动、最 活 跃 的 思 维 活 动,探 索 性 问 题 存 在 于 一 切 学 科 领 域 之 中,在 数 学 中 则 更 为 普 遍 初 中 数 学 中 的“探 索 发 现”型 试 题 是 指 命题 中 缺 少 一 定 的 题 设 或

6、 未 给 出 明 确 的 结 论,需 要 经 过 推 断、补 充并 加 以 证 明 的 命 题,它 不 像 传 统 的 解 答 题 或 证 明 题,在 条 件 和 结论 给 出 的 情 景 中 只 需 进 行 由 因 导 果 或 由 果 索 因 的 工 作,从 而 定格 于“条 件 演 绎 结 论”这 样 一 个 封 闭 的 模 式 之 中,而 是必 须 利 用 题 设 大 胆 猜 想、分 析、比 较、归 纳、推 理,或 由 条 件 去 探索 不 明 确 的 结 论;或 由 结 论 去 探 索 未 给 予 的 条 件;或 去 探 索 存 在的 各 种 可 能 性 以 及 发 现 所 形 成 的

7、 客 观 规 律 开 放 性 试 题 重 在 开发 思 维,促 进 创 新,提 高 数 学 素 养,所 以 是 近 几 年 中 考 试 题 的 热点 考 题 观 察、实 验、猜 想、论 证 是 解 决 这 类 问 题 的 科 学 思 维 方法,学 习 中 应 重 视 并 应 用 本 题 考 查 了 二 次 函 数 综 合 题,但 用 到 的 琐 碎 知 识 点 较 多,综合 性 很 强 熟 练 掌 握 直 角 三 角 形 的 相 关 性 质 以 及 三 角 形 的 面 积公 式 是 理 出 思 路 的 关 键【解 答】()将 犅(,)代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中,得 犪 ,即 犪 抛

8、 物 线 的 解 析 式 为 狔 狓 狓 ()由()的 函 数 解 析 式 可 求 得 犃(,)、犆(,)犗 犃 ,犗 犆 ,犗 犅 ,即 犗 犆 犗 犃 犗 犅 又 犗 犆 犃 犅,犗 犃 犆 犗 犆 犅 犗 犆 犃 犗 犅 犆 犃 犆 犅 犗 犆 犃 犗 犆 犅 犗 犅 犆 犗 犆 犅 犃 犅 犆 为 直 角 三 角 形,犃 犅 为 犃 犅 犆 外 接 圆 的 直 径 所 以 该 外 接 圆 的 圆 心 为 犃 犅 的 中 点,且 坐 标 为(,)()由 犅(,)、犆(,),可 得 直 线 犅 犆 的 解 析 式 为 狔 狓 设 直 线 犾 犅 犆,则 该 直 线 的 解 析 式 可 表

9、示 为 狔 狓 犫 当 直 线 犾 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 时,可 列 方 程 狓 犫 狓 狓 ,即 狓 狓 犫 ,且 (犫),即 犫 直 线 犾:狔 狓 由 于 犛 犕 犅 犆 犅 犆 犺,当 犺 最 大(即 点 犕到 直 线 犅 犆 的 距 离最 远)时,犃 犅 犆 的 面 积 最 大,几 何 三 大 问 题(一)化 圆 为 方 求 作 一 正 方 形 使 其 面 积 等 于 一 已 知 圆 的 面 积 三 等 分 任 意 角 倍 立 方 求 作 一 立 方 体 使 其 体 积 是 一 已 知 立 方 体 的 二 倍 圆 与 正 方 形 都 是 常 见 的 几 何 图 形,

10、但 如 何 作 一 个 和 已 知 圆 等 面 积 的 正 方 形 呢?若 已 知 圆 的 半 径 为 ,则 其 面 积 为 (),所 以 化 圆为 方 的 问 题 等 于 去 求 一 正 方 形,其 面 积 为 ,也 就 是 用 尺 规 作 出 长 度 为 槡 的 线 段 所 以 点 犕 即 直 线 犾 和 抛 物 线 的 唯 一 交 点,有狔 狓 狓 ,狔 狓 烅烄烆,解 得狓 ,狔 犕(,)【方 法 点 拨】()该 函 数 解 析 式 只 有 一 个 待 定 系 数,只 需 将点 犅 坐 标 代 入 解 析 式 中 即 可()首 先 根 据 抛 物 线 的 解 析 式 确 定 点 犃 坐

11、 标,然 后 通 过 证 明 犃 犅 犆 是 直 角 三 角 形 来 推 导 出 直 径 犃 犅和 圆 心 的 位 置,由 此 确定 圆 心 坐 标()犕 犅 犆 的 面 积 可 由 犛 犕 犅 犆 犅 犆 犺 表 示,若 要 它 的 面 积最 大,需 要 使 犺 取 最 大 值,即 点 犕到 直 线 犅 犆 的 距 离 最 大,若 设一 条 平 行 于 犅 犆 的 直 线,那 么 当 该 直 线 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交点 时,该 交 点 就 是 点 犕【误 区 警 示】本 题 探 究 主 要 在 第()问,要 注 意 条 件 的 运用,当 直 线 与 抛 物 线 只 有

12、一 个 交 点 时,联 立 方 程 组 时 取 ;例外 三 角 形 底 边 一 定,要 想 面 积 最 大,只 要 高 最 大 即 可 年 浙 江 省 新 题 精 练一、填 空 题 (湖 州)请 你 在 如 图 所 示 的 的 网 格 图 形 中 任 意画 一 个 圆,则 所 画 的 圆 最 多 能 经 过 个 格 点 中 的 个 格 点(第 题)二、解 答 题 (浙 江 丽 水)在 直 角 坐 标 系 中,点 犃 是 抛 物 线 狔 狓 在第 二 象 限 上 的 点,连 结 犗 犃,过 点 犗 作 犗 犅 犗 犃,交 抛 物 线 于点 犅,以 犗 犃、犗 犅 为 边 构 造 矩 形 犃 犗

13、犅 犆()如 图(),当 点 犃 的 横 坐 标 为 时,矩 形 犃 犗 犅 犆 是正 方 形;()如 图(),当 点 犃 的 横 坐 标 为 时,求 点 犅 的 坐 标;将 抛 物 线 狔 狓 作 关 于 狓 轴 的 轴 对 称 变 换 得 到 抛 物 线狔 狓 ,试 判 断 抛 物 线 狔 狓 经 过 平 移 变 换 后,能否 经 过 犃,犅,犆 三 点?如 果 可 以,说 出 变 换 的 过 程;如 果不 可 以,请 说 明 理 由()()(第 题)年 全 国 新 题 精 练一、选 择 题 (江 苏 扬 州)大 于 的 正 整 数 犿 的 三 次 幂 可“分 裂”成若 干 个 连 续 奇

14、 数 的 和,如 ,若 犿 分 裂 后,其 中 有 一 个 奇 数 是 ,则犿 的 值 是()(江 西 南 昌)如 图,有 犪,犫,犮 三 户 家 用 电 路 接 入 电 表,相邻 电 路 的 电 线 等 距 排 列,则 三 户 所 用 电 线()犪 户 最 长 犫 户 最 长 犮 户 最 长 三 户 一 样 长(第 题)(第 题)(贵 州 六 盘 水)如 图 为 反 比 例 函 数 狔 狓 在 第 一 象 限 的图 象,点 犃 为 此 图 象 上 的 一 动 点,过 点 犃 分 别 作 犃 犅 狓 轴 和犃 犆 狔 轴,垂 足 分 别 为 犅、犆,则 四 边 形 犗 犅 犃 犆周 长 的 最

15、 小 值 几 何 三 大 问 题(二)三 大 问 题 的 第 二 个 是 三 等 分 一 个 角 的 问 题 对 于 某 些 角,如 、角 进 行 三 等 分 并 不 难,但 是 否 所 有 角 都 可 以三 等 分 呢?例 如 ,若 能 三 等 分 则 可 以 画 出 的 角,那 么 正 十 八 边 形 及 正 九 边 形 也 都 可 以 作 出 来 了(注:圆 内 接 正十 八 边 形 每 一 边 所 对 的 圆 心 角 为 )其 实 三 等 分 角 的 问 题 是 由 求 作 正 多 边 形 这 一 类 问 题 所 引 起 来 的 为()(江 苏 泰 州)四 边 形 犃 犅 犆 犇 中,

16、对 角 线 犃 犆、犅 犇 相 交 于点 犗,给 出 下 列 四 组 条 件:犃 犅 犆 犇,犃 犇 犅 犆;犃 犅 犆 犇,犃 犇 犅 犆;犃 犗 犆 犗,犅 犗 犇 犗;犃 犅 犆 犇,犃 犇 犅 犆 其 中一 定 能 判 断 这 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 条 件 共 有()组 组 组 组(第 题)(四 川 达 州)如 图,在 犃 犅 犆 犇中,犈是 犅 犆的 中 点,且 犃 犈 犆 犇 犆 犈,则 下 列 结 论不正确獉獉獉的 是()犛 犃犉 犇 犛 犈犉 犅 犅 犉 犇 犉 四 边 形 犃 犈 犆 犇 是 等 腰 梯 形 犃 犈 犅 犃 犇 犆二、填 空 题(第 题)

17、(贵 州 遵 义)在 的 方 格 中 有 五个 同 样 大 小 的 正 方 形 如 图 摆 放,移 动 其 中一 个 正 方 形 到 空 白 方 格 中,与 其 余 四 个 正方 形 组 成 的 新 图 形 是 一 个 轴 对 称 图 形,这样 的 移 法 共 有 种 (山 东 滨 州)根 据 你 学 习 的 数 学知 识,写 出 一 个 运 算 结 果 为 犪 的 算 式 (贵 州 安 顺)如 图,添 加 一 个 条 件 使 得 犃 犇 犈 犃 犆 犅,(第 题)(第 题)(四 川 广 元)如 图,点 犃 的 坐 标 为(,),点 犅 在 直 线狔 狓 上 运 动,当 线 段 犃 犅 最 短

18、 时,点 犅 的 坐 标 为 (新 疆)请 你 写 出 一 个 主 视 图 与 左 视 图 相 同 的 立 体 图形 是 (四 川 绵 阳)如 图 所 示,犅 犆 犈 犆,要 使 犃 犅 犆 犇 犈 犆,则 应 添 加 的 一 个 条 件 为 (第 题)(第 题)(辽 宁 丹 东)如 图,边 长 为 的 正 方 形 犃 犅 犆 犇 内 部 有一 点 犘,犅 犘 ,犘 犅 犆 ,点 犙 为 正 方 形 边 上 一 动 点,且 犘 犅 犙 是 等 腰 三 角 形,则 符 合 条 件 的 犙 点 有 个 (贵 州 黔 东 南 州)用 根 相 同 长 度 的 木 棒 在 空 间 中 最多 可 搭 成

19、个 正 三 角 形 (山 东 德 州)在 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中,犃 犅 犆 犇,要 使 四 边形 犃 犅 犆 犇 是 中 心 对 称 图 形,只 需 添 加 一 个 条 件,这 个 条 件 可以 是 (广 州 白 云 区 模 拟)已 知 反 比 例 函 数 狔 犽狓,其 图 象 所在 的 每 个 象 限 内 狔 随 着 狓 的 增 大 而 增 大,请 写 出 一 个 符 合 条件 的 反 比 例 函 数 关 系 式:(安 徽)定 义 运 算 犪 犫 犪(犫),下 列 给 出 了 关 于 这种 运 算 的 几 点 结 论:();犪 犫 犫 犪;若 犪 犫 ,则(犪 犪)(犫 犫)犪犫;

20、若 犪 犫 ,则 犪 其 中 正 确 结 论 序 号 是 (在 横 线 上 填 上 你 认 为 所 有正 确 结 论 的 序 号)三、解 答 题 (陕 西)如 果 一 条 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮(犪 )与 狓轴 有 两 个 交 点,那 么 以 该 抛 物 线 的 顶 点 和 这 两 个 交 点 为 顶 点的 三 角 形 称 为 这 条 抛 物 线 的“抛 物 线 三 角 形”()“抛 物 线 三 角 形”一 定 是 三 角 形;()若 抛 物 线 狔 狓 犫狓(犫 )的“抛 物 线 三 角 形”是 等 腰直 角 三 角 形,求 犫 的 值;()如 图,犗 犃 犅 是 抛 物 线 狔 狓

21、 犫狓(犫 )的“抛 物 线三 角 形”,是 否 存 在 以 原 点 犗 为 对 称 中 心 的 矩 形 犃 犅 犆 犇?若 存 在,求 出 过 犗、犆、犇 三 点 的 抛 物 线 的 表 达 式;若 不 存在,说 明 理 由(第 题)(四 川 广 元)如 图,在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中,犈 犉,点 犃、犅、犆、犇 在 同 一 直 线 上,有 如 下 三 个 关 系 式:犃 犈 犇 犉,犃 犅 犆 犇,犆 犈 犅 犉()请 用 其 中 两 个 关 系 式 作 为 条 件,另 一 个 作 为 结 论,写 出 你认 为 正 确 的 所 有 命 题(用 序 号 写 出 命 题 书 写 形 式

22、:“如 果 ,那 么 ”);()选 择()中 你 写 出 的 一 个 命 题,说 明 它 正 确 的 理 由(第 题)几 何 三 大 问 题(三)第 三 个 问 题 是 倍 立 方 埃 拉 托 塞 尼(公 元 前 年 公 元 前 年)曾 经 在 记 述 一 个 神 话 时 提 到 说 有 一 个 先 知 者 得 到 神 谕 必 须 将 立 方形 的 祭 坛 的 体 积 加 倍,有 人 主 张 将 每 边 长 加 倍,但 我 们 都 知 道 那 是 错 误 的,因 为 体 积 已 经 变 成 原 来 的 倍 这 些 问 题 困 扰 数 学 家 一 千 多 年都 不 得 其 解,而 实 际 上 这

23、 三 大 问 题 都 不 可 能 用 直 尺、圆 规 经 有 限 步 骤 解 决 (福 建 漳 州)在 数 学 课 上,林 老 师 在 黑 板 上 画 出 如 图 所示 的 图 形(其 中 点 犅、犉、犆、犈 在 同 一 直 线 上),并 写 出 四 个 条件:犃 犅 犇 犈,犅 犉 犈 犆,犅 犈,请 你 从 这 四 个 条 件 中 选 出 三 个 作 为 题 设,另 一 个 作 为 结 论,组 成 一 个 真 命 题獉 獉 獉,并 给 予 证 明 题 设:;结 论:(均 填 写 序 号)证 明:(第 题)(辽 宁 阜 新)()如 图,在 犃 犅 犆 和 犃 犇 犈 中,犃 犅 犃 犆,犃

24、犇 犃 犈,犅 犃 犆 犇 犃 犈 当 点 犇 在 犃 犆 上 时,如 图(),线 段 犅 犇、犆 犈 有 怎 样 的 数 量关 系 和 位 置 关 系?直 接 写 出 你 猜 想 的 结 论 将 图()中 的 犃 犇 犈 绕 点 犃顺 时 针 旋 转 角(),如 图(),线 段 犅 犇、犆 犈 有 怎 样 的 数 量 关 系 和 位 置 关系?请 说 明 理 由()当 犃 犅 犆 和 犃 犇 犈 满 足 下 面 甲、乙、丙 中 的 哪 个 条 件时,使 线 段 犅 犇、犆 犈 在()中 的 位 置 关 系 仍 然 成 立?不 必说 明 理 由 甲:犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ,犅 犃 犆

25、 犇 犃 犈 ;乙:犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ,犅 犃 犆 犇 犃 犈 ;丙:犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ,犅 犃 犆 犇 犃 犈 (第 题)(吉 林)在 如 图 所 示 的 三 个 函 数 图 象 中,有 两 个 函 数 图象 能 近 似 地 刻 画 如 下 犪,犫 两 个 情 境:情 境 犪:小 芳 离 开 家 不 久,发 现 把 作 业 本 忘 在 家 里,于 是 返 回家 里 找 到 了 作 业 本 再 去 学 校;情 境 犫:小 芳 从 家 出 发,走 了 一 段 路 程 后,为 了 赶 时 间,以 更快 的 速 度 前 进()情 境 犪,犫 所 对 应 的 函 数 图 象

26、 分 别 为 ,;(填 写 序 号)()请 你 为 剩 下 的 函 数 图 象 写 出 一 个 适 合 的 情 境(第 题)(四 川 资 阳)()如 图(),正 方 形 犃 犈 犌 犎的 顶 点 犈、犎在 正 方 形 犃 犅 犆 犇的 边 上,直 接 写 出 犎 犇 犌 犆 犈 犅 的 结 果;(不 必 写 计 算 过 程)()将 图()中 的 正 方 形 犃 犈 犌 犎绕 点 犃旋 转 一 定 角 度,如 图(),求 犎 犇 犌 犆 犈 犅;()把 图()中 的 正 方 形 都 换 成 矩 形,如 图(),且 已 知 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀,此 时 犎 犇 犌 犆 犈 犅 的

27、 值 与()小 题 的 结 果 相 比 有 变 化 吗?如 果 有 变 化,直 接 写 出 变 化后 的 结 果(不 必 写 计 算 过 程)()()()(第 题)现 代 数 学 上 的 三 大 难 题(一)一 是 有 棵 树,每 行 四 棵,古 罗 马、古 希 腊 在 世 纪 就 完 成 了 行 的 排 列,世 纪 高 斯 猜 想 能 排 行,世 纪 美 国劳 埃 德 完 成 此 猜 想,世 纪 末 两 位 电 子 计 算 机 高 手 完 成 行 纪 录,跨 入 世 纪 还 会 有 新 突 破 吗?(山 西)问 题 情 境:将 一 副 直 角 三 角 板(犃 犅 犆 和 犇 犈 犉)按 图(

28、)所 示 的 方 式 摆 放,其 中 犃 犆 犅 ,犆 犃 犆 犅,犉 犇 犈 ,犗 是 犃 犅 的 中 点,点 犇 与 点 犗 重 合,犇 犉 犃 犆 于 点 犕,犇 犈 犅 犆 于 点 犖,试 判 断 线 段 犗 犕与 犗 犖的数 量 关 系,并 说 明 理 由 探 究 展 示:小 宇 同 学 展 示 出 如 下 正 确 的 解 法:解:犗 犕 犗 犖,证 明 如 下:连 结 犆 犗,则 犆 犗 是 犃 犅 边 上 的 中 线 犆 犃 犆 犅,犆 犗 是 犃 犆 犅 的 角 平 分 线(依 据 )犗 犕 犃 犆,犗 犖 犅 犆,犗 犕 犗 犖(依 据 )反 思 交 流:()上 述 证 明

29、过 程 中 的“依 据 ”和“依 据 ”分 别 是 指:依 据 :依 据 :()你 有 与 小 宇 不 同 的 思 考 方 法 吗?请 写 出 你 的 证 明 过 程 拓 展 延 伸:()将 图()中 的 犇 犈 犉 沿 着 射 线 犅 犃 的 方 向 平 移 至 如 图()所 示 的 位 置,使 点 犇 落 在 犅 犃的 延 长 线 上,犉 犇 的 延长 线 与 犆 犃 的 延 长 线 垂 直 相 交 于 点 犕,犅 犆 的 延 长 线 与犇 犈 垂 直 相 交 于 点 犖,连 结 犗 犕、犗 犖,试 判 断 线 段 犗 犕、犗 犖 的 数 量 关 系 与 位 置 关 系,并 写 出 证 明

30、 过 程()()(第 题)(安 徽)在 由 犿 狀(犿 狀 )个 小 正 方 形 组 成 的 矩 形网 格 中,研 究 它 的 一 条 对 角 线 所 穿 过 的 小 正 方 形 个 数 犳()当 犿,狀 互 质(犿,狀 除 外 无 其 他 公 因 数)时,观 察 下 列 图形 并 完 成 下 表:(第 题)犿狀犿 狀犳猜 想:当 犿,狀 互 质 时,在 犿 狀 的 矩 形 网 格 中,一 条 对 角线 所 穿 过 的 小 正 方 形 的 个 数 犳与 犿,狀 的 关 系 式 是 ;(不 需 要 证 明)()当 犿,狀 不 互 质 时,请 画 图 验 证 你 猜 想 的 关 系 式 是 否 依

31、 然成 立现 代 数 学 上 的 三 大 难 题(二)二 是 相 邻 两 国 不 着 同 一 色,任 一 地 图 着 色 最 少 可 用 几 色 完 成 着 色?五 色 已 证 出,四 色 至 今 仅 美 国 阿 佩 尔 和 哈 肯,罗列 了 很 多 图 谱,通 过 电 子 计 算 机 逐 一 验 证 完 成,全 面 的 逻 辑 的 人 工 推 理 证 明 尚 待 有 志 者 (山 东 滨 州)我 们 知 道“连 结 三 角 形 两 边 中 点 的 线 段 叫三 角 形 的 中 位 线”,“三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 三 角 形 的 第 三边,且 等 于 第 三 边 的 一 半”类

32、 似 的,我 们 把 连 结 梯 形 两 腰 中点 的 线 段 叫 做 梯 形 的 中 位 线 如 图,在 梯 形 犃 犅 犆 犇 中,犃 犇 犅 犆,点 犈、犉 分 别 是 犃 犅、犆 犇 的 中 点,那 么 犈 犉 就 是 梯 形 犃 犅犆 犇 的 中 位 线 通 过 观 察、测 量,猜 想 犈 犉 和 犃 犇、犅 犆 有 怎 样的 位 置 和 数 量 关 系?并 证 明 你 的 结 论(第 题)(河 南)类 比、转 化、从 特 殊 到 一 般 等 思 想 方 法,在 数 学学 习 和 研 究 中 经 常 用 到,如 下 是 一 个 案 例,请 补 充 完 整 原 题:如 图(),在 犃

33、犅 犆 犇 中,点 犈 是 边 犅 犆 上 的 中 点,点 犉是 线 段 犃 犈 上 一 点,犅 犉 的 延 长 线 交 射 线 犆 犇于 点 犌,若 犃 犉犈 犉 ,求 犆 犇犆 犌 的 值()尝 试 探 究在 图()中,过 点 犈 作 犈 犎 犃 犅 交 犅 犌 于 点 犎,则 犃 犅 和犈 犎的 数 量 关 系 是 ,犆 犌 和 犈 犎的 数 量 关 系 是 ,犆 犇犆 犌 的 值 是 ()类 比 延 伸如 图(),在 原 题 的 条 件 下,若 犃 犉犈 犉 犿(犿 ),则 犆 犇犆 犌 的 值是 (用 含 犿 的 代 数 式 表 示),试 写 出 解 答 过 程()拓 展 迁 移如

34、图(),梯 形 犃 犅 犆 犇 中,犇 犆 犃 犅,点 犈 是 犅 犆 延 长 线 上一 点,犃 犈 和 犅 犇相 交 于 点 犉,若 犃 犅犆 犇 犪,犅 犆犅 犈 犫(犪 ,犫 ),则 犃 犉犈 犉 的 值 是 (用 含 犪,犫 的 代 数 式 表 示)()()()(第 题)(江 苏 连 云 港)已 知 梯 形 犃 犅 犆 犇,犃 犇 犅 犆,犃 犅 犅 犆,犃 犇 ,犃 犅 ,犅 犆 ()()()(第 题)问 题 :如 图(),犘 为 边 犃 犅 上 的 一 点,以 犘 犇、犘 犆 为 边 作 平行 四 边 形 犘 犆 犙 犇,请 问 对 角 线 犘 犙、犇 犆 的 长 能 否 相 等,

35、为什 么?问 题 :如 图(),若 犘 为 边 犃 犅 上 一 点,以 犘 犇、犘 犆 为 边 作 平行 四 边 形 犘 犆 犙 犇,请 问 对 角 线 犘 犙 的 长 是 否 存 在 最 小 值?如果 存 在,请 求 出 最 小 值;如 果 不 存 在,请 说 明 理 由 问 题 :若 犘 为 边 犃 犅上 任 意 一 点,延 长 犘 犇 到 犈,使 犇 犈 犘 犇,再 以 犘 犈、犘 犆 为 边 作 平 行 四 边 形 犘 犆 犙 犈,请 探 究 对 角 线犘 犙 的 长 是 否 也 存 在 最 小 值?如 果 存 在,请 求 出 最 小 值;如果 不 存 在,请 说 明 理 由 问 题

36、:如 图(),若 犘 为 边 犇 犆 上 任 意 一 点,延 长 犘 犃 到 犈,使 犃 犈 狀犘 犃(狀 为 常 数),以 犘 犈、犘 犅 为 边 作 平 行 四 边 形犘 犅 犙 犈,请 探 究 对 角 线 犘 犙 的 长 是 否 也 存 在 最 小 值?如 果 存在,请 求 出 最 小 值;如 果 不 存 在,请 说 明 理 由 现 代 数 学 上 的 三 大 难 题(三)三 是 任 三 人 中 可 证 必 有 两 人 同 性,任 六 人 中 必 有 三 人 互 相 认 识 或 互 相 不 认 识(认 识 用 红 线 连,不 认 识 用 蓝 线 连,即六 质 点 中 二 色 线 连 必

37、出 现 单 色 三 角 形)近 年 来 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 也 围 绕 此 类 热 点 题 型 遴 选 后 备 攻 坚 力 量(如 十七 个 科 学 家 讨 论 三 课 题,两 两 讨 论 一 个 题,证 至 少 三 个 科 学 家 讨 论 同 一 题;十 八 个 点 用 两 色 连 必 出 现 单 色 四 边 形;两 色连 六 个 点 必 出 现 两 个 单 色 三 角 形,等 等)单 色 三 角 形 研 究 中,尤 以 不 出 现 单 色 三 角 形 的 极 值 图 谱 的 研 究 更 是 难 点 中 的 难点,热 门 中 的 热 门 (山 东 济 宁 模 拟)数 学

38、课 上,李 老 师 出 示 了 这 样 一 道 题目:如 图(),正 方 形 犃 犅 犆 犇 的 边 长 为 ,犘 为 边 犅 犆 延 长 线上 的 一 点,犈 为 犇 犘 的 中 点,犇 犘 的 垂 直 平 分 线 交 边 犇 犆 于 点犕,交 边 犃 犅 的 延 长 线 于 点 犖 当 犆 犘 时,犈 犕 与 犈 犖的 比值 是 多 少?经 过 思 考,小 明 展 示 了 一 种 正 确 的 解 题 思 路:过 点 犈 作 直 线平 行 于 犅 犆 交 犇 犆、犃 犅 分 别 于 犉、犌,如 图(),则 可 得 犇 犉犉 犆 犇 犈犈 犘,因 为 犇 犈 犈 犘,所 以 犇 犉 犉 犆 可

39、 求 出 犈 犉 和 犈 犌 的 值,进 而 可 求 得 犈 犕 与 犈 犖的 比 值()请 按 照 小 明 的 思 路 写 出 求 解 过 程;()小 东 又 对 此 题 作 了 进 一 步 探 究,得 出 了 犇 犘 犕 犖的 结论 你 认 为 小 东 的 这 个 结 论 正 确 吗?如 果 正 确,请 给 予 证明;如 果 不 正 确,请 说 明 理 由(第 题)(山 东 威 海)如 图,犃 犅 犆 犇 是 一 张 矩 形 纸 片,犃 犇 犅 犆 ,犃 犅 犆 犇 在 矩 形 犃 犅 犆 犇 的 边 犃 犅上 取 一 点 犕,在犆 犇 上 取 一 点 犖,将 纸 片 沿 犕 犖 折 叠,

40、使 犕 犅 与 犇 犖交 于 点犓,得 到 犕 犖 犓(第 题)()若 ,求 犕 犓 犖 的 度 数;()犕 犖 犓 的 面 积 能 否 小 于?若 能,求 出 此 时 的 度数;若 不 能,试 说 明 理 由()如 何 折 叠 能 够 使 犕 犖 犓 的 面 积 最 大?请 你 利 用 备 用 图探 究 可 能 出 现 的 情 况,求 出 最 大 值(备 用 图)(山 东 烟 台 模 拟)已 知:如 图,在 四 边 形 犃 犅 犆 犇中,犃 犅 犆 ,犆 犇 犃 犇,犃 犇 犆 犇 犃 犅 ()求 证:犃 犅 犅 犆;()当 犅 犈 犃 犇 于 犈 时,试 证 明:犅 犈 犃 犈 犆 犇(第

41、 题)(湖 北 襄 阳)如 图,点 犇、犈 在 犃 犅 犆 的 边 犅 犆 上,连 结犃 犇、犃 犈 犃 犅 犃 犆;犃 犇 犃 犈;犅 犇 犆 犈 以 此 三 个 等式 中 的 两 个 作 为 命 题 的 题 设,另 一 个 作 为 命 题 的 结 论,构 成三 个 命 题:;()以 上 三 个 命 题 是 真 命 题 的 为 (直 接 作 答);()请 选 择 一 个 真 命 题 进 行 证 明(先 写 出 所 选 命 题,然 后 证明)(第 题)开 放 探 究 题 年 浙 江 省 新 题 精 练 ()()过 点 犃 作 犃 犈 狓 轴 于 点 犈,过 点 犅 作 犅 犉 狓 轴 于点 犉

42、 当 狓 时,狔(),即 犗 犈 ,犃 犈 ,由 犃 犈 犗 犗 犉 犅,得:犗 犉犅 犉 犃 犈犈 犗 设 犗 犉 狋,则 犅 犉 狋,(第 题)狋 狋,解 得 狋 (舍 去),狋 犅(,)过 点 犆 作 犆 犌 犌 犉 于 点 犌,犃 犈 犗 犅 犌 犆,犆 犌 犗 犈 ,犅 犌 犃 犈 狓 犮 ,狔 犮 点 犆,()设 过 犃、犅 两 点 的 抛 物 线 解 析 式 为 狔 狓 犫狓 犮,由 题意 得 犫 犮 ,犫 犮 烅烄烆解 得犫 ,犮 经 过 犃、犅 两 点 的 抛 物 线 解 析 式 为 狔 狓 狓 当 狓 时,狔 (),所 以 点 犆 也在 抛 物 线 上 故 经 过 犃、犅、

43、犆 三 点 的 抛 物 线 解 析 式 为 狔 狓 狓 狓()平 移 方 案:先 将 抛 物 线 狔 狓 向 右 平 移 个 单 位,再 向上 平 移 个 单 位 得 到 抛 物 线 狔 狓()年 全 国 新 题 精 练 解 析 ,犿 分 裂 后 的 第 一 个 数 是 犿(犿 ),共 有 犿 个 奇数 (),(),第 个 奇 数 是 底 数 为 的 数 的 立 方 分 裂 后 的 一个 奇 数 犿 解 析 犪、犫、犮 三 户 家 用 电 路 接 入 电 表,相 邻 电 路的 电 线 等 距 排 列,将 犪 向 右 平 移 即 可 得 到 犫、犮 图 形 的 平 移 不 改 变 图 形 的 大

44、 小,三 户 一 样 长 解 析 反 比 例 函 数 狔 狓 在 第 一 象 限 的 图 象,点犃 为 此 图 象 上 的 一 动 点,过 点 犃 分 别 作 犃 犅 狓 轴 和 犃 犆 狔 轴,垂 足 分 别 为 犅,犆 四 边 形 犗 犅 犃 犆 为 矩 形 设 宽 犅 犗 狓,则 犃 犅 狓,则 狊 狓 狓 狓 槡狓 ,当 且 仅 当 狓 狓,即 狓 时,取 等 号 故 函 数 狊 狓 狓(狓 )的 最 小 值 为 故 狓 ()狓 ,则 四 边 形 犗 犅 犃 犆 周 长 的 最 小 值 为 解 析 都 能 判 断 解 析 由 相 似 形 性 质 知 犛 犃犉 犇 犛 犈犉 犅 解 析

45、沿 一 条 直 线 对 折 后 能 完 全 重 合 的 图 形 叫 轴 对 称图 形 犪 犪 犪 (答 案 不 唯 一)犇 犆 或 犈 犅 或 犃 犇犃 犆 犃 犈犃 犅 解 析 ,犅 犃 犈 犅 犃 犈,即 犇 犃 犈 犆 犃 犅 当 犇 犆或 犈 犅或 犃 犇犃 犆 犃 犈犃 犅 时,犃 犇 犈 犃 犆 犅 ,()解 析 由 犃 点 向 直 线 狔 狓 作 垂 线,因为 垂 线 段 最 短 答 案 不 唯 一 例 如:圆 或 正 方 体 等 答 案 不 唯 一 例 如:犃 犆 犆 犇 解 析 犃 犅 边 上 有 两 点,其 余 三 边 各 有 一 点 满 足 要 求 解 析 用 根 火 柴

46、 棒 搭 成 正 四 面 体,四 个 面 都 是 正 三角 形 不 唯 一,可 以 是:犃 犅 犆 犇 或 犃 犇 犅 犆,犅 犆 ,犃 犇 等(只 要 填 写 一 种 情 况)例 如 狔 狓 解 析 只 要 犽 为 负 数 即 可 解 析 犪犫 犪(犫),犫犪 犫(犪),不 正 确;若 犪犫 ,则 犪(犫)得 犪 或 犫 ,不 正 确 ()等 腰()抛 物 线 狔 狓 犫狓(犫 )的“抛 物 线 三 角 形”是 等 腰 直 角 三 角 形,该 抛 物 线 的 顶 点犫,犫()满 足 犫 犫 (犫 )犫 ()存 在 如 图,作 犗 犆 犇 与 犗 犃 犅 关 于 原 点 犗 中 心 对 称,则

47、 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 平 行 四 边 形 当 犗 犃 犗 犅 时,平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 矩 形 又 犃 犗 犃 犅,犗 犃 犅 为 等 边 三 角 形 作 犃 犈 犗 犅,垂 足 为 犈 犃 犈槡 犗 犈 犫 槡 犫(犫 )犫槡 犃(槡,),犅(槡 ,)犆(槡,),犇(槡 ,)设 过 点 犗、犆、犇 三 点 的 抛 物 线 狔 犿 狓 狀狓,则犿槡 狀 ,犿槡狀 解 得犿 ,狀槡 ()所 求 抛 物 线 的 表 达 式 为 狔 狓 槡 狓(第 题)()命 题 :如 果 ,那 么 ;命 题 :如 果 ,那 么(第 题)()命 题 的 证 明:犃 犈 犇 犉,犃 犇

48、犃 犅 犆 犇,犃 犅 犅 犆 犆 犇 犅 犆,即 犃 犆 犇 犅 在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中,犈 犉,犃 犇,犃 犆 犇 犅,犃 犈 犆 犇 犉 犅()犆 犈 犅 犉(全 等 三 角 形 对 应 边 相 等)命 题 的 证 明:犃 犈 犇 犉,犃 犇 在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中,犈 犉,犃 犇,犆 犈 犅 犉,犃 犈 犆 犇 犉 犅(犃 犃 犛)犃 犆 犇 犅(全 等 三 角 形 对 应 边 相 等),则 犃 犆 犅 犆 犇 犅 犅 犆,即 犃 犅 犆 犇 注:命 题“如 果 ,那 么 ”是 假 命 题 情 况 一:题 设:;结 论:犅 犉 犈 犆,犅 犉 犆 犉 犈 犆 犆

49、 犉,即 犅 犆 犈 犉(第 题)在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中,犃 犅 犇 犈,犅 犈,犅 犆 犈 犉烅烄烆,犃 犅 犆 犇 犈 犉 情 况 二:题 设:;结 论:在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中,犃 犅 犇 犈,犅 犈,烅烄烆,犃 犅 犆 犇 犈 犉 犅 犆 犈 犉 犅 犆 犉 犆 犈 犉 犉 犆,即 犅 犉 犈 犆 情 况 三:题 设:;结 论:犅 犉 犈 犆,犅 犉 犆 犉 犈 犆 犆 犉,即 犅 犆 犈 犉 在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中,犅 犈,犅 犆 犈 犉,烅烄烆,犃 犅 犆 犇 犈 犉 犃 犅 犇 犈(注:若 题 设 为 ,结 论 为 则 不 可 以)()结 论:犅

50、 犇 犆 犈,犅 犇 犆 犈 结 论:犅 犇 犆 犈,犅 犇 犆 犈 理 由 如 下:犅 犃 犆 犇 犃 犈 ,犅 犃 犆 犇 犃 犆 犇 犃 犈 犇 犃 犆 即 犅 犃 犇 犆 犃 犈 在 犃 犅 犇 与 犃 犆 犈 中,犃 犅 犃 犆,犅 犃 犇 犆 犃 犈,犃 犇 犃 犈烅烄烆 犃 犅 犇 犃 犆 犈 犅 犇 犆 犈,犃 犅 犇 犃 犆 犈 延 长 犅 犇 交 犃 犆 于 犉,交 犆 犈 于 犎 在 犃 犅 犉 和 犎 犆 犉 中,犃 犅 犉 犎 犆 犉,犃 犉 犅 犎 犉 犆,犆 犎 犉 犅 犃 犉 犅 犇 犆 犈()结 论:乙 犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈,犅 犃 犆 犇 犃 犈

51、(),()小 芳 从 家 出 发 去 书 店 看 了 一 会 儿 书,又 返 回 家 中(注:本 题 答 案 不 唯 一,但 必 须 要 有 个 情 境,即“从 家 出 发”,“过 程 有 停 留”,“终 点 回 到 家”)()如 图(),连 结 犃 犌,正 方 形 犃 犈 犌 犎的 顶 点 犈、犎在 正 方 形 犃 犅 犆 犇的 边上,犌 犃 犈 犆 犃 犅 ,犃 犈 犃 犎,犃 犅 犃 犇 犃、犌、犆 共 线,犃 犅 犃 犈 犃 犇 犃 犎 犎 犇 犅 犈 犃 犌 犃 犈槡 犃 犈,犃 犆 犃 犅槡 犃 犅 犌 犆 犃 犆 犃 犌槡 犃 犅槡 犃 犈槡(犃 犅 犃 犈)槡犅 犈 犎 犇 犌

52、 犆 犈 犅槡 ()如 图(),连 结 犃 犌、犃 犆,犃 犇 犆 和 犃 犎 犌 都 是 等 腰 直 角 三 角 形,犃 犇 犃 犆 犃 犎 犃 犌槡 ,犇 犃 犆 犎 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犎 犇 犌 犆 犃 犇 犃 犆槡 犇 犃 犅 犎 犃 犈 ,犇 犃 犎 犅 犃 犈 在 犇 犃 犎 和 犅 犃 犈 中,犃 犇 犃 犅,犇 犃 犎 犅 犃 犈,犃 犎 犃 犈烅烄烆,犇 犃 犎 犅 犃 犈()犎 犇 犈 犅 犎 犇 犌 犆 犈 犅槡 ()有 变 化 如 图(),连 结 犃 犌、犃 犆 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀,又 犃 犇 犆 犃 犎 犌 ,

53、犃 犇 犆 犃 犎 犌 犃 犇 犃 犆 犃 犎 犃 犌 犿 犿 狀槡,犇 犃 犆 犎 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犎 犇 犌 犆 犃 犇 犃 犆 犿 犿 狀槡 犇 犃 犅 犎 犃 犈 ,犇 犃 犎 犅 犃 犈 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀,犃 犇 犎 犃 犅 犈 犇 犎 犅 犈 犃 犇 犃 犅 犿 狀 犎 犇 犌 犆 犈 犅 犿 犿 狀槡 狀(第 题)()等 腰 三 角 形 三 线 合 一(或 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线、底 边 上 的 中 线、底 边 上 的 高 互 相 重 合);角 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 距 离 相

54、 等()证 明:犆 犃 犆 犅,犃 犅 犗 是 犃 犅 的 中 点,犗 犃 犗 犅 犇 犉 犃 犆,犇 犈 犅 犆,犃 犕 犗 犅 犖 犗 在 犗 犕 犃 和 犗 犖 犅 中,犃 犅,犗 犃 犗 犅,犃 犕 犗 犅 犖 犗烅烄烆,犗 犕 犃 犗 犖 犅()犗 犕 犗 犖()犗 犕 犗 犖,犗 犕 犗 犖 理 由 如 下:如 图,连 结 犆 犗,则 犆 犗 是 边 犃 犅 上 的 中 线 犃 犆 犅 ,犗 犆 犃 犅 犗 犅 又 犆 犃 犆 犅,犆 犃 犅 犅 ,犃 犗 犆 犅 犗 犆 犅 犅 犖 犇 犈,犅 犖 犇 又 犅 ,犅 犇 犖 犖 犅 犃 犆 犅 ,犖 犆 犕 又 犅 犖 犇 犈,犇

55、 犖 犆 四 边 形 犇 犕 犆 犖 是 矩 形 犇 犖 犕 犆 犕 犆 犖 犅 又 犅,犗 犆 犗 犅,犕 犗 犆 犖 犗 犅()犗 犕 犗 犖,犕 犗 犆 犖 犗 犅 犕 犗 犆 犆 犗 犖 犖 犗 犅 犆 犗 犖,即 犕 犗 犖 犅 犗 犆 犗 犕 犗 犖(第 题)表 中 填:,关 系 式:犳 犿 狀 ()当 犿,狀 不 互 质 时,关 系 式 犳 犿 狀 不 成 立 例 如:当 犿 ,狀 时,如 图,对 角 线 所 穿 过 的 小 正 方 形 个 数 犳 ,而 犿 狀 ,等 式 犳 犿 狀 不 成 立(第 题)结 论 为:犈 犉 犃 犇 犅 犆,犈 犉 (犃 犇 犅 犆)理 由 如 下

56、:(第 题)如 图,连 结 犃 犉 并 延 长 交 犅 犆 于 点 犌 犃 犇 犅 犌,犇 犃 犉 犌 在 犃 犇 犉 和 犌 犆 犉 中,犇 犃 犉 犌,犇 犉 犃 犆 犉 犌,犇 犉 犉 犆烅烄烆,犃 犇 犉 犌 犆 犉 犃 犉 犉 犌,犃 犇 犆 犌 又 犃 犈 犈 犅,犈 犉 犅 犌,犈 犉 犅 犌 即 犈 犉 犃 犇 犅 犆,犈 犉 (犃 犇 犅 犆)()犃 犅 犈 犎 犆 犌 犈 犎 ()犿作 犈 犎 犃 犅 交 犅 犌 于 点 犎,则 犈 犎 犉 犃 犅 犉 犃 犅犈 犎 犃 犉犈 犉 犿,犃 犅 犿 犈 犎 犃 犅 犆 犇,犆 犇 犿 犈 犎 犈 犎 犃 犅 犆 犇,犅 犈 犎

57、 犅 犆 犌 犆 犌犈 犎 犅 犆犅 犈 犆 犌 犈 犎 犆 犇犆 犌 犿 犈 犎犈 犎 犿()犪犫 问 题 :四 边 形 犘 犆 犙 犇 是 平 行 四 边 形,若 对 角 线 犘 犙、犇 犆 相 等,则 四 边 形 犘 犆 犙 犇 是 矩 形,犇 犘 犆 犃 犇 ,犃 犅 ,犅 犆 ,犇 犆槡 设 犘 犅 狓,则 犃 犘 狓 在 犇 犘 犆 中,犘 犇 犘 犆 犇 犆 ,即 狓 (狓),化 简 得 狓 狓 (),方 程 无 解 对 角 线 犘 犙 与 犇 犆 不 可 能 相 等 问 题 :如 图(),在 平 行 四 边 形 犘 犆 犙 犇 中,设 对 角 线 犘 犙与 犇 犆 相 交 于

58、点 犌,则 犌 是 犇 犆 的 中 点 过 点 犙 作 犙 犎 犅 犆,交 犅 犆 的 延 长 线 于 犎 犃 犇 犅 犆,犃 犇 犆 犇 犆 犎,即 犃 犇 犘 犘 犇 犌 犇 犆 犙 犙 犆 犎 犘 犇 犆 犙,犘 犇 犆 犇 犆 犙 犃 犇 犘 犙 犆 犎 又 犘 犇 犆 犙,犃 犇 犘 犎 犆 犙 犃 犇 犎 犆 犃 犇 ,犅 犆 ,犅 犎 当 犘 犙 犃 犅 时,犘 犙 的 长 最 小,即 为 问 题 :如 图(),设 犘 犙 与 犇 犆 相 交 于 点 犌 犘 犈 犆 犙,犘 犇 犇 犈,犇 犌犌 犆 犘 犇犆 犙 犌 是 犇 犆 上 一 定 点 作 犙 犎 犅 犆,交 犅 犆 的

59、 延 长 线 于 点 犎 同 理 可 证 犃 犇 犘 犙 犆 犎 犃 犇 犘 犎 犆 犙,即 犃 犇犆 犎 犘 犇犆 犙 犆 犎 犅 犎 犅 犆 犆 犎 当 犘 犙 犃 犅 时,犘 犙 的 长 最 小,即 为 问 题 :如 图(),设 犘 犙 与 犃 犅 相 交 于 点 犌 犘 犈 犅 犙,犃 犈 狀犘 犃,犘 犃犅 犙 犃 犌犅 犌 狀 犌 是 犇 犆 上 一 定 点 作 犙 犎 犘 犈,交 犆 犅 的 延 长 线 于 犎,过 点 犆 作 犆 犓 犆 犇,交 犙 犎 的 延 长 线 于 犓 犃 犇 犅 犆,犃 犅 犅 犆,犇 犙 犎 犆,犇 犃 犘 犘 犃 犌 犙 犅 犎 犙 犅 犌 ,犘

60、犃 犌 犙 犅 犌 犙 犅 犎 犘 犃 犇 犃 犇 犘 犅 犎 犙 犃 犇犅 犎 犘 犃犅 犙 狀 犃 犇 ,犅 犎 狀 犆 犎 犅 犎 犅 犆 狀 狀 过 点 犇 作 犇 犕 犅 犆 于 犕,则 四 边 形 犃 犅 犖 犇 是 矩 形 犅 犕 犃 犇 ,犇 犕 犃 犅 犆 犕 犅 犆 犅 犕 犇 犕 犇 犆 犕 犓 犆 犎 犆 犓 犆 犎 槡(狀 )当 犘 犙 犆 犇 时,犘 犙 的 长 最 小,最 小 值 为 槡(狀 )()()()(第 题)()过 犈 作 直 线 平 行 于 犅 犆 交 犇 犆、犃 犅 分 别 于 点 犉、犌,则 犇 犉犉 犆 犇 犈犈 犘,犈 犕犈 犖 犈 犉犈 犌,犌

61、 犉 犅 犆 犇 犈 犈 犘,犇 犉 犉 犆 犈 犉 犆 犘 ,犈 犌 犌 犉 犈 犉 犈 犕犈 犖 犈 犉犈 犌 ()正 确 作 犕 犎 犅 犆 交 犃 犅 于 点 犎,则 犕 犎 犆 犅 犆 犇,犕 犎 犖 犇 犆 犘 ,犇 犆 犘 犕 犎 犖(第 题)犕 犖 犎 犆 犕 犖 犇 犕 犈 犆 犇 犘,犇 犘 犆 犆 犇 犘,犇 犘 犆 犕 犖 犎 犇 犘 犆 犕 犖 犎 犇 犘 犕 犖 ()犃 犅 犆 犇 是 矩 形,犃 犕 犇 犖 犓 犖 犕 犓 犕 犖 ,犓 犖 犕 犓 犕 犖 ,犓 犖 犕 犓 犕 犖 犕 犓 犖 ()不 能 如 图(),过 点 犕 作 犕 犈 犇 犖,垂 足 为 犈

62、,则 犕 犈 犃 犇 (第 题()由()知 犓 犖 犕 犓 犕 犖 犕 犓 犖 犓 又 犕 犓 犕 犈,犖 犓 犛 犕 犖 犓 犖 犓 犕 犈 犕 犖 犓 的 面 积 最 小 值 为 ,不 可 能 小 于 ()分 两 种 情 况:情 况 一:如 图(),将 矩 形 纸 片 对 折,使 点 犅 与 点 犇重 合,此 时 点 犓 也 与 点 犇重 合(第 题()设 犕 犓 犕 犇 狓,则 犃 犕 狓,由 勾 股 定 理,得 (狓)狓 解 得 狓 ,即 犕 犇 犖 犇 犛 犕 犖 犓 犛 犖 犆 犓 情 况 二:如 图(),将 矩 形 纸 片 沿 对 角 线 犃 犆 对 折,此 时 折痕 为 犃 犆

63、(第 题()设 犕 犓 犃 犓 犆 犓 狓,则 犇 犓 狓 同 理 可 得犕 犓 犖 犓 犛 犕 犖 犓 犕 犖 犓 的 面 积 最 大 值 为 ()连 结 犃 犆 犃 犅 犆 ,犃 犅 犅 犆 犃 犆 (第 题)犆 犇 犃 犇,犃 犇 犆 犇 犃 犆 犃 犇 犆 犇 犃 犅 ,犃 犅 犅 犆 犃 犅 犃 犅 犅 犆()过 犆 作 犆 犉 犅 犈 于 犉 犅 犈 犃 犇,四 边 形 犆 犇 犈 犉 是 矩 形 犆 犇 犈 犉 犃 犅 犈 犅 犃 犈 ,犃 犅 犈 犆 犅 犉 ,犅 犃 犈 犆 犅 犉 犅 犃 犈 犆 犅 犉 犃 犈 犅 犉 犅 犈 犅 犉 犈 犉 犃 犈 犆 犇 (),()选 择 过 点 犃 作 犃 犉 犅 犆,垂 足 为 犉,由 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 性质 知 犅 犉 犆 犉,犇 犉 犈 犉,犅 犉 犇 犉 犆 犉 犈 犉,即 犅 犇 犆 犈(第 题)

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