1、高考资源网() 您身边的高考专家解答题规范专练(一)函数与导数1已知函数f(x)ax2xxln x.(1)若a0,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)2,且在定义域内f(x)bx22x恒成立,求实数b的取值范围2已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax,g(x)3a2ln xb,其中a0,设两曲线yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同(1)用a表示b;(2)求证:f(x)g(x)(x0)3(2014辽宁高考)已知函数f(x)(xcos x)2sin x2,g(x)(x) 1.证明:(1)存在唯一x0,使 f(x0)0;(2)存在唯一x1,使 g(x1)0,且对(1)中的
2、x0,有 x0x1.答 案1解:(1)当a0时,f(x)xxln x,函数定义域为(0,)f(x)ln x,由ln x0,得x1.当x(0,1)时,f(x)0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x(1,)时,f(x)0,b1恒成立令g(x)1,可得g(x),g(x)在(0,1上单调递减,在1,)上单调递增,g(x)ming(1)0,实数b的取值范围是(,02解:(1)设曲线yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,f(x)x2a,g(x),依题意得即由x02a,得x0a或x03a(舍去),则ba22a23a2ln aa23a2ln a.(2)证明:设F(x)f(x)g(
3、x)x22ax3a2ln xb(x0),则F(x)x2a(x0),由F(x)0得xa或x3a(舍去)当x变化时,F(x),F(x)的变化情况如下表:x(0,a)a(a,)F(x)0F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0,)上的最小值是F(a)f(a)g(a)0.故当x0时,有f(x)g(x)0,即当x0时,f(x)g(x)3证明:(1)当x 时,f(x)sin x2cos x0,所以f(x)在上为增函数,又f(0)20,所以存在唯一x0,使f(x0)0.(2)当x时,化简得g(x)(x)1.令tx,记u(t)g(t)t1,t,则u(t).由(1)得,当t(0,x0)时,u(t)0.在上u(t)为增函数,由u0知,当t时,u(t)0,所以u(t)在上无零点在(0,x0)上u(t)为减函数,由u(0)1及u(x0)0知存在唯一t0(0,x0),使u(t0)0.于是存在唯一t0,使u(t0)0.设x1t0,则g(x1)g(t0)u(t0)0,因此存在唯一的x1,使g(x1)0.由于x1t0,t0.- 3 - 版权所有高考资源网