1、高考资源网（） 您身边的高考专家解答题规范专练(一)函数与导数1已知函数f(x)ax2xxln x.(1)若a0，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)2，且在定义域内f(x)bx22x恒成立，求实数b的取值范围2已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0，设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b；(2)求证：f(x)g(x)(x0)3(2014辽宁高考)已知函数f(x)(xcos x)2sin x2，g(x)(x) 1.证明：(1)存在唯一x0，使 f(x0)0；(2)存在唯一x1，使 g(x1)0，且对(1)中的
2、x0，有 x0x1.答 案1解：(1)当a0时，f(x)xxln x，函数定义域为(0，)f(x)ln x，由ln x0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x(1，)时，f(x)0，b1恒成立令g(x)1，可得g(x)，g(x)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，实数b的取值范围是(，02解：(1)设曲线yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x)，依题意得即由x02a，得x0a或x03a(舍去)，则ba22a23a2ln aa23a2ln a.(2)证明：设F(x)f(x)g(
3、x)x22ax3a2ln xb(x0)，则F(x)x2a(x0)，由F(x)0得xa或x3a(舍去)当x变化时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)F(x)0F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0，)上的最小值是F(a)f(a)g(a)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)3证明：(1)当x 时，f(x)sin x2cos x0，所以f(x)在上为增函数，又f(0)20，所以存在唯一x0，使f(x0)0.(2)当x时，化简得g(x)(x)1.令tx，记u(t)g(t)t1，t，则u(t).由(1)得，当t(0，x0)时，u(t)0.在上u(t)为增函数，由u0知，当t时，u(t)0，所以u(t)在上无零点在(0，x0)上u(t)为减函数，由u(0)1及u(x0)0知存在唯一t0(0，x0)，使u(t0)0.于是存在唯一t0，使u(t0)0.设x1t0，则g(x1)g(t0)u(t0)0，因此存在唯一的x1，使g(x1)0.由于x1t0，t0.- 3 - 版权所有高考资源网
