1、四川省宜宾市第四中学2020届高考数学第二次适应性考试试题 理注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则=ABCD2已知复数z满足,则 A1BCD23某公司生产,三种不同型号的轿车,产量之比依次为,为检验该公司的产品质量,用分
2、层抽样的方法抽取一个容量为的样本,若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆,则 A96B72C48D364已知向量,的夹角为,且,则 AB3CD5为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点 A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度6若实数x,y满足条件,目标函数,则z 的最大值为 AB1C2D07(+)(2-)5的展开式中33的系数为A-80B-40C40D808已知双曲线:的一条渐近线过点,则的离心率为 ABCD39若不等式对于一切恒成立,则的最小值是 A0BCD10某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是A
3、B C D11已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 ABCD12函数在区间上的零点个数为 A2B3C4D5第II卷 非选择题(90分)二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知直线:,:,且,则k的值_.14不等式在区间上的解集为_15已知直线与双曲线的一条渐近线交于点,双曲线的左、右顶点分别为,若,则双曲线的离心率为_.16已知函数()为奇函数,若函数与图像的交点为,则=_.三、解答题三解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分17(1
4、2分)的内角的对边分别为,已知.(1)求的大小;(2)若,求面积的最大值.18(12分)2020年春季,某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车,现有采购成本分别为万元/辆和万元/辆的两款车型,根据以往这两种出租车车型的数据,得到两款出租车车型使用寿命频数表如下:(1)填写下表,并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关?(2)从和的车型中各随机抽取车,以表示这车中使用寿命不低于年的车数,求的分布列和数学期望;(3)根据公司要求,采购成本由出租公司负责,平均每辆出租车每年上交公司万元,其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年,用频率估计每辆出
5、租车使用寿命的概率,分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据,如果你是该公司的负责人,会选择采购哪款车型?附:,.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819 (12分)如图,在三棱柱中,平面,分20 别为的中点,.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;20(12分)已知定点S( -2,0) ,T(2,0),动点P为平面上一个动点,且直线SP、TP的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点,是否存在直线l,使得l交轨迹E于M,N两点,且F(1,0)恰是BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.21(12分)已知函
6、数,.(1)求的极值; (2)若方程有三个解,求实数的取值范围.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系;(1)求曲线C的极坐标方程;(2)曲线C与直线l交于A、B两点,若,求k的值.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知,且(1)求证:;(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围四川省宜宾市第四中学高2020届第二次高考适应性考试理科数学参考答案1C2C3B4C5D6C7C8C9C10
7、B11B12C131415或163m17(1)由正弦定理得: ,又 ,即由得:(2)由余弦定理得:又(当且仅当时取等号) 即三角形面积的最大值为:18(1)填表如下:使用寿命不高于年使用寿命不低于年总计型3070100型5050100总计80120200由列联表可知,故有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.(2)由题意可知,型车使用寿命不低于年的车数占,低于年的车数占;型车使用寿命不低于年的车数占,低于年的车数占.且可能的取值为.,的分布列为:012其数学期望.(3)用频率估计概率,这辆款出租车的平均利润为:(万元),这辆款出租车的平均利润为:(万元),故会选择采购款车型.19解:(
8、1)在三棱柱中,平面,四边形为矩形.又分别为的中点,又,平面,平面平面.(2)由(1)知,由平面,平面.如图建立空间直角坐称系.由题意得设平面的法向量为,令,则,平面的法向量,又平面的法向量为,.所以二面角的余弦值为.20(1)设,由已知有, 整理得动点P的轨迹E的方程为(2)由(1)知,的方程为,所以又,所以直线的斜率,假设存在直线,使得是的垂心,则.设的斜率为,则,所以.设的方程为,.由,得, 由,得,.因为,所以,因为,所以,即,整理得,所以,整理得,解得或,当时,直线过点,不能构成三角形,舍去;当时,满足,所以存在直线:,使得是的垂心.21(1)的定义域为,当时,在上递减,在上递增,所
9、以在处取得极小值,当时,所以无极值,当时,在上递增,在上递减,所以在处取得极大值.(2)设,即,.若,则当时,单调递减,当时,单调递增,至多有两个零点.若,则,(仅).单调递增,至多有一个零点.若,则,当或时,单调递增;当时,单调递减,要使有三个零点,必须有成立.由,得,这与矛盾,所以不可能有三个零点.若,则.当或时,单调递增;当时,单调递减,要使有三个零点,必须有成立,由,得,由及,得,.并且,当时,.综上,使有三个零点的的取值范围为.22(1),所以曲线的极坐标方程为. (2)设直线的极坐标方程为,其中为直线的倾斜角,代入曲线得设所对应的极径分别为., 满足,或的倾斜角为或,则或23解:(1)由柯西不等式得,当且仅当时取等号;(2),要使得不等式恒成立,即可转化为,当时,可得,当时,可得,当时,可得,的取值范围为: