1、单元检测（六） 不等式(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知aR,则“a2”是“a22a”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:a2a22a,但是a22aa0或a2,故“a2”是“a22a”的充分不必要条件.答案:A2.(理)已知a,b,cR且|a-c|b|,则( )A.ab+c B.ac-b C.|a|b|-|c| D.|a|b|+|c|解析:|b|a-c|a|-|c|,所以|b|a|-|c|,即|a|b|+|c|.答案:D（文）（2009安徽合肥高三第一次质检，理1）不等式x21的
2、解集是( )A.x|-1x1 B.x|x1C.x|x-1 D.x|x-1或x1解析:x21|x|1-1x1.答案:A3.（理）已知(a2),(xR),则p,q的大小关系为( )A.pq B.pq C.pq D.pq解析：2+2=4,当且仅当a=3时，取得等号；而由于x2-2-2,故,当且仅当x=0时，取得等号，故pq.答案:A(文）已知不等式x2-4x+30;x2-6x+80;2x2-9x+m0;要使同时满足的x也满足,则m应满足( )A.m9 B.m=9 C.m9 D.0m9解析：的解分别为1x3,2x4,同时满足的x为2x3.由题意2x2-9x+m=0的两根分别在3,+)，（-,2内.23
3、2-93+m0,即m9.答案:C4.若直线2ax-by+2=0(a0,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是( )A. B. C.2 D.4解析:圆方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,则由直线被圆截得的弦长为4可知直线一定过圆心,从而有-2a-2b+2=0,即a+b=1,于是4,当且仅当时,有最小值4.答案:D5.不等式0的解集是（ ）A.(-,1 B.2,3 C. D.(-,12,3答案:D6.(理)如果x、yR,且x2+y2=1,那么(1-xy)(1+xy)有( )A.最小值和最大值1 B.最小值和最大值1C.最小值无最大值 D.最小值无最大值解析:令x
4、=cos,y=sin,则.0sin221,1.答案:A（文）设x、yR,那么|x|1且|y|1是0xy1成立的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要解析:设,y=0,则xy=0,不能推出0xy1;设x=2,满足0xy1,不能推出|x|1且|y|1.答案:D7.不等式0的解集为( )A.x|1x2 B.x|x2且x1C.x|x-1或1x2 D.x|-1x2且x1解析:原不等式可化为或即或x-1或1x2.选C.答案:C8.(理）已知函数,则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是( )A.x|-1x B.x|x1C.x|x D.x|x解析:由题意得不等式x+(x+1
5、)f(x+1)1等价于（1）或（2）解不等式组（1）得x0;解不等式组（2）得0x.因此原不等式的解集是x|x,选C.答案:C(文）已知函数则不等式f(x)x2的解集是( )A.-1,1 B.-2,2 C.-2,1 D.-1,2解析:由题意得不等式f(x)x2等价于(1)或(2).解不等式组(1)得-1x0;解不等式组(2)得0x1.因此原不等式的解集是-1,1,选A.答案:A9.关于x的不等式2x-1a(x-2)的解集为R,则a的取值范围是( )A.(2,+) B.2 C.(-,2) D.解析:原不等式可化为(a-2)x2a-1,当a=2时,2a-1=3,不等式化为03恒成立.不等式的解集为
6、R,a=2.答案:B10.已知集合M=x|,N=x|0,则MN等于( )A.(0,) B.(,2) C.(1,) D.(0,1)解析:由得2x23x,解得0x,由0得0x-11,解得1x2,所以MN=x|1x.答案:C11.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N两点关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是( )A. B. C.1 D.3解析:由题意得直线y=kx+1与直线x+y=0垂直,因此k=1.由于M,N两点关于直线x+y=0对称,且都在已知圆上,因此圆心(,)必在直线x+y=0上,所以m=-1.则不等式组可化为在坐标平面内画出该不等式
7、组对应的平面区域,结合图形可知不等式组表示的平面区域的面积为,选A.答案:A12.若不等式(1-a)n-alga0对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是( )A.a|a1 B.a|0aC.a|0a或a1 D.a|0a或a1解析:方法一:(排除法)取,则不等式为,对任意正整数n恒成立,排除A、D.取a=2,则不等式为（-n-2)lg20,对任意正整数n恒成立，排除B.方法二:由题意得或或或或0a或a1.答案:C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.(理)不等式的解集为_.解析:依题意,得,即0.解得不等式的解集为x|x-3或0x1.答案:x|x-3或0x1(文)不等式的解
8、集为_.解析:依题意,得2-1,x2+2x-4-1,即x2+2x-30,解得不等式的解集为x|-3x1.答案:x|-3x1 14.若不等式|x2-8x+a|x-4的解集为4,5,则实数a的值等于_.解析:由题可知解得a=16.答案:1615.若ab0,则与的大小关系是_.解析:由ab00a-ba.答案:16.若不等式|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是_.解析:x与同号,.(当且仅当x=1时取“=”)2|a-2|+1.|a-2|1,解得1a3.答案:(1,3)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本小题满分10分)(理)已知a0且a1,关于x的不等式ax1的解集
9、是x|x0,求关于x的不等式0的解集.解:ax1=a0的解集为x|x0,y=ax为减函数.0a1.不等式0等价于01.解得1x或-1x.原不等式的解集为x|1x或-1x.(文)已知关于x的不等式0.(1)当a=2时,求此不等式的解集;(2)当a-2时,求此不等式的解集.解:(1)当a=2时,不等式化为0,所以不等式的解集为x|-2x1或x2;(2)当a-2时,不等式可化为0,当-2a1时,解集为x|-2xa或x1;当a=1时,解集为x|x-2且x1;当a1时,解集为x|-2x1或xa.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式log2(ax2-3x+6)2的解集为x|x1或xb.(1)求a,
10、b的值；（2）解关于x的不等式(ax+b)(c-x)0（c为常数）.解:(1)由已知,得log2(ax2-3x+6)log222,ax2-3x+64,即ax2-3x+20的解集为x|x1或xb.ax2-3x+2=0的根为1或b且a0.,且.b=2,a=1.(2)由(1)知a=1,b=2,(x+2)(c-x)0.(x+2)(x-c)0.讨论:若c-2时,解集为x|-2xc;若c=-2时,解集为;若c-2时,不等式的解集为x|cx-2.19.(本小题满分12分)已知不等式|x-3|(aR)的解集为A,Z为整数集.(1)若A,求a的取值范围.(2)是否存在实数a,使AZ=3,4?若存在,求出a的范围
11、;若不存在,说明理由.解:(1)原不等式等价于不等式组为使A,6+a-a且6+aa-3.(2)由(1)知a-3,.-a.为使AZ=3,4,则有-2a-1.故存在实数a,使AZ=3，4，此时a-2,-1).20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)(xR)的二次项系数为正实数且满足f(1)=0.设向量a=（sinx,2),b=(2sinx,),c=(cos2x,1),d=(1,2),当x0,时，求不等式f(ab)f(cd)的解集.解:由题意可设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.f(1)=0,2a+b=0b=-2a.f(x)=2ax-2a=2a(x-1).a0,x(-
12、,1)时,f(x)0,f(x)为减函数.x(1,+)时,f(x)0,f(x)为增函数.由已知得ab=(sinx,2)(2sinx,)=2sin2x+11,cd=(cos2x,1)(1,2)=cos2x+21.又f(ab)f(cd),f(x)在1,+)上为增函数,abcd,即2sin2x+1cos2x+2.cos2x0.x0,2x0,2.2x,即x.原不等式解集为x|x.21.(本小题满分12分)工厂设备如果更新过早,设备的生产潜力未得到完全发挥就被抛弃,造成损失;更新过晚,设备生产率低下,维修费用昂贵,也会造成损失.现有一台设备,原价值k=40 000元,设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低
13、劣化)每年以=3 200元增加.若假定这台设备经使用之后余值为0,则这台设备更新的最佳年限是多少?分析:这是一最优化问题,要求设备何年更新最佳,即在哪几年平均消耗资金最少.解:设这台设备更新的最佳年限为n年,使用n年后,每年平均消耗资金为Q元,则有=16 000+1 600=17 600(元),当且仅当,即n=5时等号成立.使用5年时年平均费用最少,为17 600元.故这台设备更新最佳年限为5年.22.(本小题满分12分)（2009辽宁锦州高三上学期期末考试，理20）设函数f(x)=lnx,，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公切线.(1)求a、b的值;（2）对任意x0,试比较f(x)与g(x)的大小.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1,得c=1,故f(x)=ax2+bx+1,f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x.f(x)=x2-x+1.(2)由题意,得x2-x+12x+m在-1,1上恒成立,即x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立.设g(x)=x2-3x+1-m的图象的对称轴为直线,所以g(x)在-1,1上递减,故只需g(1)0,即12-31+1-m0,解得m-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
