1、第三讲 小题考法不等式考点(一)不等式的性质及解法主要考查利用不等式的性质比较大小以及一元二次不等式的求解，有时会考查含参不等式恒成立时参数值(或范围)的求解. 典例感悟典例(1)(2018岳阳模拟)若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2Cab|ab|(2)(2018河北正定期中)关于x的一元二次不等式x2axb0的解集为(，3)(1，)，则不等式ax2bx20的解集为()A(3,1) B(2，)C. D(1,2)(3)若不等式x2x1m2x2mx对任意的xR恒成立，则实数m的取值范围为_解析(1)由0，知a0，且b0，则ab0，又ab0，故ba0，|a|b|，a2b2，|a|b|
2、b|2，即ab0的解集为(，3)(1，)，可知方程x2axb0的两实数根分别为3,1，则解得所以不等式ax2bx20可化为2x23x20，即(2x1)(x2)0，解得x2，即所求不等式的解集为.(3)原不等式可化为(1m2)x2(1m)x10.若1m20，则m1或1.当m1时，不等式可化为10，显然不等式恒成立；当m1时，不等式可化为2x10，解得x，此时不等式的解集不是R，不符合题意若1m20，由不等式恒成立可得即解得m.综上，m的取值范围为(，1.答案(1)D(2)C(3)(，1方法技巧1判断关于不等式的命题真假的3种方法不等式性质法把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近
3、的性质，然后进行推理判断函数单调性法当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断特殊值验证法给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断2.一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)a对一切xI恒成立f(x)mina; f(x)a对一切xI恒成立f(x)maxg(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)g(x)min0(xI)(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常结合函数单调性、基本不等式
4、等解题演练冲关1若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq Dpq解析：选Bpqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0，若ab，则pq0，此时pq，若ab，则pq0，此时pq，综上，pq，故选B.2(2018湖北荆州月考)已知不等式x23x0的解集是A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么a()A2 B1C1 D2解析：选A解不等式x23x0，得Ax|0x3，解不等式x2x60，得Bx|3x2，又不等式x2axb0的解集是ABx|0x0，则由已知可得ax在x上恒成立，而当x时，max，a，故a的最小值为.答案：考点(二)基本不等式及其应用主要考查利用基本
5、不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.典例感悟典例(1)(2019届高三湘中名校联考)若正数a，b满足：1，则的最小值为()A2 BC. D1(2)已知f(x)log2(x2)，若实数m，n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值为_(3)已知x3y1(x0，y0)，则xy的最大值是_解析(1)由a，b为正数，且1，得b0，所以a10，所以22，当且仅当和1同时成立，即ab3时等号成立，所以的最小值为2.(2)由已知得log2(m2)log2(2n2)3，即log2(m2)(2n2)3，因此于是n1.所以mnm1m23237.当且仅当m2，即m4时等号成立，此时mn取得最小值7.(3)x0，y
6、0，xyx3y2，当且仅当x3y时，等号成立，故xy的最大值是.答案(1)A(2)7(3) 方法技巧利用基本不等式求最值的3种解题技巧演练冲关1(2018贵阳一模)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：选B由题意得x2y8x2y82，当且仅当x2y时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，所以x2y4，即x2y的最小值为4.2(2017山东高考)若直线1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为_解析：直线1(a0，b0)过点(1,2)，1，a0，b0，2ab(2ab)4428，当且仅当，即a2
7、，b4时等号成立，2ab的最小值为8.答案：83(2017天津高考)若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：44(2018温州一模)已知2a4b2(a，bR)，则a2b的最大值为_解析：2a4b2a22b22，当且仅当a2b时，等号成立，则2a2b120，所以a2b0，所以a2b的最大值为0.答案：0考点(三)简单的线性规划问题主要考查线性约束条件、可行域等概念，考查在约束条件下最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围.典例感悟典例(1)(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_(2)(
8、2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_(3)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为_元.奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600解析(1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx.平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.(
9、2)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线yx过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得zmin5.(3)设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，yN，则乙厂生产一等奖奖品(3x)件，二等奖奖品(6y)件则x，y满足设费用为z元，则z500x400y800(3x)600(6y)300x200y6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin300320016 0004 900(元)答案(1)6(2)5(3)4 9
10、00方法技巧解决线性规划问题的3步骤演练冲关1(2018唐山模拟)设变量x，y满足则目标函数z2xy的最小值为()A.B2C4 D6解析：选A作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示当直线y2xz过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小，由得所以C，zmin2，选择A.2(2019届高三福州四校联考)设x，y满足约束条件其中a0，若的最大值为2，则a的值为()A. BC. D.解析：选C设z，则yx，当z2时，yx，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线yx，易知此直线与区域的边界线2x2y10的交点为，当直线xa过点时a，又此时直线yx的斜率1的最小值为，即z
11、的最大值为2，符合题意，所以a的值为，故选C.3(2019届高三河北五个一名校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A15万元 B16万元C17万元 D18万元解析：选D设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z3x4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z3x4y过点M时，z3x4y取得最大值，由得M(2,3)，故z3x4y的最大值为18，故选D.4(2019届高三山西八校联考)若实数
12、x，y满足不等式组且3(xa)2(y1)的最大值为5，则a_.解析：设z3(xa)2(y1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z3(xa)2(y1)得yx，作出直线yx，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1a)2(31)5，解得a2.答案：2 必备知能自主补缺依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1不等式的性质(1)ab，bcac；(2)ab，c0acbc；ab，c0acbc；(3)abacbc；(4)ab，cdacbd；(5)ab0，cd0acbd；(6)ab0，nN，n1anbn，.
13、2简单分式不等式的解法(1)0f(x)g(x)0，0f(x)g(x)0.(2)00(3)对于形如a(a)的分式不等式要采取：“移项通分化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解二级结论要用好1一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0时，易忽视对系数a符号的讨论导致漏解或错解针对练1抛物线yax2bxc与x轴的两个交点分别为(，0)，(，0)，则ax2bxc0的解的情况是()Ax|x或x0时，解集为x或x；当a0时，解集为x.3应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把0直接转化为f(x)g(x)0，而忽视g(x)0.针对练2不等式0的解集为
14、_解析：0即解得x1或x2.答案：x|x1或x24容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)的最值时，就不能利用基本不等式求解；求函数yx(xb，a，b，cR，则下列式子正确的是()Aac2bc2B.1Cacbc Da2b2解析：选Cab，若c0，则ac2bc2，故A错；ab，若b0，则b，不论c取何值，都有acbc，故C正确；ab，若a，b都小于0，则a22，则f(n)，g(n)，(n)的大小关系是()A(n)f(n)g(n) B(n)f(n)g(n)Cf(n)(n)g(n) Df(n)(n)g(n)解析：选Cf(n)n，所以f(n)(n)0，b0
15、，即2a3b1，所以(2a3b)49132 25，当且仅当，即ab时取等号，所以的最小值为25.4(2018陕西模拟)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选C作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2xy0，平移该直线，可知当直线过点A(2，1)时，z2xy取得最大值，且zmax2213.5不等式0的解集为()Ax|2x3Bx|3x2Cx|x3，或1x2Dx|x2解析：选B0或解得3x2.选B.6若函数f(x)则“0x1”是“f(x)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当0x1时，f(x)log2x0，所以
16、“0x1”“f(x)0”；若f(x)0，则或解得0x1或1x0，所以1x1，所以“f(x)0”/ “0x1”故选A.7(2018重庆模拟)若实数x，y满足约束条件则2xy的最小值为()A3 B4C5 D7解析：选B作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z2xy，作出直线2xy0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z2xy取得最小值，且zmin2124，故选B.8(2018广东模拟)已知函数f(x)若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(3,1)C(2,0) D(3,2)解析：选B如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，
17、f(3a2)2a，解得3a1(a0，a1)的解集为(a,2a)，且函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围为()A(1,0) B1,0C(0,1 D1,1解析：选B当a1时，由题意可得x2ax2a20的解集为(a,2a)，这显然是不可能的当0a1时，由题意可得x2ax2a2a，知xa0，则2x2(xa)2a2 2a42a，由题意可知42a7，解得a，即实数a的最小值为.答案：14(2018长春模拟)已知角，满足，0，则3的取值范围是_解析：设3m()n()(mn)(nm)，则解得因为，0，所以2()，故32.答案：(，2)15(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：
18、作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示由图可知当直线xyz过点A时z取得最大值由得点A(5,4)，zmax549.答案：916已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c_.解析：由函数值域为0，)知，函数f(x)x2axb(a，bR)的图象在x轴上方，且与x轴相切，因此有a24b0，即b，f(x)x2axbx2ax2.f(x)2c，解得x，x.不等式f(x)c的解集为(m，m6)，26，解得c9.答案：9B级难度小题强化练1(2018合肥二模)若关于x的不等式x2ax20在区间1,4上有解，则实数a的取值范围为()A(，
19、1) B(，1C(1，) D1，)解析：选A法一：因为x1,4，则不等式x2ax20可化为ax，设f(x)x，x1,4，由题意得只需af(x)max，因为函数f(x)为区间1,4上的减函数，所以f(x)maxf(1)1，故a1.法二：设g(x)x2ax2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，2)，因为g(x)0在区间1,4上有解，所以g(1)0，解得a1.2(2018衡水二模)若关于x的不等式x24ax3a20(a0)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是()A. BC. D.解析：选C关于x的不等式x24ax3a20(a0)的解集为(x1，x2)，16a212a24a20
20、，又x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，当且仅当a时取等号x1x2的最小值是.3(2018沈阳一模)设不等式x22axa20的解集为A，若A1,3，则a的取值范围为()A. BC. D1,3解析：选A设f(x)x22axa2，因为不等式x22axa20的解集为A，且A1,3，所以对于方程x22axa20，若A，则4a24(a2)0，即a2a20，解得1a2；若A，则即所以2a.综上，a的取值范围为，故选A.4(2018武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元
21、，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为()A1 800元 B2 100元C2 400元 D2 700元解析：选C设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元根据题意，有z300x400y.作出所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，zmax40062 400，故选C.5当x(0,1)时，不等式m恒成立，则m的最大值为_解析：由已知不等式可得m，x(0,1)，1x(0,1)，x(1x)1，x(1x)552 9，当且仅当，即x时取等号，m9，即实数m的最大值为9.答案：96(2018洛阳尖子生统考)已知x，y满足条件则的取值范围是_解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，12，表示可行域中的点(x，y)与点P(1，1)连线的斜率由图可知，当x0，y3时，取得最大值，且max9.因为点P(1，1)在直线yx上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min3.所以的取值范围是3,9答案：3,9
