1、 奈 望 林 纳 奖 是 在 年 月 由 国 际 数 学 联 盟 行 政 委 员 会 成 立 的 一 个 重 要 的 数 学 奖 项，而 这 个 奖 项 主 要 是 表 扬 在 信 息 科 学 数 学 理 论方 面 有 突 出 贡 献 的 数 学 家 这 个 奖 项 跟 费 尔 兹 奖 相 似，包 括 一 个 金 奖 牌 和 奖 金 而 且 也 是 在 四 年 一 度 的 国 际 数 学 家 会 议 中 颁 发 年 月，国 际 数 学 联 盟 正 式 接 受 由 赫 尔 辛 基 大 学 赞 助 这 个 奖 项 奖 牌 正 面 是 罗 尔 夫 内 伐 里 纳 像，是 为 纪 念 芬 兰 数 学
2、家 罗 尔 夫 内 伐 里 纳，他 曾 出 任 赫 尔 辛 基 大 学 校 长 及 国 际 数 学 联 盟 的 主 席，五 十 年 代 他 在 芬 兰 各 大 学 积 极 推 动 计 算 机 组 织 获 奖 者 的 名 字 会 印 在 奖 牌的 边 缘 之 上 开 放 探 究 题 题 型 特 点探 究 性 问 题 为 学 生 提 供 了 广 阔 的 思 维 空 间，有 利 于 调 动 学生 的 创 新 意 识 和 探 究 兴 趣，成 为 近 几 年 中 考 的 热 点 题 型 之 一 探究 型 问 题 是 指 命 题 中 缺 少 一 定 的 条 件 或 无 明 确 的 结 论，需 要 经过 推
3、 断、补 充 并 加 以 证 明 的 题 型，探 究 性 问 题 具 有 以 下 特 点：条 件 的 不 确 定 性 结 构 的 多 样 性 思 维 的 多 向 性 解 答 的 层 次 性 过 程 的 探 究 性 知 识 的 探 究 性 这 类 问 题 具 有 较 强 的 综 合 性，涉 及 的 数 学 基 础 知 识 较 为 广泛，既 能 考 查 学 生 对 基 础 知 识 掌 握 的 熟 练 程 度，又 能 考 查 学 生 的观 察、分 析、概 括 能 力，能 从 具 体、特 殊 的 事 实 中 探 究 其 存 在 的 规律，把 藏 在 表 面 现 象 中 的 一 般 规 律 挖 掘 出
4、来 命 题 趋 势开 放 探 究 性 问 题 是 一 个 充 满 着 观 察、归 纳、猜 想、尝 试、探 究的 发 现 过 程，需 要 学 生 对 问 题 进 行 多 方 位、多 角 度、多 层 次 的 思考、审 视，对 培 养 学 生 的 创 造 性 思 维 能 力、推 理 能 力、直 觉 思 维 能力 和 全 面 提 高 学 生 的 数 学 素 养 具 有 重 要 的 意 义，倍 受 中 考 命 题者 的 青 睐，是 中 考 试 题 的 热 点 之 一 罗 斯 文 豪 屠 格 涅 夫 遇 见 一 个 乞 丐，他 很 想 有 所 施 舍，但 他 翻 遍 所 有 的 口 袋 却 没 找 到 一
5、 分 钱。见 乞 丐 的 手 高 高 地 举 着，他 握 着 乞 丐 的 手说：“兄 弟，实 在 对 不 起，我 忘 了 带 钱 出 来。”乞 丐 流 着 泪 说：“您 能 叫 我 兄 弟，让 我 和 您 站 在 同 一 条 线 上 就 已 经 让 我 感 激 不 尽 了。”【例】（湖 南 湘 潭）如 图，抛 物 线 狔 犪狓 狓 （犪 ）的 图 象 与 狓 轴 交 于 犃、犅 两 点，与 狔 轴 交 于 点 犆，已 知 点 犅 坐标 为（，）（）求 抛 物 线 的 解 析 式；（）试 探 究 犃 犅 犆 的 外 接 圆 的 圆 心 位 置，并 求 出 圆 心 坐 标；（）若 点 犕是 线 段
6、 犅 犆 下 方 的 抛 物 线 上 一 点，求 犕 犅 犆 的面 积 的 最 大 值，并 求 出 此 时 点 犕 的 坐 标【命 题 意 图 分 析】探 索 是 人 类 认 识 客 观 世 界 过 程 中 最 生动、最 活 跃 的 思 维 活 动，探 索 性 问 题 存 在 于 一 切 学 科 领 域 之 中，在 数 学 中 则 更 为 普 遍 初 中 数 学 中 的“探 索 发 现”型 试 题 是 指 命题 中 缺 少 一 定 的 题 设 或 未 给 出 明 确 的 结 论，需 要 经 过 推 断、补 充并 加 以 证 明 的 命 题，它 不 像 传 统 的 解 答 题 或 证 明 题，在
7、 条 件 和 结论 给 出 的 情 景 中 只 需 进 行 由 因 导 果 或 由 果 索 因 的 工 作，从 而 定格 于“条 件 演 绎 结 论”这 样 一 个 封 闭 的 模 式 之 中，而 是必 须 利 用 题 设 大 胆 猜 想、分 析、比 较、归 纳、推 理，或 由 条 件 去 探索 不 明 确 的 结 论；或 由 结 论 去 探 索 未 给 予 的 条 件；或 去 探 索 存 在的 各 种 可 能 性 以 及 发 现 所 形 成 的 客 观 规 律 开 放 性 试 题 重 在 开发 思 维，促 进 创 新，提 高 数 学 素 养，所 以 是 近 几 年 中 考 试 题 的 热点
8、考 题 观 察、实 验、猜 想、论 证 是 解 决 这 类 问 题 的 科 学 思 维 方法，学 习 中 应 重 视 并 应 用 本 题 考 查 了 二 次 函 数 综 合 题，但 用 到 的 琐 碎 知 识 点 较 多，综合 性 很 强 熟 练 掌 握 直 角 三 角 形 的 相 关 性 质 以 及 三 角 形 的 面 积公 式 是 理 出 思 路 的 关 键【解 答】（）将 犅（，）代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中，得 犪 ，即 犪 抛 物 线 的 解 析 式 为 狔 狓 狓 （）由（）的 函 数 解 析 式 可 求 得 犃（，）、犆（，）犗 犃 ，犗 犆 ，犗 犅 ，即 犗 犆 犗
9、 犃 犗 犅 又 犗 犆 犃 犅，犗 犃 犆 犗 犆 犅 犗 犆 犃 犗 犅 犆 犃 犆 犅 犗 犆 犃 犗 犆 犅 犗 犅 犆 犗 犆 犅 犃 犅 犆 为 直 角 三 角 形，犃 犅 为 犃 犅 犆 外 接 圆 的 直 径 所 以 该 外 接 圆 的 圆 心 为 犃 犅 的 中 点，且 坐 标 为，（）（）由 犅（，）、犆（，），可 得 直 线 犅 犆 的 解 析 式 为 狔 狓 设 直 线 犾 犅 犆，则 该 直 线 的 解 析 式 可 表 示 为 狔 狓 犫 当 直 线 犾 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 时，可 列 方 程 狓 犫 狓 狓 ，即 狓 狓 犫 ，且 （犫），即 犫
10、 直 线 犾：狔 狓 由 于 犛 犕 犅 犆 犅 犆 犺，当 犺 最 大（即 点 犕到 直 线 犅 犆 的 距 离最 远）时，犃 犅 犆 的 面 积 最 大，所 以 点 犕 即 直 线 犾 和 抛 物 线 的 唯 一 交 点，有狔 狓 狓 ，狔 狓 烅烄烆，解 得狓 ，狔 犕（，）【方 法 点 拨】（）该 函 数 解 析 式 只 有 一 个 待 定 系 数，只 需 将点 犅 坐 标 代 入 解 析 式 中 即 可（）首 先 根 据 抛 物 线 的 解 析 式 确 定 点 犃 坐 标，然 后 通 过 证 明 犃 犅 犆 是 直 角 三 角 形 来 推 导 出 直 径 犃 犅和 圆 心 的 位 置
11、，由 此 确定 圆 心 坐 标（）犕 犅 犆 的 面 积 可 由 犛 犕 犅 犆 犅 犆 犺 表 示，若 要 它 的 面 积最 大，需 要 使 犺 取 最 大 值，即 点 犕到 直 线 犅 犆 的 距 离 最 大，若 设一 条 平 行 于 犅 犆 的 直 线，那 么 当 该 直 线 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交点 时，该 交 点 就 是 点 犕【误 区 警 示】本 题 探 究 主 要 在 第（）问，要 注 意 条 件 的 运用，当 直 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 时，联 立 方 程 组 时 取 ；另外 三 角 形 底 边 一 定，要 想 面 积 最 大，只 要 高
12、 最 大 即 可一、选 择 题 （江 苏 扬 州）大 于 的 正 整 数 犿 的 三 次 幂 可“分 裂”成若 干 个 连 续 奇 数 的 和，如 ，若 犿 分 裂 后，其 中 有 一 个 奇 数 是 ，则犿 的 值 是（）（江 西 南 昌）如 图，有 犪，犫，犮 三 户 家 用 电 路 接 入 电 表，相邻 电 路 的 电 线 等 距 排 列，则 三 户 所 用 电 线（）犪 户 最 长 犫 户 最 长 犮 户 最 长 三 户 一 样 长（第 题）（第 题）根 小 小 的 柱 子，一 截 细 细 的 链 子，拴 得 住 一 头 千 斤 重 的 大 象，这 不 荒 谬 吗？可 这 荒 谬 的
13、场 景 在 印 度 和 秦 国 随 处 可 见。那 些 驯 象 人，在大 象 还 是 小 象 的 时 候，就 用 一 条 铁 链 将 它 绑 在 水 泥 柱 或 钢 柱 上，无 论 小 象 怎 么 挣 扎 都 无 法 挣 脱。小 象 渐 渐 地 习 惯 了 不 挣 扎，直 到 长 成 了 大象，可 以 轻 而 易 举 地 挣 脱 链 子 时，也 不 挣 扎。小 象 是 被 链 子 绑 住，而 大 象 则 是 被 习 惯 绑 住。习 惯 几 乎 可 以 绑 住 一 切。（贵 州 六 盘 水）如 图 为 反 比 例 函 数 狔 狓 在 第 一 象 限 的图 象，点 犃 为 此 图 象 上 的 一
14、动 点，过 点 犃 分 别 作 犃 犅 狓 轴 和犃 犆 狔 轴，垂 足 分 别 为 犅、犆，则 四 边 形 犗 犅 犃 犆 周 长 的 最 小 值为（）（江 苏 泰 州）四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，对 角 线 犃 犆、犅 犇 相 交 于点 犗，给 出 下 列 四 组 条 件：犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆；犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆；犃 犗 犆 犗，犅 犗 犇 犗；犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆 其 中一 定 能 判 断 这 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 条 件 共 有（）组 组 组 组（第 题）（四 川 达 州）如 图，在 犃 犅 犆 犇中，犈是 犅 犆的 中 点，且
15、 犃 犈 犆 犇 犆 犈，则 下 列 结 论不正确獉獉獉的 是（）犛 犃犉 犇 犛 犈犉 犅 犅 犉 犇 犉 四 边 形 犃 犈 犆 犇 是 等 腰 梯 形 犃 犈 犅 犃 犇 犆二、填 空 题（贵 州 安 顺）如 图，添 加 一 个 条 件 使 得 犃 犇 犈 犃 犆 犅 （第 题）（第 题）（四 川 广 元）如 图，点 犃 的 坐 标 为（，），点 犅 在 直 线狔 狓 上 运 动，当 线 段 犃 犅 最 短 时，点 犅 的 坐 标 为 （新 疆）请 你 写 出 一 个 主 视 图 与 左 视 图 相 同 的 立 体 图 形是 （四 川 绵 阳）如 图 所 示，犅 犆 犈 犆，要 使 犃
16、犅 犆 犇 犈 犆，则 应 添 加 的 一 个 条 件 为 （第 题）（第 题）（辽 宁 丹 东）如 图，边 长 为 的 正 方 形 犃 犅 犆 犇 内 部 有一 点 犘，犅 犘 ，犘 犅 犆 ，点 犙 为 正 方 形 边 上 一 动 点，且 犘 犅 犙 是 等 腰 三 角 形，则 符 合 条 件 的 点 犙 有 个 （贵 州 黔 东 南 州）用 根 相 同 长 度 的 木 棒 在 空 间 中 最多 可 搭 成 个 正 三 角 形 （广 州 白 云 区 模 拟）已 知 反 比 例 函 数 狔 犽狓，其 图 象 所在 的 每 个 象 限 内 狔 随 着 狓 的 增 大 而 增 大，请 写 出 一
17、 个 符 合 条件 的 反 比 例 函 数 关 系 式：（安 徽）定 义 运 算 犪 犫 犪（犫），下 列 给 出 了 关 于 这种 运 算 的 几 点 结 论：（）；犪 犫 犫 犪；若 犪 犫 ，则（犪 犪）（犫 犫）犪犫；若 犪 犫 ，则 犪 其 中 正 确 结 论 序 号 是 （在 横 线 上 填 上 你 认 为 所 有正 确 结 论 的 序 号）三、解 答 题 （陕 西）如 果 一 条 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮（犪 ）与 狓轴 有 两 个 交 点，那 么 以 该 抛 物 线 的 顶 点 和 这 两 个 交 点 为 顶 点的 三 角 形 称 为 这 条 抛 物 线 的“抛 物 线
18、三 角 形”（）“抛 物 线 三 角 形”一 定 是 三 角 形；（）若 抛 物 线 狔 狓 犫狓（犫 ）的“抛 物 线 三 角 形”是 等 腰直 角 三 角 形，求 犫 的 值；（）如 图，犗 犃 犅 是 抛 物 线 狔 狓 犫狓（犫 ）的“抛 物 线三 角 形”，是 否 存 在 以 原 点 犗 为 对 称 中 心 的 矩 形 犃 犅 犆 犇？若 存 在，求 出 过 犗、犆、犇 三 点 的 抛 物 线 的 表 达 式；若 不 存在，说 明 理 由（第 题）（四 川 广 元）如 图，在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中，犈 犉，点 犃、犅、犆、犇 在 同 一 直 线 上，有 如 下 三 个 关
19、系 式：犃 犈 犇 犉，犃 犅 犆 犇，犆 犈 犅 犉（）请 用 其 中 两 个 关 系 式 作 为 条 件，另 一 个 作 为 结 论，写 出 你认 为 正 确 的 所 有 命 题（用 序 号 写 出 命 题 书 写 形 式：“如 果 ，那 么 ”）；（）选 择（）中 你 写 出 的 一 个 命 题，说 明 它 正 确 的 理 由（第 题）（福 建 漳 州）在 数 学 课 上，林 老 师 在 黑 板 上 画 出 如 图 所示 的 图 形（其 中 点 犅、犉、犆、犈 在 同 一 直 线 上），并 写 出 四 个 条件：犃 犅 犇 犈，犅 犉 犈 犆，犅 犈，请 你 从 这 四 个 条 件 中
20、选 出 三 个 作 为 题 设，另 一 个 作 为 结 论，组 成 一 个 真 命 题獉 獉 獉，并 给 予 证 明 题 设：；结 论：（均 填 写 序 号）证 明：（第 题）在 南 美 洲 的 某 些 地 区，有 一 种 毒 性 极 强 的 蛇 响 尾 蛇 它 的 尾 巴 剧 烈 地 摇 动 发 出 流 水 似 的 声 音，引 诱 在 炎 热 天 气 里 口 渴 的 小 动 物 上钩，从 而 捕 食 之 响 尾 蛇 为 什 么 能 发 出 响 声 呢？观 察 裁 判 员 吹 的“裁 判 哨”可 以 得 出 结 论：金 属 壳 子 里 装 上 了 一 层 隔 膜，形 成 了 两 个 空 泡，当
21、 人 用 力 吹时，空 泡 受 到 空 气 的 振 动 发 出 声 音 响 尾 蛇 的 尾 巴 与 哨 子 有 类 似 的 构 造 它 的 外 壳 不 是 金 属，而 是 由 坚 硬 的 皮 肤 形 成 的 角 质 轮，轮 内 的 空 腔 又 被 角 质 膜 隔 成 两 个 环 状 空泡 当 响 尾 蛇 剧 烈 摇 动 尾 巴 时，就 像 人 吹 哨 子 一 样，空 泡 受 空 气 的 振 动 而 发 出 声 音 （辽 宁 阜 新）（）如 图，在 犃 犅 犆 和 犃 犇 犈 中，犃 犅 犃 犆，犃 犇 犃 犈，犅 犃 犆 犇 犃 犈 当 点 犇 在 犃 犆 上 时，如 图（），线 段 犅 犇、
22、犆 犈 有 怎 样 的 数 量关 系 和 位 置 关 系？直 接 写 出 你 猜 想 的 结 论 将 图（）中 的 犃 犇 犈 绕 点 犃 顺 时 针 旋 转 角（），如图（），线 段 犅 犇、犆犈 有 怎 样 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系？请 说 明理 由（）当 犃 犅 犆 和 犃 犇 犈 满 足 下 面 甲、乙、丙 中 的 哪 个 条 件时，使 线 段 犅 犇、犆 犈 在（）中 的 位 置 关 系 仍 然 成 立？不 必说 明 理 由 甲：犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犈 ；乙：犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犈 ；丙：犃 犅 犃 犆
23、 犃 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犈 （第 题）（吉 林）在 如 图 所 示 的 三 个 函 数 图 象 中，有 两 个 函 数 图象 能 近 似 地 刻 画 如 下 犪，犫 两 个 情 境：情 境 犪：小 芳 离 开 家 不 久，发 现 把 作 业 本 忘 在 家 里，于 是 返 回家 里 找 到 了 作 业 本 再 去 学 校；情 境 犫：小 芳 从 家 出 发，走 了 一 段 路 程 后，为 了 赶 时 间，以 更快 的 速 度 前 进（）情 境 犪，犫 所 对 应 的 函 数 图 象 分 别 为 ，；（填 写 序 号）（）请 你 为 剩 下 的 函 数 图 象 写 出 一 个 适
24、 合 的 情 境（第 题）（四 川 资 阳）（）如 图（），正 方 形 犃 犈 犌 犎的 顶 点 犈、犎在 正 方 形 犃 犅 犆 犇的 边 上，直 接 写 出 犎 犇 犌 犆 犈 犅 的 结 果；（不 必 写 计 算 过 程）（）将 图（）中 的 正 方 形 犃 犈 犌 犎绕 点 犃旋 转 一 定 角 度，如 图（），求 犎 犇 犌 犆 犈 犅；（）把 图（）中 的 正 方 形 都 换 成 矩 形，如 图（），且 已 知 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀，此 时 犎 犇 犌犆 犈 犅 的 值 与（）小题 的 结 果 相 比 有 变 化 吗？如 果 有 变 化，直 接 写 出 变 化 后
25、 的结 果（不 必 写 计 算 过 程）（）（）（）（第 题）（山 西）问 题 情 境：将 一 副 直 角 三 角 板（犃 犅犆 和 犇 犈 犉）按 图（）所 示 的 方 式 摆 放，其 中 犃犆犅 ，犆 犃 犆犅，犉 犇 犈 ，犗 是 犃 犅 的 中 点，点 犇 与 点 犗 重 合，犇 犉 犃犆 于 点犕，犇 犈 犅犆 于 点 犖，试 判 断 线 段 犗 犕 与 犗 犖 的 数 量 关 系，并 说 明理 由 探 究 展 示：小 宇 同 学 展 示 出 如 下 正 确 的 解 法：解：犗 犕 犗 犖，证 明 如 下：连 结 犆 犗，则 犆 犗 是 犃 犅 边 上 的 中 线 犆 犃 犆 犅，犆
26、 犗 是 犃 犆 犅 的 角 平 分 线（依 据 ）犗 犕 犃 犆，犗 犖 犅 犆，犗 犕 犗 犖（依 据 ）反 思 交 流：（）上 述 证 明 过 程 中 的“依 据 ”和“依 据 ”分 别 是 指：依 据 ：依 据 ：（）你 有 与 小 宇 不 同 的 思 考 方 法 吗？请 写 出 你 的 证 明 过 程 拓 展 延 伸：（）将 图（）中 的 犇 犈 犉 沿 着 射 线 犅 犃 的 方 向 平 移 至 如 图（）所 示 的 位 置，使 点 犇 落 在 犅 犃 的 延 长 线 上，犉 犇 的 延 长 线 与犆 犃 的 延 长 线 垂 直 相 交 于 点 犕，犅犆 的 延 长 线 与 犇 犈
27、 垂 直 相 交于 点 犖，连 结 犗 犕、犗 犖，试 判 断 线 段 犗 犕、犗 犖 的 数 量 关 系 与 位置 关 系，并 写 出 证 明 过 程（）（）（第 题）（河 南）类 比、转 化、从 特 殊 到 一 般 等 思 想 方 法，在 数 学学 习 和 研 究 中 经 常 用 到，如 下 是 一 个 案 例，请 补 充 完 整 原 题：如 图（），在 犃 犅 犆 犇 中，点 犈 是 边 犅 犆 上 的 中 点，点 犉是 线 段 犃 犈 上 一 点，犅 犉 的 延 长 线 交 射 线 犆 犇于 点 犌，若 犃 犉犈 犉 ，求 犆 犇犆 犌 的 值（）尝 试 探 究在 图（）中，过 点 犈
28、 作 犈 犎 犃 犅 交 犅 犌 于 点 犎，则 犃 犅 和犈 犎的 数 量 关 系 是 ，犆 犌 和 犈 犎的 数 量 关 系 是 ，犆 犇犆 犌 的 值 是 （）类 比 延 伸如 图（），在 原 题 的 条 件 下，若 犃 犉犈 犉 犿（犿 ），则 犆 犇犆犌 的 值 是 （用 含 犿 的 代 数 式 表 示），试 写 出 解 答 过 程（）拓 展 迁 移如 图（），梯 形 犃 犅犆 犇 中，犇 犆 犃 犅，点 犈 是 犅犆 延 长 线 上 一点，犃 犈 和 犅 犇 相 交 于 点 犉，若 犃 犅犆 犇 犪，犅犆犅 犈 犫（犪 ，犫 ），则犃 犉犈 犉 的 值 是 （用 含 犪，犫 的 代
29、 数 式 表 示）（）（）（）（第 题）开 放 探 究 题 解 析 ，犿 分 裂 后 的 第 一 个 数 是 犿（犿 ），共 有 犿 个 奇 数 （），（），第 个 奇 数 是 底 数 为 的 数 的 立 方 分 裂 后 的 一个 奇 数 犿 解 析 犪，犫，犮 三 户 家 用 电 路 接 入 电 表，相 邻 电 路的 电 线 等 距 排 列，将 犪 向 右 平 移 即 可 得 到 犫，犮 图 形 的 平 移 不 改 变 图 形 的 大 小，三 户 一 样 长 解 析 犃 犅 狓 轴，犃 犆 狔 轴，四 边 形 犗 犅 犃 犆 为 矩 形 设 宽 犅 犗 狓，则 犃 犅 狓，则 狊 狓 狓 狓
30、 槡狓 ，当 且 仅 当 狓 狓，即 狓 时，取 等 号 故 函 数 狊 狓 狓（狓 ）的 最 小 值 为 故 狓 （）狓 四 边 形 犗 犅 犃 犆 周 长 的 最 小 值 为 解 析 都 能 判 断 解 析 由 相 似 形 性 质 知 犛 犃犉 犇 犛 犈犉 犅 犇 犆 或 犈 犅 或 犃 犇犃 犆 犃 犈犃 犅 解 析 ，犅 犃 犈 犅 犃 犈，即 犇 犃 犈 犆 犃 犅 当 犇 犆 或 犈 犅 或 犃 犇犃 犆 犃 犈犃 犅 时，犃 犇 犈 犃 犆犅 ，（）解 析 由 点 犃 向 直 线 狔 狓 作 垂 线，因为 垂 线 段 最 短 答 案 不 唯 一，例 如：圆 或 正 方 体 等
31、答 案 不 唯 一，例 如：犃 犆 犆 犇 解 析 犃 犅 边 上 有 两 点，其 余 三 边 各 有 一 点 满 足 要 求 解 析 用 根 火 柴 棒 搭 成 正 四 面 体，四 个 面 都 是 正 三角 形 例 如 狔 狓解 析 只 要 犽 为 负 数 即 可 解 析 犪犫 犪（犫），犫犪 犫（犪），不 正 确；若 犪 犫 ，则 犪（犫），得 犪 或 犫 不 正 确 （）等 腰（）抛 物 线 狔 狓 犫狓（犫 ）的“抛 物 线 三 角 形”是 等 腰 直 角 三 角 形，该 抛 物 线 的 顶 点犫，犫（）满 足 犫 犫 （犫 ）犫 （）存 在 如 图，作 犗犆 犇 与 犗 犃 犅 关
32、于 原 点 犗 中 心 对 称，则 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 平 行 四 边 形 当 犗 犃 犗 犅 时，平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 矩 形 又 犃 犗 犃 犅，犗 犃 犅 为 等 边 三 角 形 作 犃 犈 犗 犅，垂 足 为 犈 犃 犈槡 犗 犈 犫 槡 犫（犫 ）犫槡 犃（槡，），犅（槡 ，）犆（槡，），犇（槡 ，）设 过 点 犗、犆、犇 三 点 的 抛 物 线 为 狔 犿 狓 狀狓，则犿槡 狀 ，犿槡狀 ，解 得犿 ，狀槡 所 求 抛 物 线 的 表 达 式 为 狔 狓 槡 狓（第 题）（）命 题 ：如 果 ，那 么 ；命 题 ：如 果 ，那 么 （）命 题 的 证
33、明：犃 犈 犇 犉，犃 犇 犃 犅 犆 犇，犃 犅 犅 犆 犆 犇 犅 犆，即 犃 犆 犇 犅 在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中，犈 犉，犃 犇，犃 犆 犇 犅，犃 犈 犆 犇 犉 犅 犆 犈 犅 犉 命 题 的 证 明：犃 犈 犇 犉，犃 犇 在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中，犈 犉，犃 犇，犆 犈 犅 犉，犃 犈 犆 犇 犉 犅 犃 犆 犇 犅，则 犃 犆 犅 犆 犇 犅 犅 犆，即 犃 犅 犆 犇 注：命 题“如 果 ，那 么 ”是 假 命 题 情 况 一：题 设：；结 论：证 明：犅 犉 犈 犆，犅 犉 犆 犉 犈 犆 犆 犉，即 犅 犆 犈 犉 在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中
34、，犃 犅 犇 犈，犅 犈，犅 犆 犈 犉烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犈 犉 情 况 二：题 设：；结 论：证 明：在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中，犃 犅 犇 犈，犅 犈，烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犈 犉 犅 犆 犈 犉 犅 犆 犉 犆 犈 犉 犉 犆，即 犅 犉 犈 犆 情 况 三：题 设：；结 论：证 明：犅 犉 犈 犆，犅 犉 犆 犉 犈 犆 犆 犉，即 犅 犆 犈 犉 在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中，犅 犈，犅 犆 犈 犉，烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犈 犉 犃 犅 犇 犈（注：若 题 设 为 ，结 论 为 则 不 可 以）（）结 论：犅 犇 犆 犈，犅 犇 犆 犈 结 论：犅 犇 犆 犈
35、，犅 犇 犆 犈 理 由 如 下：犅 犃 犆 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犆 犇 犃 犈 犇 犃 犆 即 犅 犃 犇 犆 犃 犈 在 犃 犅 犇 与 犃 犆 犈 中，犃 犅 犃 犆，犅 犃 犇 犆 犃 犈，犃 犇 犃 犈烅烄烆，犃 犅 犇 犃 犆 犈 犅 犇 犆 犈，犃 犅 犇 犃 犆 犈 延 长 犅 犇 交 犃 犆 于 点 犉，交 犆 犈 于 点 犎 在 犃 犅 犉 和 犎 犆 犉 中，犃 犅 犉 犎 犆 犉，犃 犉 犅 犎 犉 犆，犆 犎 犉 犅 犃 犉 犅 犇 犆 犈（）乙 （）（）（）（）小 芳 从 家 出 发 去 书 店 看 了 一 会 儿 书，又 返 回 家 中（答案 不 唯
36、 一）（）连 结 犃 犌 正 方 形 犃 犈 犌 犎的 顶 点 犈、犎在 正 方 形 犃 犅 犆 犇的边 上，犌 犃 犈 犆 犃 犅 ，犃 犈 犃 犎，犃 犅 犃 犇 犃、犌、犆 共 线，犃 犅 犃 犈 犃 犇 犃 犎 犎 犇 犅 犈 犃 犌 犃 犈槡 犃 犈，犃 犆 犃 犅槡 犃 犅，犌犆 犃 犆 犃 犌槡 犃 犅槡 犃 犈槡 （犃 犅 犃 犈）槡 犅 犈 犎 犇 犌 犆 犈 犅槡 （）连 结 犃 犌、犃 犆 犃 犇 犆 和 犃 犎 犌 都 是 等 腰 直 角 三 角 形，犃 犇 犃 犆 犃 犎 犃 犌槡 ，犇 犃 犆 犎 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犎 犇 犌
37、犆 犃 犇 犃 犆槡 犇 犃 犅 犎 犃 犈 ，犇 犃 犎 犅 犃 犈 在 犇 犃 犎 和 犅 犃 犈 中，犃 犇 犃 犅，犇 犃 犎 犅 犃 犈，犃 犎 犃 犈烅烄烆，犇 犃 犎 犅 犃 犈（）犎 犇 犈 犅 犎 犇 犌 犆 犈 犅槡 （）有 变 化 连 结 犃 犌、犃 犆 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀，又 犃 犇 犆 犃 犎 犌 ，犃 犇 犆 犃 犎 犌 犃 犇 犃 犆 犃 犎 犃 犌 犿 犿 狀槡，犇 犃 犆 犎 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犎 犇 犌 犆 犃 犇 犃 犆 犿 犿 狀槡 犇 犃 犅 犎 犃 犈 ，犇 犃 犎 犅 犃 犈 犇 犃 犃 犅
38、 犎 犃 犃 犈 犿 狀，犃 犇 犎 犃 犅 犈 犇 犎 犅 犈 犃 犇 犃 犅 犿 狀 犎 犇 犌 犆 犈 犅 犿 犿 狀槡 狀 （）等 腰 三 角 形 三 线 合 一（或 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线、底 边 上 的 中 线、底 边 上 的 高 互 相 重 合）；角 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 距 离 相 等（）证 明：犆 犃 犆 犅，犃 犅 犗 是 犃 犅 的 中 点，犗 犃 犗 犅 犇 犉 犃 犆，犇 犈 犅 犆，犃 犕 犗 犅 犖 犗 在 犗 犕 犃 和 犗 犖 犅 中，犃 犅，犗 犃 犗 犅，犃 犕 犗 犅 犖 犗烅烄烆，犗 犕 犃 犗 犖 犅（）犗
39、犕 犗 犖（）犗 犕 犗 犖，犗 犕 犗 犖 理 由 如 下：如 图，连 结 犆 犗，则 犆 犗 是 边 犃 犅 上 的 中 线（第 题）犃 犆 犅 ，犗 犆 犃 犅 犗 犅 又 犆 犃 犆 犅，犆犃 犅 犅 ，犃 犗犆 犅犗犆 犅 犅 犖 犇 犈，犅 犖 犇 又 犅 ，犅 犇 犖 犖 犅 犃 犆 犅 ，犖 犆 犕 又 犅 犖 犇 犈，犇 犖 犆 四 边 形 犇 犕 犆 犖 是 矩 形 犇 犖 犕 犆 犕 犆 犖 犅 又 犅，犗 犆 犗 犅，犕 犗 犆 犖 犗 犅（）犗 犕 犗 犖，犕 犗 犆 犖 犗 犅 犕 犗 犆 犆 犗 犖 犖 犗 犅 犆 犗 犖，即 犕 犗 犖 犅 犗 犆 犗 犕 犗 犖 （）犃 犅 犈 犎 犆 犌 犈 犎 （）犿作 犈 犎 犃 犅 交 犅 犌 于 点 犎，则 犈 犎 犉 犃 犅 犉 犃 犅犈 犎 犃 犉犈 犉 犿，犃 犅 犿 犈 犎 犃 犅 犆 犇，犆 犇 犿 犈 犎 犈 犎 犃 犅 犆 犇，犅 犈 犎 犅 犆 犌 犆 犌犈 犎 犅 犆犅 犈 犆 犌 犈 犎 犆 犇犆 犌 犿 犈 犎犈 犎 犿（）犪犫
