1、河南省九师联盟2020届高三数学上学期核心模拟卷（五）理（含解析）注意事项：1本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡，上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无
2、效.5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合和，求出，再求出即可.详解】依题意，得，所以或，所以故选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，指数不等式的解法，集合的补集和交集运算，属于基础题.2.设（是虚数单位），则（ ）A. B. 4C. 20D. 【答案】D【解析】【分析】求出，代入得，再根据模长公式可求得.【详解】因为，则，所以，则故选：D【点睛】本题考查了共轭复数，考查了复数的代数运算和模长公式，
3、属于基础题.3.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：偏爱蔬菜偏爱肉类男生人48女生人162则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（ ）附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828A 95%B. 99%C. 99.5%D. 99.9%【答案】C【解析】【分析】列出列联表，根据公式计算出观测值，对照临界值表可得出结论.【详解】由已知，列联表为偏爱蔬菜偏爱肉类合计男生人4812女生人16218合计201030则的观测值，故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，故选：C【点睛】本题考查了独立性检验，解题关键
4、是计算出观测值，属于基础题.4.已知抛物线，圆，则圆心到抛物线的准线的距离为（ ）A. 5B. 4C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由抛物线方程求出准线方程，由圆的标准方程求出圆心坐标，从而可求得圆心到抛物线的准线的距离.【详解】因为抛物线方程为，所以准线方程为，圆的圆心坐标为，所以到抛物线的准线的距离为5故选：A【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了圆的标准方程，属于基础题.5.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案【详解】函数，可得，可知是偶函数，排除A；，当时，即时，有两个零点，时，可得；排除B；当或时，可得，
5、图象逐渐走低；故选D【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题6.执行如图所示的程序框图，则输出的是（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】根据框图可得程序是求数列的前999项的和再加上2，由可得到答案.【详解】根据框图的运行可得：程序是2加上数列的前999项的和.又所以 故选：B【点睛】本题考查程序框图中的循环和裂项相消法求和，属于中档题.7.已知实数，满足不等式组，若目标函数的最大值为5，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】作出可行域，结合图形找到最优解，并代入目标函数即可得到结果.【详解】不等式组表示的平面区域为如图中
6、的（包括边界），易求得，因为的最大值为5，由图知，平移直线，当经过点处取得最大值，即，得故选：A【点睛】本题考查了线性规划中由最大值求参数，解题关键是结合图形找到最优解，属于基础题.8.如图，分别是大圆的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不妨设大圆的半径为2，根据圆的面积公式、扇形的面积公式和三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，再用几何概型的概率公式可求得结果.【详解】不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为，由图形的对称性知，又，则所求
7、概率为故选：D【点睛】本题考查了圆的面积公式、扇形的面积公式和三角形的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题.9.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将利用二倍角的余弦公式和正弦公式变形可得，再根据诱导公式可得，然后根据角的范围以及同角公式可求得结果.【详解】因为所以因为，所以，所以，故选：B【点睛】本题考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了诱导公式和同角公式，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图形得到，再根据周期公式得到，将代入解析式得到，再解三角不等式可得结果.【详解】
8、由图知，函数的最小正周期，由，以及得，所以因为点在图象上，所以所以，因为，所以，即由，得，所以，解得，即不等式的解集为故选：C【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式，考查了解简单的三角不等式，属于中档题.11.在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的中点为，的中点为，连接，根据已知条件可以推出为棱锥外接球的球心，再根据计算可得.【详解】如图，设的中点为，的中点为，连接，因为，所以，所以所以为棱锥外接球球心，设半径为，又，且，所以，则又由，且可证平面，所以，解得所以外接球的体积故选：B【点睛】本题考查了直线与平面垂直的
9、判定，考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，解题关键是找到球心，属于基础题.12.已知双曲线右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，抛物线的焦点为，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可得，根据离心率公式可得，又，可得.【详解】在抛物线中，在双曲线中，当时，取因为是锐角三角形，所以，则，即因为双曲线中，所以，所以，解得，所以因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是故选：D【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则向
10、量在向量上的投影为_【答案】1【解析】【分析】根据可以求出，再根据向量在向量上的投影的定义可求得结果.【详解】由已知，得，因为，所以，即，所以，所以，所以，故向量在向量上的投影为故答案为：1【点睛】本题考查了向量的模长公式，考查了向量在向量上的投影，属于基础题.14.已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是_【答案】9【解析】【分析】令得，根据展开式的通项求出与常数项即可得到答案.【详解】令，则有，所以又展开式的通项为，令得，则；令得，则，故展开式的常数项为故答案为：9【点睛】本题考查了求二项展开式的指定项，转化为求的展开式的和常数项是解题关键，属于基础题.15.已知函数若函数有且
11、仅有三个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，再转化为的斜率为的切线，结合图形可得答案.【详解】函数有三个零点等价于方程有三个不同的根， 即函数与函数的图象有三个不同的交点，在同一坐标系内作出两个函数图象，如图： 设直线与函数相切于，则，解得（舍去）或，所以，所以，解得结合图象可知，实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了函数与方程思想，转化化归思想，数形结合思想，考查了导数的几何意义，属于中档题.16.在中，角，所对的边分别为，是的中点，若，且，则当取最大值时的周长为_【答案】【解析】【分析】分别在和中，由余弦定理以及可得，由及正弦定理
12、得，可得，消去可得，由基本不等式可得取最大值时，从而可得结果.详解】如图，设，则在和中，分别由余弦定理可得，又所以，所以，由及正弦定理得，整理得，由余弦定理的推论可得，所以把代入整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，即时等号成立此时，即，所以当取最大值时的周长为故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理角化边，考查了基本不等式，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列
13、满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）求出，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式计算可得结果.【详解】（1）因为在数列中，所以，两式相减得，即，当时，所以（2）由（1）知，因为数列是等比数列，设公比为，所以，所以，所以，所以【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于基础题.18.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，分组的频
14、率分布直方图如图所示，用电量在的居民户数比用电量在的居民户数多11户（1）求直方图中，的值；（2）（i）用样本估计总体，如果希望至少85%的居民月用电量低于标准，求月用电量的最低标准应定为多少度，并说明理由；（ii）若将频率视为概率，现从该市所有居民中随机抽取3户，其中月用电量低于（i）中最低标准的居民户数为，求的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）（i）最低标准应定为260度，见解析（ii）分布列见解析，2.55【解析】【分析】（1）根据7个矩形的面积和为1以及用电量在的居民户数比用电量在的居民户数多11户列方程组成方程组可解得结果；（2）（i）根据直方图计算出样本中月用电量不低于260度
15、的居民户数有户，占样本总的15%，由此可得结果为260度；（i）根据题意分析可得，利用二项分布的概率公式可得分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，得，所以（2）（i）样本中月用电量不低于260度的居民户数有户，占样本总的15%，用样本估计总体，要保证至少85%的居民月用量低于标准，故最低标准应定为260度（i）因为，所以 所以的分布列为：0123所以或【点睛】本题考查了概率的性质，考查了频率分布直方图，考查了二项分布的分布列和数学期望，属于中档题.19.如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以
16、为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量，得到证明.（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，平面的法向量，平面，平面.（2），设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取得，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为.、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.已知函数，若曲线在点处的切线方程为（1）求，的值；（2）证明：【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线方程列方程组可解得结果；（2）根据在区间上单调
17、递增，且，可得有唯一实根，记为，则利用导数可知，又，所以.【详解】（1）由，则，又曲线在点处的切线方程为，所以，解得，证明：（2）由（1）知，则因为在区间上单调递增，且易得，由零点存在性定理知有唯一实根，记为，则由得，整理得因为当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以因为在上单调递减，所以，所以，即【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了零点存在性定理，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，直线的倾斜角为，椭圆上的点到焦点的最大距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）若经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，两点均在轴的左侧，记和
18、的面积分别为和，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据直线的倾斜角为可得，椭圆上的点到焦点的最大距离为3，可得，再结合可解得，从而可得椭圆的标准方程为（2）当直线斜率不存在时，；当直线斜率存在时，设直线方程为，显然的，同号，联立，根据韦达定理求得，再根据函数在上单调递增可求得，进一步求得.【详解】（1）因为椭圆方程为，直线的倾斜角为，所以在中（为坐标原点），所以，因为椭圆上的点到焦点的最大距离为3，所以，所以因为，所以，解得或，又，所以，所以椭圆的标准方程为（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，与的面积相等，当直线斜率存在时，因为，两点均在轴的左侧，设直线方程为，显
19、然的，同号，由，得，显然，方程有实根，由韦达定理知的，又，所以或，此时因为或，所以因为函数在上单调递增，所以，所以，所以当直线的斜率存在时，综上所述，的取值范围为【点睛】本题考查了根据椭圆的几何性质求椭圆方程，考查了分类讨论思想，考查了三角形的面积公式，考查了韦达定理，考查了运算求解能力，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）
20、求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的长【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得直线的普通方程为，利用互化公式，可得曲线的直角坐标方程为（2）根据圆的性质，利用点到直线的距离公式和勾股定理可求得结果.【详解】（1）直线参数方程为，（为参数），消去参数，得直线的普通方程为曲线的极坐标方程为，展开为，所以因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）由（1）知，圆的半径为，由点到直线的距离公式得，所以【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查了圆的性质，点到直线的距离公式，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用公式法去绝对值可得，化简可得结果；（2）将恒成立转化为的最小值成立，利用基本不等式可求得的最小值为4，再解即可得到答案.【详解】（1）由，得，所以，解得所以不等式的解集为（2）恒成立，即恒成立，因为，且当且仅当，即或时等号成立所以，解得，即实数的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立转化为最值成立，考查了基本不等式求和的最小值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
