1、课时跟踪检测（九） 空间几何体的三视图、表面积与体积及空间线面位置关系的判定（小题练）A级124提速练一、选择题1.(2018广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析：选D由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为224，因为该几何体的体积为42，满足条件，所以俯视图可以为D.2(2018陕西模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成的三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A. B C. D解析
2、：选D由三棱锥CABD的正视图、俯视图得三棱锥CABD的侧视图为直角边长是的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥CABD的侧视图的面积为，故选D.3(2018郑州一模)已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面，m，n.给出下列四个命题：若，则mn；若mn，则；若mn，则；若，则mn.其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选C依题意，对于，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m，又n，因此mn，正确；对于，当时，设n，在平面内作直线mn，则有m，因此不正确；对于，由mn，m得n，又n，因此有，正确；对于，当m，n，时，直线m，n不平行，
3、因此不正确综上所述，正确命题的个数为2，故选C.4.(2018唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A3 B.C7 D.解析：选B由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为，故该几何体的体积V4.5(2018长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是()A19296 B25696C192100 D256100解析：选C题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分
4、别为8和6的直角三角形，高为8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为8，因此该几何体的体积为868528192100，选C.6.(2018贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A15 B16C17 D18解析：选C由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1BCD，将其放在长方体ABCDA1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为，球O的直径为，所以球O的表面积S17，故选C.7(2018石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为
5、2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为()A. BC. D解析：选A记由三视图还原后的几何体为四棱锥ABCDE，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE平面BCDE，点A到直线BE的距离即四棱锥的高，设为h，在ABE中，易知AEBE，cosABE，则sinABE，所以h，故四棱锥的体积V2，故选A.8(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1
6、A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1FAD1，所以DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DF，由题意，得DF，FB12，DB1.在DFB1中，由余弦定理，得DF2FBDB2FB1DB1cosDB1F，即54522cosDB1F，cosDB1F.9已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB6，BC2，且四棱锥OABCD的体积为8，则R等于()A4B2C. D解析：选A如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE平面ABCD，所以VOABCDOES矩形ABCDOE628，所以OE2，在矩形ABCD中可得EC2，则R4，故选A.10(2018福
7、州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A242 B224C26 D84解析：选A由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥PABC，将其放在棱长为2的正方体中，如图所示，其中ACBC，PAAC，PBBC，PAB是边长为2的等边三角形，故所求表面积为SABCSPACSPBCSPAB222222(2)2242.故选A.11.(2018唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为()A10 cm B10 cmC10 cm D30 cm解析：选B依
8、题意，在四棱锥SABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SOAOBOCODO10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，OAOS10 cm，AS20 cm，所以O到SA的距离d10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径r10 cm，选B.12(2018广州模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为()A. BC. D解析：选D如图所示，在线段DD
9、1上靠近点D处取一点T，使得DT，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N，故NT21，因为M为CC1的中点，故CM1，连接TC，由NTCM，且CMNT1，知四边形CMNT为平行四边形，故CTMN，同理在AA1上靠近点A处取一点Q，使得AQ，连接BQ，TQ，则有BQCTMN，故BQ与MN共面，即Q与Q重合，故AQ，选D.二、填空题13(2018南京模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PA底面ABCD，PA2，E为AB的中点，则三棱锥PBCE的体积为_解析：由题意知S底面ABCD22sin 602，所以SEBC，故VPEBC2.答案：14(2018内
10、蒙古包头一模)已知直线a，b，平面，且满足a，b，有下列四个命题：对任意直线c，有ca；存在直线c，使cb且ca；对满足a的任意平面，有；存在平面，使b.其中正确的命题有_(填序号)解析：因为a，所以a垂直于内任一直线，所以正确；由b得内存在一直线l与b平行，在内作直线ml，则mb，ma，再将m平移得到直线c，使c即可，所以正确；由面面垂直的判定定理可得不正确；若b，则由b得内存在一条直线l与b平行，必有l，即有，而满足b的平面有无数个，所以正确答案：15(2019届高三益阳、湘潭联考)已知三棱锥SABC的顶点都在球O的球面上，ABC是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，且SC4，则此三棱锥
11、的体积为_解析：如图，设O1为ABC的中心，连接OO1，故三棱锥SABC的高h2OO1，三棱锥SABC的体积V2OO1SABC，因为OO11，所以V2132.答案：16(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_解析：如图，SA与底面成45角，SAO为等腰直角三角形设OAr，则SOr，SASBr.在SAB中，cosASB，sinASB，SSABSASBsinASB(r)25，解得r2，SAr4，即母线长l4，S圆锥侧rl2440.答案：40B级难度小题强化练1(2018武汉调研)已知底面半径为1，高为
12、的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. B4C. D12解析：选C如图，ABC为圆锥的轴截面，O为其外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OB，OA，并延长AO交BC于点D，则ADBC，由题意知，AOBOR，BD1，AD，则在RtBOD中，有R2(R)212，解得R，所以外接球O的表面积S4R2，故选C.2(2018南京模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A. BC2 D解析：选A由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥ABCD所示，故该几何体的体积V122.3(2018
13、福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A4 BC. D16解析：选D如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是球的半径rOB2.故这个球的表面积S4r216.故选D.4(2018贵阳检测)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为()A4 B6C8 D10解析：选C依题意，设题中球的球心为O，半径为R，ABC的外接圆半径为r，则，解得R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距离为3，因此三棱锥PABC的高的最大值为538，故选C.5(2018全国卷)已
14、知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. BC. D解析：选A如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN6sin 60.故选A.6(2018南宁模拟)如图，在
15、正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上)AGEFH所在平面；AHEFH所在平面；HFAEF所在平面；HGAEF所在平面解析：根据折叠前ABBE，ADDF可得折叠后AHHE，AHHF，HEHFH，可得AH平面EFH，即正确；过点A只有一条直线与平面EFH垂直，不正确；AGEF，AHEF，AHAGA，EF平面HAG，平面HAG平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，不正确；HG不垂直AG，HG平面AEF不正确，不正确，综上，说法错误的序号是.答案：
