1、1.5二项式定理1.5.1二项式定理1掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题(重点)2利用二项展开式求特定项或项的系数(难点)3二项式系数与项的系数的区别与联系(易混点)基础初探教材整理二项式定理阅读教材P30P31“例1”以上部分，完成下列问题1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)这个公式叫做二项式定理2二项展开式的通项和二项式系数(1)(ab)n展开式共有n1项，其中Canrbr叫做二项展开式的第r1项(也称通项)，用Tr1表示，即Tr1Canrbr.(2)C(r0,1,2，n)叫做第r1项的二项式系数1判断(正确的打“”，错
2、误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()【解析】(1)因为(ab)n展开式中共有n1项(2)因为二项式的第k1项Cankbk和(ba)n的展开式的第k1项Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的(3)因为Cankbk是(ab)n展开式中的第k1项(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】(1)(2)(3)(4)2(12x)5的展开式的第3项的系数为_，第3项的二项式系数为_. 【导学号
3、：29440022】【解析】(12x)5的展开式的第3项的系数为C2240，第3项的二项式系数为C10.【答案】4010质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑： 小组合作型二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解【自主解答】(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC
4、(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.1展开二项式可以按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便3对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数再练一题1(1)求4的展开式；(2)化简：12C4C2nC.【解】(1)法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12
5、C22C2nC(12)n3n.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解【自主解答】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6rr(1)rC26rx3r，T612x.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)212.(2)Tr1Cx9rr(1)rCx92r，92r3，r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84.1二项式系数都是组合数C(k0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与
6、二项式展开式中“项的系数”这两个概念2第k1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.再练一题2(12x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项【解】T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第k1项系数最大，则有5k6.k5或k6(k0,1,2，8)系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.探究共研型求展开式中的
7、特定项探究1如何求4展开式中的常数项【提示】利用二项展开式的通项Cx4rCx42r求解，令42r0，则r2，所以4展开式中的常数项为C6.探究2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到探究3如何求(2x1)3展开式中含x的项？【提示】(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求
8、展开式中所有的有理项【精彩点拨】【自主解答】通项公式为：Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令k(kZ)，则102r3k，即r5k.rZ，k应为偶数，k2,0，2即r2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCank1bk1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为
9、0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致再练一题3(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_. 【导学号：29440023】【解析】(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.(2)6的展开式的通项是Tk1Cx6k()kx2kCx63k()k，
10、令63k0，得k2，即当k2时，Tk1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a4.【答案】(1)207(2)4构建体系1(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_【解析】x2y7x(xy7)，其系数为C，x2y7y(x2y6)，其系数为C，x2y7的系数为CC82820.【答案】202(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.【解析】由二项式展开式得，原式(x1)15x5.【答案】x53在6的展开式中，中间项是_【解析】由n6知中间一项是第4项，因T4C(2x2)33C(1)323x3，所以T4160x3.【答案】160x34在9的展开式中，第4项的二项
11、式系数是_，第4项的系数是_. 【导学号：29440024】【解析】Tk1C(x2)9kkkCx183k，当k3时，T43Cx9x9，所以第4项的二项式系数为C84，项的系数为.【答案】845求5的展开式的第三项的系数和常数项【解】T3C(x3)32Cx5，所以第三项的系数为C.通项Tk1C(x3)5kkkCx155k，令155k0，得k3，所以常数项为T4C(x3)23.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1(2015广东高考)在(1)4的展开式中，x的系数为_【解析】Tr1C()4r(1)r.令r2，则C(1)26.
12、【答案】62.16的二项展开式中第4项是_【解析】展开式的通项公式为Tr1Cx16rr(1)rCx162r.所以第4项为T4(1)3Cx10Cx10.【答案】Cx103(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案) 【导学号：29440025】【解析】展开式中x7的系数为Ca315，即a3，解得a.【答案】4在(1x)3(1)3(1)3的展开式中，含有x项的系数为_【解析】CCC3317.【答案】75使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为_【解析】Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，当Tr1是常数项时，nr0，当r2，n5时成立【答案】56在(1x)6(1x)4
13、的展开式中，x3的系数是_【解析】(1x)6(1x)4(1x)2(1x)4(1x)4(12xx2)(1x2)4.x3的系数为2C(1)8.【答案】87若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即CC，所以n8，所以展开式的通项为Tr1Cx8rrCx82r，令82r2，解得r5，所以T6C2，所以的系数为C56.【答案】568设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_【解析】对于Tr1Cx6r(ax)rC(a)rx6r，BC(a)4，AC(a)2.B4A，a0，a2.【答案】2二、
14、解答题9(2016宿迁高二检测)在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项【解】(1)第3项的二项式系数为C15，又T3C(2)4224Cx，所以第3项的系数为24C240.(2)Tk1C(2)6kk(1)k26kCx3k，令3k2，得k1.所以含x2的项为第2项，且T2192x2.10已知f(x)(12x)m(14x)n(m，nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值【解】(12x)m(14x)n展开式中含x的项为C2xC4x(2C4C)x，2C4C36，即m2n18，(12x)m(14x)n展开式中含x2的项的系数为tC22C422m2
15、2m8n28n.m2n18，m182n，t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n61216，当n时，t取最小值，但nN*，n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.能力提升1(2016天津高考)8的展开式中x7的系数为_(用数字作答)【解析】8的通项Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，当163r7时，r3，则x7的系数为(1)3C56.【答案】562.3展开式中的常数项是_【解析】3，在(1|x|)6中，|x|3的系数AC(1)320.即所求展开式中常数项是20.【答案】203若6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_. 【导学号：29440026】【解析】Tr1C(ax2)6rrCa6rbrx123r，令123r3，得r3，所以Ca63b320，即a3b31，所以ab1，所以a2b22ab2，当且仅当ab，且ab1时，等号成立故a2b2的最小值是2.【答案】24已知n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项【解】Tr1Cx2rxC2rx，据题意，CC2C22129，解得n8，Tr1C2rx，且0r8.由于0无整数解，所以该展开式中不存在常数项又4，当r0或r6时，Z，即展开式中存在有理项，它们是：T1x4，T726Cx1.
