1、-1-四川省宜宾市第四中学 2020 届高三数学三诊模拟考试试题 理(含解析)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷选择题(60 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,2,1,1,0,1,2AB,则AB()A.0,2 B.1,2 C.0 D.2,1,
2、0,1,2【答案】A【解析】【分析】直接利用集合的交集运算,找出公共元素,即可得到结果.【详解】0,2,1,1,0,1,2AB 0,2AB.故选:A.【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2.在复平面内,已知复数 z 对应的点与复数1i 对应的点关于实轴对称,则 zi ()A.1i B.1i C.1 i D.1i 【答案】C【解析】【分析】-2-先求出复数 z,再求 zi得解.【详解】由题得 z=1-i,所以1 iii11i1iz .故选 C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若干年前,某教师刚退休的月退休金为 6
3、000 元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元,则目前该教师的月退休金为().A.6500 元 B.7000 元 C.7500 元 D.8000 元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为 x 元,利用条形图和折线图列出方程,求出结果即可【详解】设目前该教师的退休金为 x 元,则由题意得:600015%x10%100解得 x8000 故选 D【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题,属于基础题 4.等差数列na的前 9 项的和等于前 4 项的和,若
4、141,0kaaa,则 k=()A.10 B.7 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】-3-由等差数列的性质可得70a,然后再次利用等差数列的性质确定 k 的值即可.【详解】由等差数列的性质可知:9579468750SSaaaaaa,故70a,则410720aaa,结合题意可知:10k.本题选择 A 选项 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用,属于中等题.5.将三个数0.37,70.3,ln 0.3从小到大排列得()A.0.37ln0.370.3 B.70.3ln0.30.37 C.70.30.3ln0.37 D.0.377ln0.30.3【答案】B【解析】【分析】分别与中间值 0
5、和 1 比较【详解】由指数函数性质得700.31,0.371,ln0.30,70.3ln0.30.37 故选:B.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较,解题时不同类型的数一般借助于中间值如 0,1 等比较 6.函数()sin(2)2f xx的图象与函数()g x 的图象关于直线8x对称,则关于函数()yg x以下说法正确的是()A.最大值为 1,图象关于直线2x对称 B.在 0,4上单调递减,为奇函数 C.在3,88 上单调递增,为偶函数 D.周期为,图象关于点 3,08对称【答案】B【解析】【分析】先求出函数 y=g(x)的解析式,再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.-4-【详
6、解】设点 P(x,y)是函数 yg x图像上的任意一点,则点 Q(x,)4 y 在函数 y=f(x)的图像上,sin2(-x+)sin 2()42yxg x,对于选项 A,函数 y=g(x)的最大值为 1,但是()012g ,所以图象不关于直线2x对称,所以该选项是错误的;对于选项 B,()()gxg x,所以函数 g(x)是奇函数,解222+22kxk得 +44kxk,)kZ(,所以函数在 0,4上单调递减,所以该选项是正确的;对于选项 C,由前面分析得函数 y=g(x)的增区间为3+,()44kkkZ,且函数 y=g(x)不是偶函数,故该选项是错误;对于选项 D,函数的周期为,解2,2kx
7、kx所以函数图像的对称中心为,0)(kZ)2k(,所以该选项是错误的.故选 B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知,m n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:若m ,mn,则n;若m,n ,则mn;若,m n 是异面直线,m,m ,n,n ,则;若,m n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系,逐项判断即可.-5-【详解】若m ,mn,则n 与 位置关系不确定;若n ,则 存在直线l 与 n 平
8、行,因为m,所以ml,则mn;当m,m ,n,n 时,平面,平行;逆否命题为:若 m 与 n 垂直于同一平面,则,m n 平行,为真命题.综上,为真命题的是.故选 A【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系,熟记线面关系、面面关系,即可求解,属于常考题型.8.岳阳高铁站 1B 进站口有 3 个闸机检票通道口,高考完后某班 3 个同学从该进站口检票进站到外地旅游,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这 3 个同学的不同进站方式有()种 A.24 B.36 C.42 D.60【答案】D【解析】分析:三名同学可以选择 1 个或
9、2 个或 3 个不同的检票通道口进站,三种情况分别计算进站方式即可得到总的进站方式.详解:若三名同学从 3 个不同的检票通道口进站,则有336A 种;若三名同学从 2 个不同的检票通道口进站,则有2222332236C C A A 种;若三名同学从 1 个不同的检票通道口进站,则有133318C A 种;综上,这 3 个同学的不同进站方式有60 种,选 D.点睛:本题考查排列问题,属于中档题,解题注意合理分类讨论,而且还要注意从同一个进站口进入的学生的不同次序.9.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成
10、绩,给丁看甲的成绩看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则()A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.丁可以知道四人的成绩【答案】A-6-【解析】【分析】根据甲的所说的话,可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好,再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好,又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立,即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好,又乙看了丙的成绩,则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩,又甲、丁成绩中一位优秀、一位良好,则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此,乙、丁知道自己的成
11、绩,故选 A.【点睛】本题考查简单的合情推理,解题时要根据已知的情况逐一分析,必要时可采用分类讨论的思想进行推理,考查逻辑推理能力,属于中等题.10.在正方体1111ABCDABC D中,点O 为线段 BD 的中点,设点 P 在直线1CC 上,直线OP与平面1A BD 所成的角为,则sin 的取值范围是()A.6,13 B.3,13 C.6 2 2,33 D.36,33【答案】A【解析】【分析】首先根据图像找到直线与平面的夹角范围,再计算对应正弦值得到答案.【详解】由题意可得:直线 OP 于平面1A BD 所成的角 的取值范围:-7-111,22AOAC OA 不妨取2AB .在1Rt AOA
12、 中,112126sin322AAAOAAO.111sinsin2C OAAOA 1sin2 AOA 112sincosAOAAOA632 2623333 sin 的取值范围是6,13.故答案为6,13.【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值,通过图形找到对应的角度是解题的关键.11.已知函数2()(0)xf xxe x与2()ln()g xxxa的图象上存在关于 y 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是()A.(,)e B.1(,)e C.1(,)ee D.1(,)e e【答案】A【解析】分析:函数 2(0)xf xxex与 2lng xxxa的图象上存在关于 y 轴对称的点,等价于存在0 x,
13、使 0f xgx,即ln0 xexa 在,0上有解,从而化为函数 lnxm xexa,0上有零点,进而可得结果.详解:若函数 20 xf xxex 与 2lng xxxa图象上存在关于 y 轴对称的点,则等价为 f xgx,在0 x 时,方程有解,即ln0 xexa 在,0上有解,令 lnxm xexa,-8-则 lnxm xexa 在其定义域上是增函数,且 x 时,0m x,若0a 时,xa时,0m x,故ln0 xexa 在,0上有解,当0a 时,则ln0 xexa 在,0上有解可化为,0ln0ea 即ln1a,故0ae,综上所述,,ae,故选 A.点睛:转化与划归思想解决高中数学问题一种
14、重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中,函数 2(0)xf xxex与 2lng xxxa的图象上存在关于 y 轴对称的点,转化为存在0 x,使 0f xgx是解题的关键.12.已知直线1xy 与椭圆22221(0)xyabab交于,P Q 两点,且OPOQ(其中O 为坐标原点),若椭圆的离心率 e 满足3232e,则椭圆长轴的取值范围是()A
15、.5,6 B.56,22 C.5 3,4 2 D.5,32【答案】A【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程得(a2+b2)x22a2x+a2a2b20,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 OPOQ,得OP OQ0,由根与系数的关系可得:a2+b22a2b2由椭圆的离心率 e 满足33e22,-9-化为2221132aba,即可得出【详解】联立222211xyxyab 得:(a2+b2)x22a2x+a2a2b20,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)4a44(a2+b2)(a2a2b2)0,化为:a2+b21 x1+x22222aab,x1x222222aa babOPOQ,OP O
16、Qx1x2+y1y2x1x2+(x11)(x21)2x1x2(x1+x2)+10,222222aa bab2222aab+10化为 a2+b22a2b2b22221aa 椭圆的离心率 e 满足33e22,21132e,2221132aba,211113212a,化为 54a26 解得:5 2a 6 满足0椭圆长轴的取值范围是 5,6 故选 A【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 第 II 卷非选择题(90 分)二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.若实数,x
17、 y 满足约束条件103030 xyxyx ,则 23xy的最大值为_.【答案】6 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,23zxy表示直线在 y 轴上截距的13,只需求出直线在 y 轴上的截距最小值即可.【详解】解:不等式组表示的平面区域如图所示,-10-当直线23zxy过点 A 时,在 y 轴上截距最小,又3,0A,此时max2 36z .故答案为:6.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.14.已知随机变量(6,)Bp,且()2E ,则(32)D _.【答案】12【解析】【分析】根据二项分布的均值与方差的关系求得()D ,再根
18、据方差的性质求解(32)D 即可.【详解】()62En pp ,所以13p,又因为24()(1)2 33Dn pp,所以(32)9()12DD 故答案为:12【点睛】本题主要考查了二项分布的均值与方差的计算,同时也考查了方差的性质,属于基础题.15.已知4sin3cos0,则2sin23cos 的值为_.【答案】2425【解析】-11-【分析】由已知式求出3tan4 ,利用同角三角函数间的平方关系和商数关系,将2sin23cos化为22 tan3tan1,代入即可求值.【详解】4sin3cos0,3tan4,则22222sincos3cossin 23cossincos 22tan3tan1
19、232()343()14 2425.故答案为:2425.【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系,正、余弦其次式的计算,二倍角的正弦公式,属于中档题.16.在边长为2 3 的菱形 ABCD 中,60A,沿对角线 BD 折起,使二面角 ABDC的大小为120,这时点,A B C D 在同一个球面上,则该球的表面积为_.【答案】28 【解析】【分析】取 BD 的中点 E,连接 AE、CE,可知外接球的球心在面 AEC 中,再作OGCE,分别求出OG 与CG 的长度后即可得解.-12-【详解】如图 1,取 BD 的中点 E,连接 AE、CE,由已知易知面 AEC 面 BCD,则外接球的球
20、心在面 AEC 中.由二面角 ABDC的大小为120 可知120AEC.在面 AEC 中,设球心为O,作OGCE,连接OE,易知O 在面 BCD 上的投影即为G,OE 平分AEC,G 为 BCD的中心,22CGGE,tan603OGGE,227OCGCGO,2=47=28S球.故答案为:28 【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解,考查了空间想象能力,属于中档题.三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.第 30 届夏季奥运会将于 201
21、2 年 7 月 27 日在伦敦举行,当地某学校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm):若身高在 180cm 以上(包括 180cm)定义为“高个子”,身高在 180cm 以下(不包括 180cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”(I)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?()若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望-13-【答案】(
22、)710;()见解析,32EX.【解析】【分析】()由茎叶图读出“高个子”和“非高个子”的人数,然后得出分层抽样样本中相应的人数,然后先计算“没有一名“高个子”被选中”的概率,从而可得出“至少有一名“高个子”被选中”的概率;()依题意,所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数 X 的取值分别为0,1,2,3,分别计算其概率,列出表格,求出期望即可.【详解】解:()根据茎叶图,有“高个子”8 人,“非高个子”12 人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 51204,所以选中的“高个子”有1824人,“非高个子”有11234人 用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件A 表示
23、“没有一名“高个子”被选中”,则 23253711 1010CP AC 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 710 ()依题意,所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数 X 的取值分别为0,1,2,3 34381014CP XC,124438317C CP XC,214438327C CP XC,-14-34381314CP XC 因此,X 的分布列如下:X 0 1 2 3 P 114 37 37 114 所以 X 的数学期望1331301231477142EX .【点睛】本题考查了茎叶图,古典概型,随机变量的分布列与数学期望,属于基础题.18.如图,在三棱锥 SABC 中,SA底面 ABC,A
24、CABSA2,ACAB,D、E 分别是 AC、BC的中点,F 在 SE 上,且 SF2FE.(1)求证:平面 SBC平面 SAE(2)若 G 为 DE 中点,求二面角 GAFE 的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)6.【解析】【分析】(1)利用 SA 底面 ABC 证得 SABC,由等腰三角形的性质证得 BCAE,由此证得BC平面 SAE,进而证得平面 SBC 平面 SAE.(2)以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,通过平面GAF 和平面 EAF 的法向量,计算出二面角GAFE的余弦值,进而求得二面角的大小.-15-【详解】(1)SA底面 ABC,SABC,又ACAB,且点 E 是 BC
25、 的中点,BCAE,SAAEA,BC底面 SAE,BC 平面 SBC,平面 SBC平面 SAE(2)以 A 点为坐标原点,分别以 AC,AB,AS 为 x,y,z 轴建立空间坐标系 Oxyz,则 A(0,0,0),S(0,0,2),E(1,1,0),G(1,12,0),C(2,0,0),B(0,2,0),由 SF2FE 得 F(23,23,23),AE(1,1,0),AF(23,23,23),AG(1,12,0),BC(2,2,0).设平面 AFG 的法向量为m(x,y,z),则2220333102xyzxy,令 y2,得到 x1,z1,即 m(1,2,1),设平面 AFE 的法向量为n,由(
26、1)知 BC 为平面 AES 的一个法向量,n BC(2,2,0),cos|m nmn2468 32,二面角 GAFE 的平面角为锐角,二面角 GAFE 的大小为 6.-16-【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查空间向量法求二面角的大小,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19.已知函数()4cos sin()16f xxx.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若24sin()16cos6xa f xx 对任意(,)4 4x 恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)2,63kkkZ;(2)52a.【解析】试题分析:(1)先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化si
27、nyAx的形式,再将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间;(2)求出6fx的值,带到题设中去,化简,求函数在,4 4x 的最值,即可恒成立,从而求实数 a 的取值范围.试题解析:(1)因为 314cos sin14cossincos1622f xxxxxx 23sin22cos13sin2cos22sin 26xxxx,由3222262kxk,得2,63kxkkZ,所以 f x 的单调递减区间为2,63kkkZ.-17-(2)由题意,4 4x ,2sin 22cos2062fxxx,原不等式等价于422cos26cossin1axxx,即426cossin12
28、cos2xxax恒成立,令 2242222cos1 3cos26cossin13 cos12cos222 2cos1xxxg xxx(21cos2x)由,4 4x ,所以0,cos1xx 时,g x 的最大值为 52,因此52a.点睛:本题考查了三角函数的图象及性质的化简能力和综合运用能力,利用三角函数的由界限求最值和参数问题属于中档题;求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:化成2sinsinyaxbxc的形式利用配方法求最值;形如sinsinaxbycxd的可化为sin()xy的形式性求最值;sincosyaxbx型,可化为22 sin()yabx求最值;形如sincossin cosy
29、axxbxxc可设sincos,xt换元后利用配方法求最值.20.已知函数()ln,()af xxaRx.()求函数()f x 在区间(0,e 上的最小值;()判断函数()f x 在区间2,)e 上零点的个数.【答案】(1)当ae时,()f x 的最小值为lnaee;当ae时,()f x 的最小值为ln1a ;(2)见解析.【解析】分析:求导后分类讨论 a 的取值,结合单调性求出最小值 分离参量,转化为图像交点问题 详解:()因为0 x,221axafxxxx 当0a 时,0fx,所以 f x 在20,e 上是增函数,无最小值;当0a 时,又 0fx得 xa,由 0fx得 xa f x 在0,
30、a 上是减函数,在,a 上是增函数,-18-若 ae,则 f x 在0,e 上是减函数,则 minlnafxf eee;若 ae,则 f x 在0,a 上是减函数,在,a e 上是增函数,minln1f xf aa 综上:当ae时,f x 的最小值为lnaee;当 ae时,f x 的最小值为ln1a ()由 ln0af xxx得lnax x 令 21ln,g xx x xe,则 ln1gxx,由 0gx得1xe,由 0gx得1xe,所以 g x 在211,ee上是减函数,在 1,e上是增函数,且2212110,0ggeeee ,且211ggee,当 x 时,g x ,所以,当1ae时,f x
31、无有零点;当1ae或22ae时,f x 有 1 个零点;当221aee时,f x 有 2 个零点.点睛:本题考查了含有参量的导数题目,依据导数,分类讨论参量的取值范围,来求出函数的单调性,从而得到最小值,在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题 21.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆22:143xyC的左顶点为 A,右焦点为 F,P,Q为椭圆C 上两点,圆222:()0O xyr r.(1)若 PFx轴,且满足直线 AP 与圆O 相切,求圆O方程;(2)若圆O 的半径为 2,点 P,Q 满足34OPOQkk,求直线 PQ 被圆O 截得弦长的最大值.【答案】(1)223xy(2)10
32、【解析】-19-【分析】(1)根据题意先计算出 P 点坐标,然后得到直线 AP 的方程,根据直线与圆相切,得到半径的大小,从而得到所求圆的方程;(2)先计算 PQ 斜率不存在时,被圆O 截得弦长,PQ 斜率存在时设为 ykxb,与椭圆联立,得到12xx和12x x,代入到34OPOQkk 得到,k b 的关系,表示出直线 PQ 被圆O 截得的弦长,代入,k b 的关系,从而得到弦长的最大值.【详解】解:(1)因为椭圆C 的方程为22143xy,所以(2,0)A,(1,0)F,因为 PFx轴,所以31,2P,根据对称性,可取31,2P,则直线 AP 的方程为1(2)2yx,即220 xy-+=.
33、因为直线 AP 与圆O 相切,得2222512,所以圆的方程为 2245xy.(2)圆O 的半径为 2,可得圆O 的方程为224xy.当 PQx轴时,234OPOQOPkkk ,所以32OPk,22324yxxy得2167x,-20-此时得直线 PQ 被圆O 截得弦长为164 212 477.当 PQ 与 x 轴不垂直时,设直线 PQ 的方程为 ykxb,11,P x y,2212,0Q xyx x,首先由34OPOQkk,得1 212340 x xy y,即1212340 x xkxbkxb,所以221 21234440kx xkb xxb(*).联立22143ykxbxy,消去 x 得22
34、23484120kxkbxb,在 时,122834kbxxk,212241234bx xk 代入(*)式,得22243bk,由于圆心O 到直线 PQ 的距离为21bdk,所以直线 PQ 被圆O 截得的弦长为2222 481ldk,故当0k 时,l 有最大值为 10.综上,因为4 21107,所以直线 PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 10.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程,直线与椭圆的交点,弦长公式,对计算能力要求较高,属于难题.(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一-21-题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22.在平面
35、直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为13xtyt(t 为参数),以 O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为2cos,点 P 是曲线1C 上的动点,点 Q 在 OP 的延长线上,且|3|PQOP,点 Q 的轨迹为2C (1)求直线 l 及曲线2C 的极坐标方程;(2)若射线(0)2与直线 l 交于点 M,与曲线2C 交于点 N(与原点不重合),求|ONOM 的最大值.【答案】(1)直线 l 的极坐标方程为cossin4.2C 的极坐标方程为8cos(2)21 【解析】【分析】(1)消参可得直线的普通方程,再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化,从而得
36、到直线的极坐标方程;利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程;(2)利用极坐标中极径的意义求得长度,再把所求变形成正弦型函数,进一步求出结果【详解】(1)消去直线 l 参数方程中的 t,得4xy,由 cos,sinxy,得直线 l 的极坐标方程为 cossin4,故4cossin 由点 Q 在 OP 的延长线上,且|3|PQOP,得|4|OQOP,设,Q ,则,4P ,由点 P 是曲线1C 上的动点,可得2cos4,即8cos,所以2C 的极坐标方程为8cos-22-(2)因为直线 l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cossin,8cos,所以4cossinOM,|8cosON,所以|2cos
37、cossin1 cos2sin212sin 2|4ONOM ,所以当8 时,|ONOM 取得最大值,为21 【点睛】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查了点的轨迹方程的求法,涉及三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,属于中档题 选修 4-5:不等式选讲 23.已知函数 2f xmx,mR,且20f x 的解集为1,1(1)求 m 的值;(2)若,a b cR,且 11123mabc,求证239abc【答案】(1)1;(2)见解析【解析】【分析】(1)由条件可得2f xmx,故有0mx的解集为 11,即 xm的解集为 11,进而可得结果;(2)根据 111232323abcabcabc利用基本不等式即可得结果.【详解】(1)函数 2f xmx,mR,故2f xmx,由题意可得0mx的解集为 11,即 xm的解集为 11,故1m (2)由 a,b,Rc,且 111123mabc,111232323abcabcabc 23321112233bcacabaabbcc 233233692233bcacabaabbcc,-23-当且仅当 233212233bcacabaabbcc 时,等号成立 所以239abc.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域,基本不等式在最值问题中的应用,属于中档题